Planimetria a stereometria

Axiómy zhodnosti
Z1: Pre ľubovoľné dva rôzne body $\small A,B$ a polpriamku vychádzajúcu z bodu $\small A'$
existuje na tejto polpriamke práve jeden bod $\small B'$ taký, že $\small AB \cong A'B'$.
Z2: Ak $\small AB \cong A'B'$ a $\small AB \cong A''B''$, potom $\small A'B' \cong A''B''$.
Navyše, každá úsečka je zhodná sama so sebou: $\small AB \cong AB$.
Z3: Ak $\small \mu( ABC)$, $\small \mu( A'B'C')$, $\small AB \cong A'B'$ a $\small BC \cong B'C'$, potom $\small AC \cong A'C'$.
Z4: Pre daný uhol $\small ∠ABC$, danú polpriamku $\small \overrightarrow{B'A'}$ a danú polrovinu ohraničenú priamkou $\small \overleftrightarrow{A'B'}$
existuje práve jedna polpriamka $\small \overrightarrow{B'C'}$ v danej polrovine tak, že $\small ∠A'B'C' \cong ∠ABC$.
Z5: Ak $\small ∠ABC \cong ∠A'B'C'$ a $\small ∠ABC \cong ∠A''B''C''$, potom $\small ∠A'B'C' \cong ∠A''B''C''$.
Navyše, každý uhol je zhodný sám so sebou: $\small ∠ABC \cong ∠ABC$.
Z6: Ak pre trojuholníky $\small ABC$ a $\small A'B'C'$ platí, že $\small AB \cong A'B', BC \cong B'C'$ a $\small ∠B \cong ∠B'$,
potom $\small ∠A \cong ∠A'$ a $\small ∠C \cong ∠C'$.

Otvorte si dynamickú konštrukciu Tu a presuňte trojuholník $\small \triangle A'B'C'$ na trojuholník $\small \triangle ABC$.

Definícia.
Hovoríme, že trojuholníky $\small ABC$ a $\small A'B'C'$ sú zhodné, označujeme $\small \Delta ABC \cong \Delta A'B'C'$, ak
$\small AB \cong A'B', BC \cong B'C', AC \cong A'C'$ a $\small ∠A \cong ∠A', ∠B \cong ∠B', ∠C \cong ∠C'$.

Veta sus. (Euklidove Základy, Tvrdenie I.4)
Ak pre trojuholníky $\small ABC$ a $\small A'B'C'$ platí, že $\small AB \cong A'B', BC \cong B'C'$ a $\small ∠B \cong ∠B'$, potom sú tieto trojuholníky zhodné.

Dôkaz.
V dôsledku axiómy Z6 stačí ukázať, že $\small AC \cong A'C'$. Dôkaz urobíme sporom. Nech
$\small AC \ncong A'C'$.
Nech $\small C'' \in \overrightarrow{A'C'}: A'C'' \cong AC$, pre ktorý platí $\small C' \neq C''$. Použitím axiómy Z6 dostaneme, že
$\small ∠A'B'C' \cong A'B'C''$,
čo je v rozpore s axiómou Z4 o prenášaní uhla. Teda musí platiť $\small C' = C''$.

Poznámky.

1. Niekedy sa veta sus uvádza ako axióma Z6.
2. Porovnajte nami prezentovaný dôkaz vety sus s dôkazom v uvedeným v Euklidových Základoch.
3. Ďalšie vety o zhodnosti trojuholníkov nájdete v samostatnej e-knihe tohto kurzu.

V Hilbertovom axiomatickom systéme axiómy Z1 a Z4 zaručujú jednoznačnosť prenášania

1. danej úsečky na danú polpriamku - Z1
2. uhla danej veľkosti do polroviny - Z4

V Euklidových Základoch sú tieto axiomatické pojmy uvádzané ako konštrukcie. Prenášanie úsečky (Tvrdenie I.3) sa popisuje pomocou kružnice. Prenášanie uhla (vyhľadajte v prvej knihe Euklidových Základov).

Definícia.
Nech $\small S \in E_2$ je ľubovoľný bod a $r$ je daná nenulová úsečka. Kružnica so stredom $\small S$ a polomerom $r$ je množina všetkých bodov $\small X \in E_2$, pre ktoré platí, že úsečka $\small SX$ je zhodná s úsečkou $r$.
$\small k(S; r) := \lbrace{X \in E_2; SX \cong r}\rbrace$

Definície ďalších geometrických útvarov budeme uvádzať priebežne podľa potreby.
Axióma Z4 predstavuje euklidovskú konštrukciu prenášania uhla do danej polroviny. Vo vyučovaní geometrie na ZŠ sa táto konštrukcia uskutočňuje pomocou listu papiera alebo pomocou kružidla. Dynamickú formu aktivity prenášania uhla pomocou kružidla, ktorá je vhodná pre žiakov základných škôl, predstavuje nasledujúci applet.

1. Uhol $\small \alpha = ∢ AVB$ je zhodný s uhlom $\small ∢ POQ$.
2. Zapisujeme $\small ∢ AVB ≅ ∢POQ$.
3. Čítame: uhol $\small \alpha (∢ AVB)$ je zhodný s uhlom $\small ∢ POQ$.
   

Kružnica sa využíva aj pri euklidovskej konštrukcii osi uhla Kniha 1, Tvrdenie IX ako ukazuje nasledujúci obrázok.
V predchádzajúcich dvoch euklidovských konštrukciách sa mimovoľne predpokladalo, že pri prenášaní úsečky jej veľkosť sa nemení. V Hilbertovom axiomatickom systéme vlastnosť zachovávania "veľkosti útvaru" pri "prenášaní" sa zaručuje pomocou axióm Z1 a Z4.
Rozdiel medzi Euklidovými Základmi a Hilbertovým axiomatickým prístupom je zásadný, ktorý podrobnejšie popíšeme v nasledujúcej podkapitole.