Planimetria a stereometria

Euklidove definície (Servít: "Výmery")

Definícia 20
Z trojstranných útvarov je trojuholník:

1. rovnostranný, ktorý má tri strany rovnaké;
2. rovnoramenný, ktorý má len dve strany rovnaké;
3. rôznostranný, ktorý má tri strany nerovnaké.

Definícia 21
Okrem toho z trojstranných útvarov je trojuholník:

1. pravouhlý, ktorý má pravý uhol;
2. tupouhlý, ktorý má tupý uhol;
3. ostrouhlý majúci tri uhly ostré.

Jedným z fundamentálnych Euklidových tvrdení, ktoré sa využíva v dôkazoch mnohých ďalších tvrdení je veta o zhodnosti uhlov pri základni rovnoramenného trojuholníka. Dôkaz tohto tvrdenia je typicky konštrukčný a zásadne sa líši od bežne používaného dôkazu v stredoškolskej matematike. V dôkaze sa vytvoria dva nové a zároveň zhodné trojuholníky podľa vety (sus). V konštrukcii sa používa len pravítko a kružidlo.

Kniha 1, Tvrdenie V
V rovnoramenných trojuholníkoch sa uhly pri základni navzájom rovnajú; a ak sa predĺžia rovnaké priamky (ramená), uhly pod základňou navzájom rovnajú.

Dôkaz

Veľmi poučný je aj dôkaz Tvrdenia XIII, ktorý je publikovaný v prvej knihe Základov. Toto tvrdenie zohráva významnú úlohu pri geometrii uhlov. 

Kniha 1, Tvrdenie XIII
Ak priamka stojí na priamke, vytvára buď dva pravé uhly alebo uhly, ktorých súčet sa rovná dvom pravým uhlom.

Dôkaz
Upravený podľa českého prekladu Euklidových Základov.
Nech akákoľvek priamka $\small AB$ stojaca na priamke $\small CD$ vytvára uhly $\small CBA, ABD$. Hovorím, že buď uhly $\small CBA, ABD$ sú dva pravé uhly alebo ich súčet sa rovná dvom pravým uhlom.

1. Ak sa teraz uhol $\small CBA$ rovná uhlu $\small ABD$, potom sú to dva pravé uhly. Def.10
2. Ale ak nie, nakreslite $\small BE$ z bodu $\small B$ v pravom uhle k $\small CD$. Preto uhly $\small CBE,EBD$ sú dva pravé uhly. T/XI
3. Pretože uhol $\small CBE$ sa rovná súčtu dvoch uhlov $\small CBA, ABE$, pridajte uhol$\small EBD$ ku každému, takže súčet uhlov $\small CBE, EBD$ sa rovná súčtu troch uhlov $\small CBA, ABE, EBD$. Z.2, Z.4
   • $\small \angle CBE= \alpha+ \gamma=90° \Rightarrow \alpha+( \gamma+90°)= 180°$
4. Pretože uhol $\small DBA$ sa rovná súčtu dvoch uhlov $\small DBE, EBA$, ku každému z nich pridajte uhol $\small ABC$, preto sa súčet uhlov $\small DBA, ABC$ rovná súčtu troch uhlov $\small DBE, EBA, ABC$. Z.2, Z.5
   • $\beta=90°+ \gamma$
5. Ale súčet uhlov $\small CBE,EBD$ sa tiež ukázal byť rovný súčtu rovnakých troch uhlov a veci, ktoré sa rovnajú rovnakému, sa rovnajú rovnako sebe, preto súčet uhlov $\small CBE, EBD$ sa rovná súčtu uhlov $\small DBA, ABC$. Uhly $\small CBE, EBD$ sú však dva pravé uhly, takže súčet uhlov $\small DBA, ABC$ sa tiež rovná dvom pravým uhlom. Z.1, Z.6
   • $\small \alpha+ \beta =180°$
6. Preto ak priama čiara stojí na priamke, vytvára buď dva pravé uhly alebo uhly, ktorých súčet sa rovná dvom pravým uhlom.