Planimetria a stereometria

Definícia.
Pod geometrickým zobrazením v rovine $\small \mathbb E_2$ rozumieme predpis $f$, ktorý ľubovoľnému bodu $\small X \in \mathbb E_2$ priradí najviac jeden bod $\small X' = f(X)$ .

V tejto kapitole sa budeme skúmať

1. zhodné a podobné zobrazenia,
2. osovú afinitu,
   
3. stredovú kolineáciu,
4. kruhovú inverziu.

Definícia.
Zobrazenie $\small f: \mathbb{E_2} \rightarrow \mathbb{E_2}$ nazývame zhodné zobrazenie v ( $\small \mathbb{E_2}$ ), ak pre každé dva rôzne body $\small X, Y ∈ \mathbb{E_2}$ platí
$\small X'Y' ≅ XY$,
kde $\small X' =f(X), Y' = f(Y )$. Zhodné zobrazenia predstavujú geometrické zobrazenia euklidovskej roviny, ktoré zachovávajú incidenciu útvarov a vzdialenosť bodov (metriku).

Rovinné geometrické útvary $\small U_1, U_2$ sa nazývajú zhodné , ak existuje zhodné zobrazenie, ktoré jeden z nich zobrazí na druhý.  Zhodnosť dvoch útvarov symbolicky označíme takto: $\small U_1 \simeq U_2$ alebo takto $\small U_1 \cong U_2$.

Definícia.

1. Zhodné zobrazenie, ktoré nemení orientáciu trojice nelineárnych bodov nazývame priama zhodnosť . Zobrazenie, ktoré nie je priama zhodnosť sa nazýva nepriama zhodnosť.
2. Útvar $\small U$ nazývame samodružným zobrazenie $f$, ak sa v zobrazení $f$ zobrazí sám do seba, t.j. $\small f(U)=U$.

V euklidovskej rovine poznáme šesť typov zhodných zobrazení a to

• identitu,
• osovú súmernosť,
• stredovú súmernosť,
• otočenie (rotáciu),
• posunutie (transláciu),
• posunutú súmernosť.

Tvrdenie.
Zložením dvoch zhodných zobrazení je zhodné zobrazenie.

Dôkaz tohto tvrdenia prenechávame na čitateľa.

Definícia.
Nech $o$ je daná priamka. Zobrazenie, pre ktoré platí:

1. obrazom bodu $\small X$ ležiaceho na priamke $o$ je bod $\small X'$, ktorý je totožný s bodom $\small X$,
2. obrazom bodu $\small X$ neležiaceho na priamke $o$ je bod $\small X'$, pre ktorý platí, že priamka $\small XX'$ je kolmá na priamku $o$ a stred úsečky $\small XX'$ leží na priamke $o$,
   nazývame osová súmernosť,
3. Priamku $o$ nazývame os osovej súmernosti. Osovú súmernosť s osou $o$ budeme označovať symbolom $\sigma (o)$.

Otvorte si applet Tu.

Cvičenie.
Je daná priamka $p$ a body $\small A, B$ ležiace v tej istej polrovine s hraničnou priamkou $p$. Určte bod $\small X ∈ p$ tak, aby súčet $\small AX+ BX$ bol čo najmenší.
Riešenie Tu.