Planimetria a stereometria

Axiómy usporiadania
U1: Ak $\small B$ leží medzi $\small A$ a $\small C$ [$\small \mu (ABC)$], potom $\small A, B, C$ sú tri rôzne kolineárne body a platí tiež, že $\small B$ leží medzi $\small C$ a $\small A$.
U2: Pre ľubovoľné navzájom rôzne body $\small A, C$ existujú body $\small B, D$ tak, že $\small \mu( ABC)$ a $\small \mu( ACD)$.
U3: Pre ľubovoľné tri navzájom rôzne kolineárne body práve jeden z nich leží medzi zvyšnými dvoma.
U4: (Paschova axióma, 1882) Nech priamka $p$ neprechádza žiadnym z nekolineárnych bodov $\small A, B, C$.
Ak $p$ pretína úsečku $\small AB$, potom pretína buď úsečku $\small AC$ alebo úsečku $\small BC$.

Definície.

1. Nech $\small A , B$ sú dva rôzne body. Úsečka $\small {AB}$ je množina bodov $\small X$, ktoré ležia medzi bodmi $\small A,B$ zjednotená s dvojprvkovou množinou $\small \lbrace{A, B}\rbrace$. Body $\small A , B$ sú krajné body úsečky.
   $\small {AB} := \lbrace{X; \mu(AXB)}\rbrace \vee X \in \lbrace{A,B}\rbrace$
2. Nech $\small A , B$ sú dva rôzne body. Polpriamka $\small \overrightarrow{AB}$ je množina bodov úsečky $\small AB$ a bodov $\small X$, pre ktoré platí $\small \mu( ABX)$.
   $\small \overrightarrow{AB} :=\lbrace X\in AB \vee \mu(ABX) \rbrace$
3. Nech $\small A , B$ sú dva rôzne body. Opačná polpriamka k polpriamke $\small \overrightarrow{AB}$ je množina bodov $\small X$, pre ktoré platí, že bod $\small A$ leží medzi bodmi $\small B, X$ zjednotenú s jednobodovou množinou $\small \lbrace{A}\rbrace$.
   $\small \overleftarrow{AB} := \lbrace{ X=A \vee \mu(BAX) }\rbrace$

Znázornite všetky tri situácie v GeoGebre. Pozrite si prácu [MON].

Tvrdenie.
Pre ľubovoľné dva rôzne body $\small A , B$ platí:
$\small \overrightarrow{AB} \cap \overrightarrow{BA} = AB$ .

Dôkaz.
Z definície polpriamky dostávame
$\small AB \subset \overrightarrow{AB} \cap \overrightarrow{BA}$.
Potrebujeme ešte dokázať, že platí $\small \overrightarrow{AB} \cap \overrightarrow{BA} \subset AB$. Zvoľme si ľubovoľný bod $\small C$, pre ktorý platí
$\small C \in \overrightarrow{AB} \cap \overrightarrow{BA}$.

1. Nech $\small C = A$ alebo $\small C = B$, potom dokazovaná inklúzia platí.
2. Nech $\small C \neq A, C \neq B$. Keďže $\small C \in \overrightarrow{AB} \cap \overrightarrow{BA}$, tak musí súčasne platiť
   • $\small C \in \overrightarrow {AB}$ (horná časť appletu), v tom prípade z definície polpriamky dostávame, že
     $\small \mu (ACB)$ alebo $\small \mu (ABC)$.
   • podobne pre $\small C \in \overrightarrow {BA}$ (dolná časť appletu) je buď $\small \mu (BCA)$ alebo $\small \mu (BAC)$.
Súčasne môže nastať len prípad $\small \mu (ABC)$. Záver: z axiómy U3 dostávame: $\small \mu (ABC) \Leftrightarrow C \in AB$.

Cvičenie.
Dokážte, že platí:
$\small \overrightarrow{AB} \cup \overrightarrow{BA} = \overleftrightarrow {AB}$.

Dôkaz.
Dôkaz je nutné rozložiť do dvoch krokov (dokazujeme rovnosť množín).

1. Nech $\small C \in \overrightarrow{AB} \cup \overrightarrow{BA}$, potom treba dokázať $\small C \in \overleftrightarrow{AB} \$. Použite definíciu polriamky.
2. Nech $\small C \in \overleftrightarrow{AB}$, potom treba dokázať $\small C \in \overrightarrow{AB} \cup \overrightarrow{BA}$. Použite definíciu priamky.

Uvedomte si, že pre polohu (Pozri práca [CHAL, str. 16] bodu $\small C \in \overleftrightarrow{AB}$ vzhľadom na $\small A , B$ máme možnosti: $\small \; \mu( CAB), \;C = A,\; \mu( ACB), \;C = B,\; \mu( ABC)$. Prvé tri možnosti znamenajú, že $\small C \in \overrightarrow {BA}$

Definícia.
Daná je priamka $p$ a body $\small A , B$ neležiace na tejto priamke. Hovoríme, že body $\small A , B$
• ležia na opačných stranách od danej priamky, ak úsečka $\small AB$ túto priamku pretína, t.j. ak na tejto priamke existuje bod $\small X$ tak, že $\small \mu (AXB)$
• ležia na tej istej strane od priamky $p$, ak $\small A = B$ alebo ak $\small A \neq B$ a úsečka $\small AB$ priamku $p$ nepretína (\\small ( p \cap AB= ∅ ) \)

Príklad.
Dané sú tri nekolineárne body $\small A,B,C$. Určte množinu (šrafovaním)
$\small \lbrace{X;XC \cap \overrightarrow{AB}=∅ }\rbrace$.
Konštrukčný návod Tu. Applet, v ktorom je nástroj na vyznačenie polroviny Tu.
Riešenie Tu.

Tvrdenie (separačná vlastnosť v rovine, U4S).
Priamka $p$ delí rovinu okrem bodov priamky $p$ na dve triedy tak, že body ležia v tej istej triede práve vtedy, keď
ležia na tej istej strane od priamky $p$. (t.j. neexistuje bod $\small X \in p$ taký, že $\small \mu (AXB)$, kde $\small A$ a $\small B$ sú dané body).
Dôkaz pozri prácu [CHAL] .

Definície.

1. Nech $\small A , B, C$ sú dané nekolineárne body. Pod polrovinou $\small \overrightarrow{ABC}$ rozumieme množınu bodov $\small X$, pre ktoré platí, že prienik úsečky $\small XC$ s priamkou $\small \overleftrightarrow{AB}$ je prázdna množina, alebo jednoprvková množina, ktorej prvkom je práve bod $X$.
   $\small \overrightarrow{ABC} := \lbrace{X \in E_2;XC \cap \overleftrightarrow{AB}= ∅ \vee XC \cap \overleftrightarrow{AB}= \lbrace{X}}\rbrace$
2. Nech $\small A , B, C$ sú dané nekolineárne body. Pod trojuholníkom $\small ABC$ rozumieme prienik polrovín $\small \overrightarrow{ABC}, \overrightarrow{BCA}, \overrightarrow{CAB}$.
   $\small \triangle ABC := \overrightarrow{ABC} \cap \overrightarrow{BCA} \cap \overrightarrow{CAB}$

Pozrite si tiež definície v práci [MON] kapitola 2: "Konvexná množina".