Planimetria a stereometria

Otvorte si applet Tu.

Definícia (Vonkajší uhol trojuholníka).
Vonkajší uhol trojuholníka je uhol susedný s priľahlým vnútorným uhlom trojuholníka.

Napríklad v predchádzajúcej vete je uhol $\small \angle DBC$ vonkajší uhol k uhlu $\small \alpha= \angle ABC$. Existenciu bodu $\small D$ zabezpečuje axióma Z1 a axióma U2.

Tvrdenie.
Vonkajší uhol $\small \angle DBC$ v trojuholníku $\small ABC$ susedný k uhlu $\small \angle ABC$ je väčší ako ľubovoľný zo zvyšných dvoch vnútorných uhlov tohto trojuholníka. Symbolicky zapísané
$\small \angle DBC > \angle BCA$ a zároveň $\small \angle DBC > \angle BAC$.

Dôkaz.
Stačí, keď dokážeme platnosť prvého a druhého prípadu. Budeme dokazovať sporom.

1. Nech platí $\small \angle DBC \cong \angle BCA$ a zároveň nech $\small AC \cong BD$, potom $\small \triangle ACB \cong \triangle DBC$.
   
   Otvorte si applet Tu.
   
   Odtiaľ dostávame
   $\angle ABC \cong \angle BCD$.
   Zároveň zo zhodnosti $\angle DBC \cong \angle BCA$ a z tvrdenia o susedných uhloch dostávame $\small \angle ABC \cong \angle BCY$, kde $\small Y$ je bod na polpriamke $\small \overrightarrow{AC}$ taký, že $\small \mu (ACY)$.
   Polpriamky $\small \overrightarrow{CD},\overrightarrow{CY}$ obe zvierajú s $\small \overrightarrow{CB}$ rovnaký uhol, pričom body $\small D, Y$ ležia na tej istej strane od $\small \overleftrightarrow{CB}$ (sú oba na opačnej ako $\small A$). To je spor s axiómou Z4.
2. Nech platí
   $\small \angle DBC < \angle BCA$,
   potom existuje polpriamka $\small \overrightarrow{CZ}$ medzi polpriamkami $\small \overrightarrow{CB},\overrightarrow{CA}$ tak, že platí
   $\small ∠BCZ \cong ∠CBX$.
   Teraz tento prípad prevedieme na prvý prípad, ktorého platnosť sme už dokázali. Polpriamka $\small \overrightarrow{CZ}$ pretína pretína úsečku $\small AB$ (veta o priečke uhla, Chalmovianska, str. 19) v bode $\small E$. Potom v trojuholníku $\small EBC$ je vonkajší uhol pri vrchole $\small B$ zhodný s vnútorným uhlom pri vrchole $\small C$. To je ale predpoklad prvého prípadu. To však viedlo k sporu, preto nemôže nastať ani druhý prípad.
3. V ďalších dvoch prípadoch $\small \angle CBD \cong \angle A$; $\small \angle CBD < \angle A$ postupujeme analogicky.
   
   Otvorte si applet Tu .

Poznámky.

1. Euklides tvrdenie o vonkajšom uhle (uvádza vo svojich Základoch ako tvrdenie T/XVI, pozrite Tu) dokazuje pomocou zhodnosti vrcholových uhlov. V dôkaze využíva vlastnosť (ktorú bližšie nešpecifikuje), že pri "prenášaní" úsečky sa jej veľkosť nemení.
2. V Euklidovom dôkaze kľúčovým momentom je predpoklad, že polpriamka $\small \overrightarrow{CE}$ leží medzi polpriamkami $\small \overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CD}$. To Euklides pokladá za všeobecne platnú Zásadu. U Hilberta je to podložené axiómami zhodnosti a usporiadania.
3. Zhodnosť vrcholových uhlov dokazuje pomocou vlastnosti, že súčet susedných uhlov sa rovná dvom pravým uhlom. Tvrdenie T/XV, dôkaz pozrite Tu.
4. V stredoškolskej matematike sa táto veta uvádza ako Teoréma vonkajšieho uhla. Pozri Wikipédiu Tu