Planimetria a stereometria

“Pane, niet kráľovskej cesty ku geometrii.”
Euklidova odpoveď na žiadosť Ptolemaia I. vysvetliť mu svoje Základy rýchlo a ľahko.

Základnými kameňmi pri axiomatickom budovaní geometrie sú

1. Základné pojmy (Definície) Euklides popisuje intuitívne pomocou zaužívaných pojmov ako „dĺžka, šírka, ..." . Napr.:
• Bod je to, čo nemá dĺžku.
• Čiara je dĺžka bez šírky.
• Hranicami čiary sú body.
• Priamka (Euklides vo svojich Základoch pod pojmom priamka $\small AB$ chápe úsečku $\small AB$) je čiara, ktorá je v každom svojom bode rovná.
• Trojuholník ... (vyhľadajte definíciu $\triangle, \odot, ...$ v Euklidových Základoch).
• V skutočnosti sa predpokladá, že čitateľ vie, čo si má pod týmito pojmami predstaviť. Celkove Euklides uvádza 23 definícií.
2. Axiómy - postuláty, ktorých pravdivosť sa nespochybňuje.
3. Odvodené pojmy (Zásady, Common notion) sa definujú pomocou základných pojmov a prijatých axióm.
4. Tvrdenia (Proposition) sú dokazované pomocou základných pojmov, axióm a odvodených pojmov.

Euklides vo svojich Základoch uvádza len päť axióm:
Post 1: Nakresliť priamku z ľubovoľného bodu do ľubovoľného bodu.
Post 2: A priamku možno neohraničene na obe strany predĺžiť.
Post 3: A z akéhokoľvek bodu a akýmkoľvek polomerom možno narysovať kružnicu.
Post 4: A každé dva pravé uhly sú navzájom "zhodné".
Post 5: A keď priamka pretínajúca dve priamky tvorí s nimi na jednej strane vnútorné uhly menšie než dva pravé, pretnú sa tieto priamky neohraničene predĺžené na tej strane, kde súčet uhlov je menší než dva pravé.

Prvé tri postuláty majú konštrukčný charakter, pričom popisujú skúsenosť z rysovania pomocou pravítka a kružidla. Tieto postuláty umožňujú v (euklidovskej) rovine:
- narysovať priamku prechádzajúcu dvoma danými bodmi;
- ľubovoľne predĺžiť úsečku;
- narysovať kružnicu s daným stredom a polomerom.

Piaty postulát so svojou nejasnou nezávislosťou od zvyšných postulátov má špecifické postavenie. Matematici sa asi 2000 rokov snažili piaty postulát dokázať z predchádzajúcich alebo ho aspoň nahradiť niečím jednoduchším, zjavnejším. Neúspešne

Za postulátmi nasledujú odvodené pojmy alebo zásady:

1. Ak sa dve rovnajú tretiemu, rovnajú sa aj navzájom.(Servít)
   Veci, ktoré sa rovnajú tej istej veci, sa tiež navzájom rovnajú. (Preklad z angl. verzie.)
2. A ak sa rovným pridá rovné, sú aj celky rovné.
3. A ak sa od rovných odnímu rovné, sú aj celky rovné.
4. A útvary, ktoré sa (pohybom?) stotožňujú, sú navzájom rovné.
5. A celok je väčší ako časť.

Niekedy sa uvádza až 9 zásad (Servít).
Za zásadami nasledujú tvrdenia. Prevažná väčšina tvrdení v Euklidových Základoch je dokazovaná prevažne formou konštrukcie resp. návodov ako postupovať pri dokazovaní týchto tvrdení. V ďalšej časti uvedieme niektoré tvrdenia z prvej knihy Základov.

Euklidove Základy - tvrdenia

• Kniha 1, Tvrdenie I: Vytvoriť rovnostranný trojuholník na danej konečnej priamke. 
• Kniha 1, Tvrdenie II: Z daného bodu $\small A$ narysovať úsečku $\small AF$zhodnú s danou úsečkou $\small BC$.
  
  Dôkaz tvrdenia T/II vo forme dynamickej konštrukcie si otvoríte Tu.
• Kniha 1, Tvrdenie IV: Veta $sus$.
• Kniha 1, Tvrdenie V: Uhly v rovnoramennom trojuholníku sú pri základni zhodné.

Pri dokazovaní prvých dvoch tvrdení Euklides využíva postulát o konštruovateľnosti kružnice. Tiež používa definíciu kruhu (Základy, Definícia 15), v ktorej predpokladá existenciu kruhu určeného stredom a polomerom. Definícia kruhu v Základoch má znenie:

Kruh je útvar rovinný ohraničený jednou čiarou (nazýva sa obvod resp. kružnica) tak, že všetky priamky (úsečky), ktoré vychádzajú z jedného bodu vo vnútri útvaru, sa navzájom rovnajú.

Definícia kruhu v Základoch intuitívne používa pojmy "medzi" a "zhodnosť", ktoré nie sú zavedené. Neskôr (takmer dve tisíc rokov) tieto pojmy zavádza Hilbert vo svojom axiomatickom systéme, kde sa kružnica po zavedení axióm zhodnosti už môže korektne zadefinovať.

Na záver tohto úvodného pohľadu na Euklidove Základy uvedieme "doslovný" preklad dôkazu Tvrdenia IV - (Základná veta o zhodnosti trojuholníkov $sus$)

Kniha 1, Tvrdenie IV. Ak sa dva trojuholníky zhodujú v dvoch stranách a v uhle nimi určenom, tak sú zhodné.

Dôkaz .

1. Nech $\small ABC, DEF$ sú dva trojuholníky, ktoré majú dve strany $\small AB, AC$ rovné dvom stranám $\small DE, DF$. Konkrétne $\small AB$ rovná $\small DE$ a $\small AC$ rovná $\small DF$ a uhol $\small BAC$ je rovný uhlu $\small EDF$.
2. Hovorím (Euklides), že základňa $\small BC$ sa rovná aj základni $\small EF$, trojuholník $\small ABC$ sa rovná trojuholníku $\small DEF$ a zostávajúce uhly sa rovnajú zostávajúcim uhlom, respektíve opačne rovnakým stranám. To znamená, že uhol $\small ABC$ sa rovná uhlu $\small DEF$ a uhol $\small ACB$ sa rovná uhlu $\small DFE$.
Nepriamy dôkaz
1. Nech trojuholník $\small ABC$ je uložený na trojuholníku $\small DEF$ a ak je bod $\small A$ umiestnený na bode $\small D$ a priamka $\small AB$ na $\small DE$.
• Potom bod $\small B$ sa zhoduje s bodom $\small E$, pretože $\small AB$ sa rovná $\small DE$.
2. Priamka $\small AC$ sa tiež rovná $\small DF$, pretože uhol $\small BAC$ sa rovná uhlu $\small EDF$.
• Preto sa bod $\small C$ zhoduje s bodom $\small F$, teda $\small AC$ sa rovná $\small DF$.
3. Ale $\small B$ a tiež zhoduje s $\small E$, a preto základňa $\small BC$ sa zhoduje so základňou $\small EF$ a rovná sa jej.
• V opačnom prípade by bodmi $\small E$, $\small F$ boli určené dve rôzne úsečky (priamky), čo je v spore s axiómou.
4. Takže celý trojuholník $\small ABC$ sa zhoduje s celým trojuholníkom $\small DEF$.
5. Zvyšné uhly sa zhodujú so zostávajúcimi uhlami a rovnajú sa, uhol $\small ABC$ sa rovná uhlu $\small DEF$ a uhol $\small ACB$ sa rovná uhlu $\small DFE$.
3. Preto ak dva trojuholníky majú dve strany rovnobežné s dvoma stranami a majú uhly obsiahnuté rovnými čiarami rovnaké, potom majú aj základňu rovnú základni, trojuholník sa rovná trojuholníku a zvyšné uhly sú rovné zvyšným uhlom respektíve tým, ktoré sú oproti rovnakým stranám.

Komentár k dôkazu tvrdenia T/IV je prevzatý a upravený z Euklidových Základov podľa Servíta.

Poznámka
Pri dokazovaní tohto tvrdenia sa predpokladá, že pri prenášaní úsečky (T/II, T/III) resp. uhla sa ich veľkosť nezmení. Toto v Hilbertovej sústave zabezpečujú axiómy zhodnosti.

Príklad
Je daný uhol $\small \angle ABC$ a kružnica $\small k=(B, r=BE)$. Na polpriamke $\small \overleftrightarrow{CB}$ nájdite bod $\small G$ tak, aby platilo $\small \left| \angle EGC \right| = \frac{1}{3} \left| \angle ABC \right|$.

Riešenie
Nami predložená konštrukcia nie je riešenie známeho problému "trisekcia uhla". Pri riešení využívame postulát Post 2, ktorý zaručuje existenciu bodov $\small D, H$.
Konštrukcia umožňuje s dostatočnou presnosťou nájsť polohu bodu $\small G$ tak, aby sa veľkosť úsečky $\small GH$ približovala (postupným posúvaním bodu $\small G$ po priamke $\small \overleftrightarrow{CB}$) k veľkosti polomeru $\small BF$ a tým aj uhol $\small \angle EGC$ k $\small \frac{1}{3}$ veľkosti uhla $\alpha$.
Ak si vopred stanovíme presnosť veľkosti $\small \frac{1}{3} \left| \angle ABC \right|$ na $n$ desatinných miest, tak túto úlohu môžeme úspešne riešiť využitím skriptovania v programe GeoGebra.