Planimetria a stereometria

V roku 1899 slávny matematik David Hilbert publikoval prácu Grundlagen der Geometrie, v ktorej navrhuje axiomatický systém, nahrádzajúci tradičné axiómy Euklida. V literatúre je tento axiomatický systém známy ako Hilbertov axiomatický systém. V práci [HIL] je uvedených šesť primitívnych pojmov, ktoré sú začlenené do dvoch skupín:

1. Primitívne objekty
• body - označujeme veľkými písmenami latinskej abecedy $\small A , B , C , ...$;
• priamky - na označenie používame malé písmená $\small a , b , c , ...$ a
• roviny - označujeme malými gréckymi písmenami $\small \alpha, \beta, \gamma , ...$.
2. Primitívne vzťahy (binárne relácie)
• incidencia - $\small A ∈ a$ ["bod $\small A$ leží na priamke $\small a$", "priamka $\small a$ prechádza bodom $\small A$", "bod $\small A$ a priamka $\small a$ sú incidentné"].
• vzťah "medzi" - \small $\small \mu(ABC)$ [usporiadanie troch kolineárnych bodov $\small A , B , C$, kde bod $\small B$ leží medzi bodmi $\small A , C$]; používa sa aj označenie $\small A \ast B \ast C$. Pozri prácu [ChalJ]
• zhodnosť (kongruencia) - $u \cong v$ ["úsečka $u$ je zhodná s úsečkou $v$"], zhodnosť uhlov, zhodnosť trojuholníkov.
Primitívne objekty nedefinujeme, vieme však jednoznačne rozhodnúť o (primitívnych) vzťahoch medzi nimi.

Otvorte si interaktívny applet Tu.

Hilbertov axiomatický systém pozostáva z piatich skupín axióm.

1. axiómy incidencie
2. axiómy usporiadania
3. axiómy zhodnosti (kongruencie)
4. axióma o rovnobežnosti
5. axiómy spojitosti
Axiómy charakterizujú vzťahy medzi primitívnymi objektmi. Axiomatický systém obsahuje celkom 20 axióm.

Body $\small P_1, P_2, P_3, ...$ nazývame kolineárne, ak existuje priamka so všetkými týmito bodmi incidentná.

Axiómy incidencie v rovine
I1: Dvoma rôznymi bodmi $\small A, B$ prechádza práve jedna priamka.
I2: Každá priamka obsahuje aspoň dva rôzne body.
I3: Existuje aspoň jedna trojica navzájom rôznych nekolineárnych bodov.
Axiómy incidencie v priestore
I4: Tromi nekolineárnymi bodmi $\small A, B,C$ prechádza práve jedna rovina.
I5: V každej rovine existujú aspoň tri nekolineárne body.
I6: Ak dva rôzne body $\small A, B$ priamky $\small p$ ležia v rovine $\small \alpha$, potom každý bod priamky $\small p$ leží v rovine $\small \alpha$.
I7: Ak dve roviny $\small \alpha, \beta$ majú spoločný bod $\small A$, potom majú spoločný ešte aspoň jeden bod $\small B$, rôzny od $\small A$.
I8: Existuje aspoň jedna štvorica nekomplanárnych bodov $\small A, B,C,D$.

Tvrdenie
Ak $p,q$ sú dve rôzne priamky, potom $p$ a $q$ majú najviac jeden spoločný bod.

Dôkaz. nepriamo

• predpokladajme, že $\small p \neq q$ a zároveň $\small A,B \in p \cap q$;
• potom $\small A ∈ p , B ∈ p$ a zároveň $\small A ∈ q , B ∈ q$;
• podľa axiómy I1 existuje priamka $\small \overleftrightarrow{AB}$ je určená bodmi $\small A, B$;
• a zároveň podľa axiómy I1 bude $\small p=\overleftrightarrow{AB}$, lebo $\small A, B \in p$;
• podobne zistíme, že $\small q=\overleftrightarrow{AB}$
• a teda musí platiť $\small p=q$, čo je spor s predpokladom sú totožné.

V ďalšej časti sa zameriame na interpretáciu Euklidovskej roviny pomocou dynamických geometrických systémov (DGS). Budeme používať softvér GeoGebra. Vo všeobecnosti ak DGS má správne interpretovať danú geometriu (napr. Euklidovskú), tak je nutné vhodne popísať/definovať základné geometrické pojmy a vzťahy. Túto požiadavku výstižne charakterizuje doc. Vallo vo svojej habilitačnej práci, kde zdôrazňuje požiadavku determinovanosti pri využívaní IKT v geometrii.

V DGS je nutné, aby dôležité prvky geometrických útvarov boli deterministicky definované (Vallo, 2021).

Uvádzame niekoľko východísk, ktoré tvorcovia softvéru GeoGebra naprogramovali v jeho základnej verzii. Vo vzhľade Nákresňa (2-rozmerný priestor) je bod reprezentovaný dvojicou reálnych čísel. Tento model je izomorfný s afinným dvojrozmerným priestorom nad poľom reálnych čísel.
Požiadavka determinovanosti z pohľadu geometrie znamená presne stanoviť, čo predstavuje bod so súradnicami $\small (a,b)$. Presné geometrické vymedzenie (determinovanosť) veľmi dobre interpretujú nasledovné príkazy softvéru GeoGebra.

1. Príkaz $\small A = (a,b)$ vygeneruje na zobrazovacej ploche bod so súradnicami $\small (a,b)$ a s popisom $\small A$.
   
2. Príkaz $\small B = (a,b)$ vygeneruje opäť bod s tými istými súradnicami a s popisom $\small B$.

Obidva body sa budú prekrývať a budú prezentovať dva totožné body. Môžeme ich aj farebne odlíšiť, čo sa zjavne prejaví pri dynamickej zmene bodu $\small B$.
Pri klasickej výučbe geometrie (manuálne rysovacie prostriedky) je problematické reálne „pracovať“ s totožnými (identickými) útvarmi. Napríklad dva rôzne ale totožné body rozlíšime len tak, že pri ich popise uvedieme $\small A = B$.

Poznámka.
V DGS priesečník dvoch priamok sa musí exaktne definovať pomocou nástroja Priesečník. Ak nie, tak DGS ho neidentifikuje ako bod.

Pomocou nástroja " Priesečník" môžeme vytvoriť tri priesečníky výšok v trojuholníku

1. $\small V\in k_a\cap k_b$
2. $\small V_1\in k_b\cap k_c$
3. $\small V_2\in k_c\cap k_a$,

o ktorých vieme dokázať (Kapitola "Významné prvky trojuholníka"), že sú to tri totožné body.

DGS to chápe ako tri samostatné body. Pomocou nástroja "Vzťah a = b" môžeme napríklad overiť, či bod $\small V_1\in k_b\cap k_c$ leží aj na kolmici $\small k_a$. GeoGebra nám zobrazí oznam/výsledok, ktorý predstavuje obrázok vpravo. Celá konštrukcia "Priesečník výšok v trojuholníku" je znázornená na obrázku vľavo.