Planimetria a stereometria

Definícia (Rovnobežnosť).
Euklides: Rovnoběžky jsou přímky, které jsou v téže rovině a prodlouženy na obě strany do nekonečna nikde se nesbíhají. (Servít)
Hilbert:   Dve priamky sú rovnobežné (rovnobežky), ak nemajú spoločný bod.

Tvrdenie (Základy, T/XXVII).
Keď priamka pretínajúca dve priamky vytvára striedavé uhly navzájom rovnaké, budú tie priamky navzájom rovnobežné.

Dôkaz.
Urobte si cvičenie. Použite dôsledok vety o vonkajšom uhle.

Dôsledok - existencia rovnobežky.
Nech bod $\small B$ neleží na priamke $p$. Potom existuje priamka $q$ taká, že $\small B \in q \; \wedge \; p \parallel q$.

Dôkaz.
Zvoľme si ľubovoľný bod $\small A$ na priamke $p$. Zostrojme priamku $\small t=AB$ (transverzála/priečka priamok $p,q$).
Následne zostrojíme priamku $\small q: B \in q$ tak, aby striedavé uhly pri priamkach $p,q$ s transverzálou $t$ boli rovnaké (axióm Z4).
Rovnobežnosť $p, q$ vyplýva z vety o vonkajšom uhle trojuholníka.

Poznámka.
Dokázaním predchádzajúceho dôsledku sme ukázali existenciu rovnobežky, pričom sme použili predchádzajúce axiómy.
Teraz stačí formulovať axiómu, ktorá zaručí jednoznačnosť - existenciu jedinej rovnobežky.

Playfairova axióma.
Pre každú priamku $p$ a pre každý bod $\small B \notin p$ existuje práve (najviac) jedna priamka $\small q: B \in q$ rovnobežná s priamkou $p$ (ozn. $p \parallel q$ ).

Piaty Euklidov postulát.
A keď priamka pretínajúca priamky dve priamky tvorí na tej istej strane vnútornej (priľahlej) uhly menšie dvoch pravých, tie dve priamky predĺžené do nekonečna sa zbiehajú na tej strane, kde sú uhly menšie dvoch pravých.

Tvrdenie(Základy, T/XXXII).
Súčet vnútorných uhlov trojuholníka je rovný dvom pravým uhlom.
Dôkaz.
Pokúste sa dokázať toto tvrdenie ako cvičenie. Tvrdenie T/XXXII je ekvivalentné axióme rovnobežnosti. Euklidov dôkaz nájdete v kapitole "Geometria trojuholníka".