Planimetria a stereometria

Geometrické zobrazenia $\small f$ v euklidovskej rovine $\small \mathbb E_2$ môžeme skúmať aj podľa počtu a druhu samodružných prvkov.

Definícia (Samodružné prvky).

1. Samodružný bod $\small X \in \mathbb E_2$ je bod, ktorý sa pri zobrazení $\small f$ zobrazí sám na seba. Platí: $\small X' = f(X)$.
2. Samodružná priamka $\small p \subset \mathbb E_2$ je priamka, ktorá sa pri zobrazení $\small f$ zobrazí sama na seba $\small p= f(p)$. Zároveň existuje bod $\small P \in p$, ktorý sa zobrazí do bodu $\small P' \neq P ; P' \in p$ .
3. Priamka samodružných bodov je priamka, kde každý jej bod je samodružný. Pre každý bod na priamke platí X = X'. Hovoríme o bodovo samodružnej priamke.

Zvoľme si v euklidovskej rovine $\small \mathbb E_2$ dve rôznobežné priamky $\small o=PQ, s=AA'$. Pozrite si obrázok Afinita. Budeme skúmať geometrické zobrazenie $\small OA$ s vlastnosťami

1. Obrazom ľubovoľného bodu $\small X \in o=PQ$ je ten istý bod $\small X$, priamka $\small o=PQ$ je bodovo samodružná..
2. Obrazom ľubovoľného bodu $\small B \in \mathbb E_2$ je bod $\small B' \in \mathbb E_2$, ktorý leží na priamke $\small s^B=BB' \parallel s=AA'$.
3. Obrazom priamky $\small m=AB$ je priamka $\small m'=A'B'$, pričom bod $\small 1=m \cap m'$ je samodružný. V prípade rovnobežnosti $\small m \parallel o$ je tiež $\small m' \parallel o$ (bod 1 je nevlastný).
4. Obrazom priamky rovnobežnej s priamkou $\small s=AA'$ je tá istá priamka, priamka je samodružná.
5. Takéto zobrazenie je zrejme bijektívne zobrazenie euklidovskej roviny. Budeme ho nazývať osová afinita v rovine.

Vlastnosti.

• osová afinita je jednoznačne určená priakou $\small o=PQ$ a dvojicou odpovedajúcich si bodov $\small A,A'$,
• priamku $\small o=PQ$ nazývame os afinity a priamku $\small s=AA'$ nazývame smer afinity,
• osová afinita zachováva incidenciu, rovnobežnosť a deliaci pomer troch kolineárnych bodov. Dôkaz je založený na vlastnosti podobných trojuholníkov. Pozrite si prácu [PLICH].

Osovú afinitu môžeme využiť aj pri dôkazoch niektorých vlastností všeobecných trojuholníkov. Stačí ak dokážeme určiť osovú afinitu, v ktorej sa daný všeobecný trojuholník zobrazí na rovnostraný trojuholník. Keďže osová afinita zachováva incidenciu a deliaci pomer (špeciálne stred úsečky sa zobrazí do stredu úsečky), tak napríklad vlastnosť ťažníc stačí dokázať len pre rovnostranný trojuholník.
Uvedieme konštrukciu ako takúto osová afinitu určuíť.

Cvičenie.
Určte OA tak, aby sa všeobecný trojuholník $\small ABC$ zobrazil do rovnostranného trojuholníka $\small A'B'C'$. Riešenie nájdete Tu.

Riešené príklady.
Osová afinita je daná osou $o$ a dvojicou odpovedajúcich bodov $(\small A, A'$$)$. Zostrojte bod $\small B'$, ktorý je obrazom daného bodu $\small B$. Nech $m =\small AB$ je priamka určená bodmi $\small A, B$. Uvažujme dva prípady:

1. Priamka $m$ je rôznobežná s osou $o$, riešenie Tu.
2. Ak priamka $m$ je rovnobežná s osou $o$ tak použijeme konštrukciu:
   • zvoľme si vhodnú priamku $p$ prechádzajúcu bodom $\small A$, ktorá nie je rovnobežná s osou $o$
   • na priamke $p$ si zvoľme bod $\small C$ tak, aby priamka $\small BC$ nebola rovnobežná s osou $o$
   • obrazom priamky $\small p = AC$ je priamka $\small a´= A´1$, obraz $\small C´$ bodu $\small C$ musí ležať na priamke $a´$
   • bodmi $\small B, C$ je určená priamka $\small b = BC$, obrazom priamky $b$ je priamka $\small b´= C´2$
   • obraz $\small B´$ bodu $\small B$ musí ležať na priamke $b´$, riešenie Tu.

Veta.
Obraz kružnice v osovej afinite je elipsa (dôkaz je jednoduchý ak využijeme metódy analytickej geometrie).

Na zostrojenie takejto elipsu môžeme využiť dva spôsoby.

1. Priama konštrukcia hlavnej a vedľajšej poloosi.
   Nájdením združených priemerov elipsy. Využijeme skutočnosť, že v kružnici združené priemery sú také priemery, ktoré sú vzájomne kolmé. (Priemery elipsy resp. kružnice sa nazývajú združené, ak sú dotyčnice v krajných bodoch jedného priemeru rovnobežné s druhým priemerom a naopak.)

Otvorte si applet Tu.
2. Nepriamo pomocou Rytzovej konštrukcie.
   V kružnici zvolíme dva ľubovoľné na seba kolmé priemery KL, MN a nájdeme ich obrazy K'L', M'N'. Osová afinita zachováva rovnobežnosť a deliaci pomer. Preto tvoria úsečky K'L', M'N' združené priemery elipsy. Ak poznáme dva združené priemery elipsy, využijeme na nájdenie hlavnej a vedľajšej osi Rytzovu konštrukciu. Stiahnite si Rytzovu konštrukciu Tu a pozrite si prácu [PLI].

Poznámka.
Vzťah osovej afinity v euklidovskej rovine si môžeme predstaviť aj ako kolmý priemet priestorovej afinity. Uvedieme definíciu osovej afinity medzi dvoma rôznobežnými rovinami v euklidovskom priestore z práce [DRA]. Pozrite si dynamický obrázok "Priestorová afinita".

Definícia.
Uvažujme dve rôznobežné roviny $\alpha, \alpha'$ a ich priesečnicu označme $o$. Zvoľme ďalej smer $s$, ktorý je rôznobežný s oboma rovinami $\alpha, \alpha'$. Potom priradíme navzájom body a priamky roviny $\alpha$ bodom a priamkam roviny $\alpha'$ tak, že platí:

• spojnice zodpovedajúcich si bodov sú rovnobežné s priamkou $s$,
• priesečníky zodpovedajúcich si priamok ležia na priamke $o$.

Obr. Priestorová afinita, otvorte si dynamický obrázok Tu.

• Osovú afinitu medzi dvoma rôznobežnými rovinami s výhodou využívame pri rezoch rovnobežnostena.
• Porovnajme vlastnosti osovej afinity s rezom hranola, obrázok "Rez hranola (obrázok je prevzatý s práce [PLI]).

Obr. Rez hranola
• Rovina $\rho$ zodpovedá rovine rezu, rovina $\rho'$ zodpovedá rovine dolnej podstavy. Smer afinity s zodpovedá smeru hrán, napríklad $\small AE$. Zodpovedajúce si body sú napríklad body  $\small A,A'$. Os $o$ je priesečnica rovín $\rho, \rho'$ a zodpovedá priesečnici roviny podstavy a roviny rezu.