Planimetria a stereometria

V predchádzajúcej časti sme stručne načrtli interpretáciu základných pojmov (bod, priamka, incidencia a pod.) v programe GeoGebra. Interpretácia týchto pojmov môže mať rôzne podoby.
Ak priradíme základným pojmom nejaký konkrétny význam, tak vytvoríme model geometrie.
Potom v tomto modeli môžeme skúmať, či platia axiómy v systéme, ktorý sme zaviedli. Ak sú axiómy v tejto interpretácii (v modeli geometrie) pravdivé, potom takto vytvorený model je modelom daného axiomatického systému.
Uvádzame niekoľko modelov geometrie.

Incidenčné modely geometrie

1. Trojbodová (prípadne štvorbodová, päťbodová) geometria
• $\small A, B, C$ sú body a $\small \lbrace{A,B}\rbrace , \lbrace{A,C}\rbrace , \lbrace{B,C}\rbrace$ sú priamky resp. Kompletný graf s 3 (prípadne so 4 resp. 5 vrcholmi.
  
• Euklidov postulát o rovnobežkách neplatí.
• Overte platnosť axióm incidencie.
2. Algebraický model - analytická geometria euklidovskej roviny
• Body sú usporiadané dvojice $(a_1, a_2)$ reálnych čísel.
• Priamky sú lineárne rovnice $ax + by + c = 0 ((a, b) \neq (0, 0))$.
• Incidencia: $\small A=(a_1,a_2) \in p(ax+by+c=0) \Leftrightarrow (a_1,a_2)$ je riešením rovnice $ax+by+c\small =0$.
• Model je reprezentovaný vzhľadom Nákresňa v programe GeoGebra.

Sféra ako neincidenčný model

• Bodmi sú body na guľovej ploche (sfére). Priamkami sú kružnice na sfére so stredom v strede gule.
• Každé dve priamky sa pretínajú v dvoch bodoch, preto nejde o model incidenčnej geometrie. Otvorte si applet a pohybujte bodmi $\small A,B, C,D$.

Otvorte si interaktívny applet Tu

Lineárna perspektíva (15. stor.) - projekcia bodov trojrozmerného priestoru do roviny (na plátno).