Geometrické zobrazenia
Stredová kolineácia
Definícia (Stredová kolineácia medzi dvoma rovinami).
Nech sú dané dve rôzne roviny a bod , ktorý neleží ani v jednej z nich.
Nech sú dané dve rôzne roviny a bod , ktorý neleží ani v jednej z nich.
- Stredová kolineácia je bijektívne zobrazenie dvoch rovín, pri ktorom každému bodu prvej roviny odpovedá jeho priemet zo stredu do roviny druhej. Používa sa aj termín perspektívna kolineácia.
- Stred premietania sa nazýva stred kolineácie. Priamku , priesečnicu rovín , nazývame osou stredovej kolineácie.
Obr. Stredová kolineácia medzi dvoma rovinami
Otvorte si dynamický obrázok Tu.
Vlastnosti.
- Vlastnému bodu môže odpovedať nevlastný bod a naopak. Ak bod leží v rovine rovnobežnej s rovinou , tak priamka sa s rovinou pretína v nevlastnom bode. Analogicky pre bod .
- Priamky, ktoré si odpovedajú v perspektívnej kolineácii, sa pretínajú na osi kolineácie alebo sú s ňou rovnobežné (majú spoločný nevlastný bod).
- Body osi kolineácie sú samodružné body. Perspektívna kolineácia zachováva incidenciu.
- Perspektívna kolineácia nezachováva deliaci pomer ale zachováva dvojpomer. Stred úsečky sa vo všeobecnosti nezobrazuje do stredu úsečky.
Otvorte si dynamický obrázok Tu.
Pre situáciu, keď obrazom vlastného bodu ja nevlastný bod a naopak, používame terminológiu:
- Vlastný bod , ktorý sa v kolineácii zobrazí do nevlastného nazývame úbežník (niekedy úbežník 1. druhu).
- Vlastný bod , ktorý je v kolineácii obrazom nevlastného bodu nazývame úbežník (niekedy úbežník 2. druhu).
- Priamky, ktoré sú obrazom alebo vzorom nevlastnej priamky sa nazývajú úbežnice . Úbežnice(priamky) obsahujú všetky úbežníky daného druhu a sú rovnobežné s osou afinity.
Špeciálny typ perspektívnej kolineácie ak stred je nevlastný bod, tak perspektívna kolineácia je osová afinita.
Perspektívnu kolineáciu si môžeme zjednodušene predstaviť ako vzťah medzi rezom ihlana (resp. kužeľa) rovinou a podstavou.
Otvorte si krokované riešenie Tu.
Poznámka.
Stredovú kolineáciu medzi dvoma rovinami v euklidovskom priestore môžeme previesť na stredovú kolineáciu v rovine.
Stredovú kolineáciu medzi dvoma rovinami v euklidovskom priestore môžeme previesť na stredovú kolineáciu v rovine.
- Zvolíme si rovinu , do ktorej budeme premietať a smer premietania určený vektorom "Priemet", pričom smer premietania volíme tak, aby nebol rovnobežný so žiadnou z rovín .
- Os kolineácie , stred kolineácie a zodpovedajúce si body premietneme pomocou smeru "Priemet" do roviny .
- Keďže rovnobežné premietanie (smer "Priemet") zachováva rovnobežnosť, tak pre body platí opäť vzťah stredovej kolineácie.
- Stred kolineácie je rovnobežným priemetom stredu , podobne body sú priemety bodov .
- Dvojicu odpovedajúcich si bodov nazývame kolineárne združené body.
- Vo všeobecnosti kolineácia je jednoznačne určená stredom , osou a dvojicou odpovedajúcich si bodov . V takom prípade budeme pre kolineáciu používať označenie .
Cvičenie.
Veta.
Obrazom kružnice v stredovej kolineácii je regulárna kužeľosečka (elipsa, parabola alebo hyperbola).
Obrazom kružnice v stredovej kolineácii je regulárna kužeľosečka (elipsa, parabola alebo hyperbola).
Regulárne kužeľosečky môžeme klasifikovať podľa počtu nevlastných bodov. Elipsa má všetky body vlastné. Parabola má jeden nevlastný bod a hyperbola má dva nevlastné body.
Z predchádzajúceho textu vieme, že obrazom úbežníku I. druhu je nevlastný bod. Z toho vyplýva, že ak kružnica s úbežnicou
Z predchádzajúceho textu vieme, že obrazom úbežníku I. druhu je nevlastný bod. Z toho vyplýva, že ak kružnica s úbežnicou
- nemá žiadny spoločný bod, potom je obrazom kružnice elipsa,
- má práve jeden spoločný bod, potom je obrazom kružnice parabola,
- má dva rôzne priesečníky, potom je obrazom kružnice hyperbola.