Geometrické zobrazenia

Definícia.
Pod geometrickým zobrazením v rovine $\small \mathbb E_2$ rozumieme predpis $f$, ktorý ľubovoľnému bodu $\small X \in \mathbb E_2$ priradí najviac jeden bod $\small X' = f(X)$ .

V tejto kapitole sa budeme skúmať

1. zhodné a podobné zobrazenia,
2. osovú afinitu,
   
3. stredovú kolineáciu,
4. kruhovú inverziu.

Definícia.
Zobrazenie $\small f: \mathbb{E_2} \rightarrow \mathbb{E_2}$ nazývame zhodné zobrazenie v ( $\small \mathbb{E_2}$ ), ak pre každé dva rôzne body $\small X, Y ∈ \mathbb{E_2}$ platí
$\small X'Y' ≅ XY$,
kde $\small X' =f(X), Y' = f(Y )$. Zhodné zobrazenia predstavujú geometrické zobrazenia euklidovskej roviny, ktoré zachovávajú incidenciu útvarov a vzdialenosť bodov (metriku).

Rovinné geometrické útvary $\small U_1, U_2$ sa nazývajú zhodné , ak existuje zhodné zobrazenie, ktoré jeden z nich zobrazí na druhý.  Zhodnosť dvoch útvarov symbolicky označíme takto: $\small U_1 \simeq U_2$ alebo takto $\small U_1 \cong U_2$.

Definícia.

1. Zhodné zobrazenie, ktoré nemení orientáciu trojice nelineárnych bodov nazývame priama zhodnosť . Zobrazenie, ktoré nie je priama zhodnosť sa nazýva nepriama zhodnosť.
2. Útvar $\small U$ nazývame samodružným zobrazenie $f$, ak sa v zobrazení $f$ zobrazí sám do seba, t.j. $\small f(U)=U$.

V euklidovskej rovine poznáme šesť typov zhodných zobrazení a to

• identitu,
• osovú súmernosť,
• stredovú súmernosť,
• otočenie (rotáciu),
• posunutie (transláciu),
• posunutú súmernosť.

Tvrdenie.
Zložením dvoch zhodných zobrazení je zhodné zobrazenie.

Dôkaz tohto tvrdenia prenechávame na čitateľa.

Definícia.
Nech $o$ je daná priamka. Zobrazenie, pre ktoré platí:

1. obrazom bodu $\small X$ ležiaceho na priamke $o$ je bod $\small X'$, ktorý je totožný s bodom $\small X$,
2. obrazom bodu $\small X$ neležiaceho na priamke $o$ je bod $\small X'$, pre ktorý platí, že priamka $\small XX'$ je kolmá na priamku $o$ a stred úsečky $\small XX'$ leží na priamke $o$,
   nazývame osová súmernosť,
3. Priamku $o$ nazývame os osovej súmernosti. Osovú súmernosť s osou $o$ budeme označovať symbolom $\sigma (o)$.

Otvorte si applet Tu.

Cvičenie.
Je daná priamka $p$ a body $\small A, B$ ležiace v tej istej polrovine s hraničnou priamkou $p$. Určte bod $\small X ∈ p$ tak, aby súčet $\small AX+ BX$ bol čo najmenší.
Riešenie Tu.

Otvorte applet od autora Daniel Mentrard Tu.

Definícia.
Nech $\small S$ je daný bod. Zobrazenie, pre ktoré platí:

1. obrazom bodu $\small S$ je bod $\small S$,
2. obrazom bodu $\small X \neq S$ je bod $\small X'$, pre ktorý platí, že bod $\small S$ je stredom úsečky $\small XX'$ nazývame stredová súmernosť ,
3. bod $\small S$ sa nazýva stred otáčania.

Otvorte si dynamickú prezentáciu Tu.

Definícia.
Nech je daný bod $\small S$, uhol $\alpha$ (veľkosť uhla je nanajvýš 360°) a orientácia kladná (proti smeru hodinových ručičiek) resp. záporná (v smeru hodinových ručičiek). Zobrazenie, pre ktoré platí:

1. obrazom bodu $\small S$ je bod $\small S$,
2. obrazom bodu $\small X \neq S$ je bod $\small X'$, ktorý leží na kružnici $\small k(S;SX$ a zároveň uhol $\small XSX'$ je zhodný s uhlom $\alpha$, pričom orientácia je kladná, resp. záporná, sa nazýva otáčanie ,
3. Bod $\small S$ sa nazýva stred otáčania. Otočenie so stredom $\small S$ a uhlom $\alpha$ a kladnou resp. zápornou orientáciou budeme označovať $\rho_{S; -\alpha }$.

Otvorte si applet Tu.

Tvrdenia (Rozklad zhodností na osové súmernosti).

1. Identitu možno rozložiť na dve osové súmernosti, ktorých osi sú totožné. (Dôkaz prenechávame na čitateľa).
2. Každú stredovú súmernosť možno rozložiť na dve osové súmernosti, ktorých osi sú na seba kolmé a prechádzajú stredom stredovej súmernosti.
3. Každú rotáciu možno rozložiť na dve osové súmernosti, ktorých osi prechádzajú stredom rotácie, zvierajú uhol, ktorého veľkosť sa rovná jednej polovici veľkosti uhla rotácie, pričom orientácia uhla rotácie je súhlasná s orientáciou uhla od osi prvej osovej súmernosti ku osi druhej osovej súmernosti podľa poradia v zložení.

Otvorte konštrukčný dôkaz Tu.

Cvičenie (Stredová súmernosť).
Sú dané dve sústredné kružnice $k_1(O,r_1); k_2(O,r_2); r_1> r_2$ a bod $\small S$ vo vnútri $k_2$. Zostrojte obdĺžnik $\small ABCD$ tak, že $\small A,B \in k_1 ; C,D \in k_2$ a bod $\small S$ je jeho stredom. Riešenie Tu.

Definícia.
Daný je vektor $\vec{u}$. Zobrazenie, pre ktoré platí, že obrazom bodu $\small X$ je bod $\small X'$, pričom platí rovnosť vektorov $\small \vec{u}=\vec{XX'}$, sa nazýva posunutie alebo translácia.
Vektor $\vec{u}$ nazývame vektor posunutia. Posunutie o vektor $\vec{u}$ budeme označovať $\tau_{\vec{u} }$.

Otvorte si applet Tu.

Tvrdenie.
Každé posunutie možno rozložiť na dve osové súmernosti, ktorých osi sú rovnobežné (rôzne), zároveň sú kolmé na vektor posunutia, ich vzdialenosť je rovná jednej polovici veľkosti vektora posunutia, pričom orientácia vektora posunutia je súhlasná s orientáciou od osi prvej osovej súmernosti ku osi druhej osovej súmernosti podľa poradia v zložení.

Určenie vektora posunutia, ak posunutie je dané dvomi osovými súmernosťami je prezentované appletom "Posunutie".

Otvorte si applet "Posunutie" Tu.

Definícia.
Zostrojte rovnobežník ak sú dané veľkosti jeho strán $a, b$ a veľkosť $\phi$ uhla, ktorý zvierajú jeho uhlopriečky.

Otvorte si riešenie Tu.

Definícia.
Zobrazenie, ktoré je zložením osovej súmernosti a posunutia (v ľubovoľnom poradí), pričom os osovej súmernosti a vektor posunutia sú rovnobežné, nazývame posunutá súmernosť ; (posunutú súmernosť danú osou $o$ a vektorom $\vec{u}$ budeme označovať $\psi_{o;\vec{u}}$).

Poznámka.
V niektorej literatúre sa pre posunutú súmernosť používa názov posunuté zrkadlenie.

Tvrdenie
Zložením troch osových súmerností s navzájom rôznymi osami je buď osová súmernosť’ alebo posunutá súmernosť.

Dôkaz
Nech sú dané osové súmernosti $\sigma (o_1), \sigma (o_2), \sigma (o_3)$ a nech $o_1 \neq o_2 \neq o_3 \neq o_1$ sú navzájom rôzne priamky. Pre vzájomnú polohu týchto troch priamok môžu nastať 3 prípady:

1. Všetky priamky sú navzájom rovnobežné → výsledné zložené zobrazenie je osová súmernosť.
2. Dve sú rovnobežné a tretia ich pretína → výsledné zložené zobrazenie je posunutá súmernosť.
3. Priamky ležia na stranách trojuholníka (navzájom sú rôznobežné) → výsledné zložené zobrazenie je posunutá súmernosť. Otvorte si applet Tu.

Cvičenie
Daný je pravidelný 6-uholník $\small ABCDEF$ a body $\small X, Y$ , pričom $\small (ABX) = (DEY ) = 2$. Nájdite zhodné zobrazenie, ktoré zobrazí trojuholník $\small AXS$ do trojuholníka $\small Y DF$. Bude to priama alebo nepriama zhodnosť?

Riešenie

Tvrdenie.

1. Zloženie ľubovoľného konečného počtu osových súmerností možno vždy redukovať na zloženie maximálne troch osových súmerností. Pozrite si konštrukčný dôkazu Tu.
   
2. Zložením ľubovoľného konečného počtu zhodných zobrazení je identita, alebo osová súmernosť, alebo stredová súmernosť, alebo rotácia, alebo translácia, alebo posunutá súmernosť.
3. Všetky zhodnosti v rovine tvoria vzhľadom na skladanie zobrazení grupu (tzv. grupu zhodností). Generátorom grupy zhodností je osová súmernosť.

Zhodnosti reprodukujúce štvorec tvoria podgrupu. Pozrite si dynamický model.

Otvorte Tu.

Definícia.
Podobné zobrazenie (podobnosť) je zobrazenie, v ktorom obrazom každej úsečky $\small AB$ je úsečka $\small A'B'$, ktorej veľkosť je $k$-násobkom veľkosti úsečky $\small AB$ ( $k > 0$ ).

V každom podobnom zobrazení platí:

• obrazom priamky $\small AB$ je priamka $\small A'B'$, obrazom rovnobežných priamok sú rovnobežné priamky,
• obrazom polpriamky $\small \overrightarrow{AB}$ je polpriamka $\small \overrightarrow{A'B'}$,
• obrazom opačných polpriamok sú opačné polpriamky,
• obrazom uhla $\small \angle AVB$ je uhol \\small \angle A'VB' \) zhodný s uhlom $\small \angle AVB$.

Definícia (Rovnoľahlosť).
Je daný bod $\small S$ a reálne číslo $\kappa, \kappa \neq 0$. Rovnoľahlosť (homotétia) je zobrazenie $\mathscr{H}(S, \kappa)$, ktoré priraďuje:

1. každému bodu $\small X ≠ S$ bod $\small X'$ tak, že $\small |SX'|= |\kappa|| SX|$, pre $\kappa>0$ leží $\small X'$ na polpriamke $\small \overrightarrow{SX}$, pre $\kappa$ na polpriamke k nej opačnej,
2. bodu $\small S$ bod $\small S≡S'$.

Otvorte si applet Tu.

Poznámka.
Rovnoľahlosť $\small \mathscr{H}(S, \kappa)$ je podobnosť s koeficientom $|\kappa|$. Pre $\kappa=1$ je identitou, pre $\kappa=-1$ rotáciou okolo $\small S$ o 180° (aj stredovou súmernosťou so stredom v bode $\small S$ ).
Pre $\kappa≠ 1$ je jediným samodružným bodom stred $\small S$. Samodružnou priamkou je každá priamka, ktorá prechádza stredom rovnoľahlosti. Pozrite si súbor appletov od Martina Vinklera Tu.

Rovnoľahlosť je špeciálne podobné zobrazenie. To znamená, že má všetky vlastnosti podobného zobrazenia.
Naviac má vlastnosť, že v rovnoľahlosti odpovedajúce priamky (vzor a obraz) sú rovnobežné.

Vľavo. V rovnoľahlosti platí: $\small  AB\; || \;A'B'$. Vpravo. Podobné zobrazenie zložené z rovnoľahlosti a otáčania.
Otvorte si applet Tu.

Veta 1.
V rovnoľahlosti $\small \mathscr{H}(S, \kappa)$: $\small X \rightarrow X'$

1. každé dve rovnoľahlé priamky sú rovnobežné,
2. každé dve rovnobežné a nezhodné úsečky sú rovnoľahlé dvomi spôsobmi,
3. každé dve nezhodné kružnice $\small  (O_1,r_1),(O_2,r_2)$ sú rovnoľahlé, pričom stredy rovnoľahlosti ležia na strednej kružníc,
4. spoločné dotyčnice dvoch kružníc prechádzajú odpovedajúcimi stredmi rovnoľahlostí (vnútorným $\small S_2$ a vonkajším $\small S_1$ stredom rovnoľahlosti).

Otvorte si applet Tu.

Veta 2.
Nech sú dve kružnice $\small k_1= (O_1,r_1),k_2=(O_2,r_2)$ rovnoľahlé, ich vonkajší stred rovnoľahlosti je bod $\small S_1$, vnútorný stred rovnoľahlosti $\small S_2$. Potom platí
$\small \mathscr{H_1}(S_1, \kappa= \frac{r_2}{r_1} ):k_2 \rightarrow k_1$,$\small \mathscr{H_2}(S_2, \kappa= -\frac{r_2}{r_1} ):k_1 \rightarrow k_2$ .

Veta 3.
Zložením rovnoľahlosti a zhodného zobrazenia dostaneme podobné zobrazenie.
Každé podobné zobrazenie možno získať zložením vhodného zhodného zobrazenia a rovnoľahlosti >.

Cvičenie 1.
Do daného trojuholníka $\small ABC$ vpíšte štvorec $\small KLMN$ tak , aby strana $\small KL$ ležala na strane $\small AB$, bod $\small M$ ležal na strane $\small BC$ a bod $\small N$ na strane $\small AC$.
Riešenie v práci [RUM], str. 98. 

Cvičenie 2.
Sú dané dva rôzne body $\small A,M$, ktorých vzdialenosť je $d$. Ďalej je dané kladné číslo $v$. Zostrojte kosoštvorec $\small ABCD$ s výškou $v$ tak ,aby bod $\small M$ bol stredom jeho strany $\small BC$.

Otvorte si rozbor úlohy Tu. Riešenie v práci [KRIZ], príklad 103.

Geometrické zobrazenia $\small f$ v euklidovskej rovine $\small \mathbb E_2$ môžeme skúmať aj podľa počtu a druhu samodružných prvkov.

Definícia (Samodružné prvky).

1. Samodružný bod $\small X \in \mathbb E_2$ je bod, ktorý sa pri zobrazení $\small f$ zobrazí sám na seba. Platí: $\small X' = f(X)$.
2. Samodružná priamka $\small p \subset \mathbb E_2$ je priamka, ktorá sa pri zobrazení $\small f$ zobrazí sama na seba $\small p= f(p)$. Zároveň existuje bod $\small P \in p$, ktorý sa zobrazí do bodu $\small P' \neq P ; P' \in p$ .
3. Priamka samodružných bodov je priamka, kde každý jej bod je samodružný. Pre každý bod na priamke platí X = X'. Hovoríme o bodovo samodružnej priamke.

Zvoľme si v euklidovskej rovine $\small \mathbb E_2$ dve rôznobežné priamky $\small o=PQ, s=AA'$. Pozrite si obrázok Afinita. Budeme skúmať geometrické zobrazenie $\small OA$ s vlastnosťami

1. Obrazom ľubovoľného bodu $\small X \in o=PQ$ je ten istý bod $\small X$, priamka $\small o=PQ$ je bodovo samodružná..
2. Obrazom ľubovoľného bodu $\small B \in \mathbb E_2$ je bod $\small B' \in \mathbb E_2$, ktorý leží na priamke $\small s^B=BB' \parallel s=AA'$.
3. Obrazom priamky $\small m=AB$ je priamka $\small m'=A'B'$, pričom bod $\small 1=m \cap m'$ je samodružný. V prípade rovnobežnosti $\small m \parallel o$ je tiež $\small m' \parallel o$ (bod 1 je nevlastný).
4. Obrazom priamky rovnobežnej s priamkou $\small s=AA'$ je tá istá priamka, priamka je samodružná.
5. Takéto zobrazenie je zrejme bijektívne zobrazenie euklidovskej roviny. Budeme ho nazývať osová afinita v rovine.

Vlastnosti.

• osová afinita je jednoznačne určená priakou $\small o=PQ$ a dvojicou odpovedajúcich si bodov $\small A,A'$,
• priamku $\small o=PQ$ nazývame os afinity a priamku $\small s=AA'$ nazývame smer afinity,
• osová afinita zachováva incidenciu, rovnobežnosť a deliaci pomer troch kolineárnych bodov. Dôkaz je založený na vlastnosti podobných trojuholníkov. Pozrite si prácu [PLICH].

Osovú afinitu môžeme využiť aj pri dôkazoch niektorých vlastností všeobecných trojuholníkov. Stačí ak dokážeme určiť osovú afinitu, v ktorej sa daný všeobecný trojuholník zobrazí na rovnostraný trojuholník. Keďže osová afinita zachováva incidenciu a deliaci pomer (špeciálne stred úsečky sa zobrazí do stredu úsečky), tak napríklad vlastnosť ťažníc stačí dokázať len pre rovnostranný trojuholník.
Uvedieme konštrukciu ako takúto osová afinitu určuíť.

Cvičenie.
Určte OA tak, aby sa všeobecný trojuholník $\small ABC$ zobrazil do rovnostranného trojuholníka $\small A'B'C'$. Riešenie nájdete Tu.

Riešené príklady.
Osová afinita je daná osou $o$ a dvojicou odpovedajúcich bodov $(\small A, A'$$)$. Zostrojte bod $\small B'$, ktorý je obrazom daného bodu $\small B$. Nech $m =\small AB$ je priamka určená bodmi $\small A, B$. Uvažujme dva prípady:

1. Priamka $m$ je rôznobežná s osou $o$, riešenie Tu.
2. Ak priamka $m$ je rovnobežná s osou $o$ tak použijeme konštrukciu:
   • zvoľme si vhodnú priamku $p$ prechádzajúcu bodom $\small A$, ktorá nie je rovnobežná s osou $o$
   • na priamke $p$ si zvoľme bod $\small C$ tak, aby priamka $\small BC$ nebola rovnobežná s osou $o$
   • obrazom priamky $\small p = AC$ je priamka $\small a´= A´1$, obraz $\small C´$ bodu $\small C$ musí ležať na priamke $a´$
   • bodmi $\small B, C$ je určená priamka $\small b = BC$, obrazom priamky $b$ je priamka $\small b´= C´2$
   • obraz $\small B´$ bodu $\small B$ musí ležať na priamke $b´$, riešenie Tu.

Veta.
Obraz kružnice v osovej afinite je elipsa (dôkaz je jednoduchý ak využijeme metódy analytickej geometrie).

Na zostrojenie takejto elipsu môžeme využiť dva spôsoby.

1. Priama konštrukcia hlavnej a vedľajšej poloosi.
   Nájdením združených priemerov elipsy. Využijeme skutočnosť, že v kružnici združené priemery sú také priemery, ktoré sú vzájomne kolmé. (Priemery elipsy resp. kružnice sa nazývajú združené, ak sú dotyčnice v krajných bodoch jedného priemeru rovnobežné s druhým priemerom a naopak.)

Otvorte si applet Tu.
2. Nepriamo pomocou Rytzovej konštrukcie.
   V kružnici zvolíme dva ľubovoľné na seba kolmé priemery KL, MN a nájdeme ich obrazy K'L', M'N'. Osová afinita zachováva rovnobežnosť a deliaci pomer. Preto tvoria úsečky K'L', M'N' združené priemery elipsy. Ak poznáme dva združené priemery elipsy, využijeme na nájdenie hlavnej a vedľajšej osi Rytzovu konštrukciu. Stiahnite si Rytzovu konštrukciu Tu a pozrite si prácu [PLI].

Poznámka.
Vzťah osovej afinity v euklidovskej rovine si môžeme predstaviť aj ako kolmý priemet priestorovej afinity. Uvedieme definíciu osovej afinity medzi dvoma rôznobežnými rovinami v euklidovskom priestore z práce [DRA]. Pozrite si dynamický obrázok "Priestorová afinita".

Definícia.
Uvažujme dve rôznobežné roviny $\alpha, \alpha'$ a ich priesečnicu označme $o$. Zvoľme ďalej smer $s$, ktorý je rôznobežný s oboma rovinami $\alpha, \alpha'$. Potom priradíme navzájom body a priamky roviny $\alpha$ bodom a priamkam roviny $\alpha'$ tak, že platí:

• spojnice zodpovedajúcich si bodov sú rovnobežné s priamkou $s$,
• priesečníky zodpovedajúcich si priamok ležia na priamke $o$.

Obr. Priestorová afinita, otvorte si dynamický obrázok Tu.

• Osovú afinitu medzi dvoma rôznobežnými rovinami s výhodou využívame pri rezoch rovnobežnostena.
• Porovnajme vlastnosti osovej afinity s rezom hranola, obrázok "Rez hranola (obrázok je prevzatý s práce [PLI]).

Obr. Rez hranola
• Rovina $\rho$ zodpovedá rovine rezu, rovina $\rho'$ zodpovedá rovine dolnej podstavy. Smer afinity s zodpovedá smeru hrán, napríklad $\small AE$. Zodpovedajúce si body sú napríklad body  $\small A,A'$. Os $o$ je priesečnica rovín $\rho, \rho'$ a zodpovedá priesečnici roviny podstavy a roviny rezu.

Definícia (Stredová kolineácia medzi dvoma rovinami).
Nech sú dané dve rôzne roviny $\alpha, \alpha'$ a bod $\small S$, ktorý neleží ani v jednej z nich.

1. Stredová kolineácia je bijektívne zobrazenie dvoch rovín, pri ktorom každému bodu prvej roviny odpovedá jeho priemet zo stredu $\small S$ do roviny druhej. Používa sa aj termín perspektívna kolineácia. 
2. Stred premietania $\small S$ sa nazýva stred kolineácie. Priamku $o$, priesečnicu rovín $\alpha, \alpha'$, nazývame osou stredovej kolineácie.

Obr. Stredová kolineácia medzi dvoma rovinami

Otvorte si dynamický obrázok Tu.

Vlastnosti.

1. Vlastnému bodu môže odpovedať nevlastný bod a naopak. Ak bod $\small U \in \alpha$ leží v rovine rovnobežnej s rovinou $\alpha'$, tak priamka $\small \overleftrightarrow{SU}$ sa s rovinou $\alpha'$ pretína v nevlastnom bode. Analogicky pre bod $\small V_ \infty$.

Otvorte si dynamický obrázok Tu.
2. Priamky, ktoré si odpovedajú v perspektívnej kolineácii, sa pretínajú na osi kolineácie alebo sú s ňou rovnobežné (majú spoločný nevlastný bod).
3. Body osi kolineácie sú samodružné body. Perspektívna kolineácia zachováva incidenciu.
4. Perspektívna kolineácia nezachováva deliaci pomer ale zachováva dvojpomer. Stred úsečky sa vo všeobecnosti nezobrazuje do stredu úsečky.

Pre situáciu, keď obrazom vlastného bodu ja nevlastný bod a naopak, používame terminológiu:

1. Vlastný bod $\small U$, ktorý sa v kolineácii zobrazí do nevlastného $\small U'_ \infty$ nazývame úbežník (niekedy úbežník 1. druhu).
2. Vlastný bod $\small V'$, ktorý je v kolineácii obrazom nevlastného bodu $\small V_ \infty$ nazývame úbežník (niekedy úbežník 2. druhu).
3. Priamky, ktoré sú obrazom alebo vzorom nevlastnej priamky sa nazývajú úbežnice . Úbežnice(priamky) obsahujú všetky úbežníky daného druhu a sú rovnobežné s osou afinity.

Špeciálny typ perspektívnej kolineácie ak stred $\small S$ je nevlastný bod, tak perspektívna kolineácia je osová afinita.
Perspektívnu kolineáciu si môžeme zjednodušene predstaviť ako vzťah medzi rezom ihlana (resp. kužeľa) rovinou a podstavou.

Otvorte si krokované riešenie Tu.

Poznámka.
Stredovú kolineáciu medzi dvoma rovinami $\alpha, \alpha'$ v euklidovskom priestore môžeme previesť na stredovú kolineáciu v rovine.

1. Zvolíme si rovinu $\pi$, do ktorej budeme premietať a smer premietania určený vektorom "Priemet", pričom smer premietania volíme tak, aby nebol rovnobežný so žiadnou z rovín $\alpha, \alpha'$.
2. Os kolineácie $o$, stred kolineácie $\small S$ a zodpovedajúce si body $\small A,A'$ premietneme pomocou smeru "Priemet" do roviny $\pi$.
3. Keďže rovnobežné premietanie (smer "Priemet") zachováva rovnobežnosť, tak pre body $\small A*, A'*$ platí opäť vzťah stredovej kolineácie.
4. Stred kolineácie $\small S*$ je rovnobežným priemetom stredu $\small S$, podobne body $\small A*, A'*$ sú priemety bodov $\small A,A'$.
5. Dvojicu odpovedajúcich si bodov $\small A,A'$ nazývame kolineárne združené body.
6. Vo všeobecnosti kolineácia je jednoznačne určená stredom $\small S$, osou $o$ a dvojicou odpovedajúcich si bodov $\small A → A'$. V takom prípade budeme pre kolineáciu používať označenie $\small \mathcal{K}(S,o,A →A')$.

Cvičenie.

1. V kolineácii $\small \mathcal{K}(S,o,A →A')$ zostrojte(určte) úbežnice. Riešenie Tu.
2. V kolineácii $\small \mathscr{K}(S, o, u)$ zostrojte obraz trojuholníka $\small ABC$. Strany $\small AB, AC$ pretínajú úbežnicu $u$.
   
   
   Zadanie Tu. Riešenie Tu. .

Veta.
Obrazom kružnice v stredovej kolineácii je regulárna kužeľosečka (elipsa, parabola alebo hyperbola).

Regulárne kužeľosečky môžeme klasifikovať podľa počtu nevlastných bodov. Elipsa má všetky body vlastné. Parabola má jeden nevlastný bod a hyperbola má dva nevlastné body.
Z predchádzajúceho textu vieme, že obrazom úbežníku I. druhu je nevlastný bod. Z toho vyplýva, že ak kružnica s úbežnicou

1. nemá žiadny spoločný bod, potom je obrazom kružnice elipsa,
2. má práve jeden spoločný bod, potom je obrazom kružnice parabola,
3. má dva rôzne priesečníky, potom je obrazom kružnice hyperbola.

Pozrite si riešené príklady Tu.

Möbiova rovina je euklidovská rovina doplnená o jeden nevlastný bod $\small M^ \infty$, ktorý budeme nazývať Möbiov bod.
V takto doplnenej rovine môžeme definovať zobrazenie, ktoré sa nazýva kruhová inverzia.

Definícia 20
V Möbiovej rovine je daná kružnica $\small \omega (S, r)$. Kruhová inverzia vzhľadom ku kružnici $\omega$ je zobrazenie, ktorého obrazom

1. stredu $\small S$ kružnice $\omega$ je bod $\small M^ \infty$
2. bodu $\small M^ \infty$ je stred $\small S$ kružnice $\omega$
3. ľubovoľného bodu $\small X \neq S$ a $\small X \neq M^ \infty$ je bod $\small X'$ ležiaci na polpriamke $\small \overrightarrow {SX}$ tak, že platí
   $\small |SX| · |SX' | = r^2$ .

Poznamenajme, že

1. ak bod $\small X'$ je obrazom bodu $\small X$, potom je aj bod $\small X$ obrazom bodu $\small X'$ , dvojicu odpovedajúcich bodov nazývame aj navzájom inverzné body - kruhová inverzia je involútorné zobrazenie;
2. body na kružnici $\omega$ sú samodružné;
3. bod ležiaci vo vnútri kružnice $\omega$ sa zobrazí na vonkajší bod a naopak.
Konštrukcia obrazu $\small X'$ ľubovoľného bodu $\small X \neq S$ a $\small X \neq M^ \infty$ a $\small X \notin \omega$ je založená na Euklidovej vete o odvesne.

Otvorte si dynamickú konštrukciu Tu.

Konštrukcia pre bod $\small X$, ležiaci mimo kružnice $\omega$:
Z bodu $\small X$ zostrojíme dotyčnicu kružnice $\omega$, bod dotyku označme $\small T_i$. Z bodu $\small T$ zostrojíme kolmicu na priamku $\small XS$, päta tejto kolmice je hľadaný obraz $\small X'$. Konštrukciu je možné použiť aj pre bod ležiaceho vo vnútri kružnice $\omega$.
Kruhová inverzia je nelineárne zobrazenie, priamka až na špeciálne prípady sa nezobrazuje na priamku (priamky, ktoré neprechádzajú stredom inverzie, sa zobrazujú na kružnice).

Veta (Konformné zobrazenie).
Kruhová inverzia je konformné zobrazenie, t.j zachováva veľkosť uhla $\small \angle SAB \simeq \angle SB'A'$. Pozrite si obrázok "Konformné zobrazenie".

Dôkaz
Z definície kruhovej inverzie vyplýva \small
$\small |SA | \cdot |SA'| = |SB | \cdot |SB'| = r^2 \Rightarrow \frac{|SA' |}{|SB' |}= \frac{|SB| }{|SA|}$
Teda trojuholníky $\small ABS,BAS$ majú spoločný uhol pri vrchole, sú podľa vety $sus$ podobné.

Tvrdenie (Obraz priamky a kružnice).
Body priamky prechádzajúcej stredom inverzie $\small S$ sa zobrazujú opäť na túto priamku.

applet
Obr. Obraz priamky

Dôkaz.
Ide vlastne o špeciálny prípad vety o konformnom zobrazení, keď bod $B$ leží na kolmici k polpriamke $\small \overrightarrow {SA}$. Zrejme platí
margin-left: 80px;"> $\small |SP | \cdot |SP'| = |SX | \cdot |SX'| = r^2 \Rightarrow \frac{|SP' |}{|SX' |}= \frac{|SX| }{|SP|}$,
lebo trojuholníky $\small SAB,SB'A'$ sú podobné. Uhol pri vrchole $\small X'$ je pravý, preto bod $\small B'$je zrejme bodom Thálesovej kružnice.