Planimetria a stereometria

Tvrdenie T/1 (Euklidove Základy Kniha 1, Tvrdenie I).
K danej úsečke $d$ zostrojte rovnostranný trojuholník tak, aby táto úsečka bola jednou z jeho strán.
Dôkaz.
Dôkaz má konštrukčný charakter. Euklides popisuje konštrukciu rovnostranného trojuholníka $\small ABC$ pomocou kružníc $\small k_1=(A,d), k_2=(B,d)$, ktoré sa pretínajú v dvoch rôznych bodoch.

Poznámky.

1. V Euklidových Základoch sa nenachádza axióma alebo tvrdenie, podľa ktorého je zaručená existencia spoločného bodu dvoch kružníc!
2. V e-knihe DGS sme už uviedli, že v afinnom priestore nad poľom racionálnych čísel sa kruhy nepretínajú.
3. Euklides síce nehovorí o spoločnom bode dvoch kružníc, uvádza len tvrdenie/formuláciu "... v ktorom sa kruhy navzájom pretínajú, ..."
4. Vyriešiť tento problém je možné sformulovaním axióm spojitosti.

Axiómy spojitosti.
S1: (Archimedova axióma) Nech sú dané úsečky $\small AB,CD$. Na polpriamke $\small \overrightarrow{AB}$ zostrojme postupne body $\small P_1, P_2, \cdot \cdot \cdot$ také, že
$\small AP_1 \cong P_1P_2 \cong \cdot \cdot \cdot \cong P_iP_{i+1} \cdot \cdot \cdot \cong CD$.
Potom existuje jediné prirodzené číslo $n$ také, že bod $\small P_n \in AB$ a $\small P_{n+1} \notin AB$.
S2: (Axióma úplnosti) K bodom a priamkam v rovine už nie je možné pridať ďalšie tak, aby výsledná geometria stále spĺňala všetky doteraz uvedené axiómy

Poznámky.

1. Euklidovská rovina je model všetkých uvedených axióm.
2. Euklidovská rovina je afinná rovina $\small \mathbb{R^2}$ so skalárnym súčinom definovaným na jej vektorovej zložke. Používame aj označenie $\small \mathbb{E^2}$.
3. Geometria, ktorá spĺňa všetky Hilbertove axiómy (dôležitá je pritom Archimedova axióma), môžeme v nej zaviesť meranie! Pozrite si e-knihu "Miera úsečky".