Planimetria a stereometria

Möbiova rovina je euklidovská rovina doplnená o jeden nevlastný bod $\small M^ \infty$, ktorý budeme nazývať Möbiov bod.
V takto doplnenej rovine môžeme definovať zobrazenie, ktoré sa nazýva kruhová inverzia.

Definícia 20
V Möbiovej rovine je daná kružnica $\small \omega (S, r)$. Kruhová inverzia vzhľadom ku kružnici $\omega$ je zobrazenie, ktorého obrazom

1. stredu $\small S$ kružnice $\omega$ je bod $\small M^ \infty$
2. bodu $\small M^ \infty$ je stred $\small S$ kružnice $\omega$
3. ľubovoľného bodu $\small X \neq S$ a $\small X \neq M^ \infty$ je bod $\small X'$ ležiaci na polpriamke $\small \overrightarrow {SX}$ tak, že platí
   $\small |SX| · |SX' | = r^2$ .

Poznamenajme, že

1. ak bod $\small X'$ je obrazom bodu $\small X$, potom je aj bod $\small X$ obrazom bodu $\small X'$ , dvojicu odpovedajúcich bodov nazývame aj navzájom inverzné body - kruhová inverzia je involútorné zobrazenie;
2. body na kružnici $\omega$ sú samodružné;
3. bod ležiaci vo vnútri kružnice $\omega$ sa zobrazí na vonkajší bod a naopak.
Konštrukcia obrazu $\small X'$ ľubovoľného bodu $\small X \neq S$ a $\small X \neq M^ \infty$ a $\small X \notin \omega$ je založená na Euklidovej vete o odvesne.

Otvorte si dynamickú konštrukciu Tu.

Konštrukcia pre bod $\small X$, ležiaci mimo kružnice $\omega$:
Z bodu $\small X$ zostrojíme dotyčnicu kružnice $\omega$, bod dotyku označme $\small T_i$. Z bodu $\small T$ zostrojíme kolmicu na priamku $\small XS$, päta tejto kolmice je hľadaný obraz $\small X'$. Konštrukciu je možné použiť aj pre bod ležiaceho vo vnútri kružnice $\omega$.
Kruhová inverzia je nelineárne zobrazenie, priamka až na špeciálne prípady sa nezobrazuje na priamku (priamky, ktoré neprechádzajú stredom inverzie, sa zobrazujú na kružnice).

Veta (Konformné zobrazenie).
Kruhová inverzia je konformné zobrazenie, t.j zachováva veľkosť uhla $\small \angle SAB \simeq \angle SB'A'$. Pozrite si obrázok "Konformné zobrazenie".

Dôkaz
Z definície kruhovej inverzie vyplýva \small
$\small |SA | \cdot |SA'| = |SB | \cdot |SB'| = r^2 \Rightarrow \frac{|SA' |}{|SB' |}= \frac{|SB| }{|SA|}$
Teda trojuholníky $\small ABS,BAS$ majú spoločný uhol pri vrchole, sú podľa vety $sus$ podobné.

Tvrdenie (Obraz priamky a kružnice).
Body priamky prechádzajúcej stredom inverzie $\small S$ sa zobrazujú opäť na túto priamku.

applet
Obr. Obraz priamky

Dôkaz.
Ide vlastne o špeciálny prípad vety o konformnom zobrazení, keď bod $B$ leží na kolmici k polpriamke $\small \overrightarrow {SA}$. Zrejme platí
margin-left: 80px;"> $\small |SP | \cdot |SP'| = |SX | \cdot |SX'| = r^2 \Rightarrow \frac{|SP' |}{|SX' |}= \frac{|SX| }{|SP|}$,
lebo trojuholníky $\small SAB,SB'A'$ sú podobné. Uhol pri vrchole $\small X'$ je pravý, preto bod $\small B'$je zrejme bodom Thálesovej kružnice.