Kombinatorika: Kombinatorické pravidlo súčinu

Permutácie a variácie

Kombinatorické pravidlo súčinu

Kombinatorické pravidlo súčinu
Nech

$A_1,A_2,\ldots,A_n$ sú množiny majúce po rade

$a_1,a_2,\ldots,a_n$ prvkov. Potom počet usporiadaných

$n$ -tíc, ktorých prvý prvok je z množiny

$A_1$ , druhý z množiny

$A_2$ a

$n$ -tý z množiny

$A_n$ je rovný súčinu

$a_1a_2\ldots a_n$ .
Dôkaz prenechávame na čitateľa. Odporúčame použiť matematickú indukciu vzhľadom na počet množín

$A_i$ .

Príklad 1.
V košíku je 12 jabĺk a 10 hrušiek. Peter si má z neho vybrať buď jablko, alebo hrušku tak, aby Viera, ktorá si po ňom vyberie jedno jablko a jednu hrušku, mala čo najväčšiu možnosť výberu. Určte, čo si má vybrať Peter.
Riešenie.
Peter má pri výbere dve možnosti. Buď si vyberie jablko, alebo hrušku. Otvorte si tabuľu Tu.

Príklad 2.
Karol má červenú, modrú, žltú a zelenú kravatu. Ďalej má červenú, modrú a zelenú košeľu. Koľkými spôsobmi si môže obliecť oboje, aby nemal košeľu a kravatu rovnakej farby?
Riešenie.
Najskôr spočítajte koľko možností je nevhodných - rovnakej farby kravata aj košeľa. Potom použite kombinatorické pravidlo súčinu. Otvorte si tabuľu Tu.

Cvičenie 1..

Koľko rôznych usporiadaných dvojíc čísel môžeme dostať, keď hodíme dvakrát kockou s jedným až šiestimi okami na jednotlivých stenách?
Riešenie
V prvom hode môže padnúť jedno zo šiestich čísel. To znamená, že máme 6 možností (6 rôznych hodnôt na vrchnej strane kocky).
Ku každej hodnote môže v druhom hode opäť padnúť jedno zo šiestich čísel, tj opäť 6 možností.
Počet rôznych dvojíc je teda 6 x 6 = 36." Tabuľa

Cvičenie 2..

Určite počet všetkých trojciferných prirodzených čísel,
a) v ktorých dekadickom zápise sa každá číslica vyskytuje najviac raz;
b) v ktorých dekadickom zápise sa nejaká číslica vyskytuje aspoň dvakrát
Riešenie
a)
  - možnosti pre prvú číslicu: 1 až 9 → 9 možností;
  - možnosti pre druhú číslicu: 0 až 9, ale bez tej číslice, ktorá bola vybraná pre prvú číslicu → 10 − 1 = 9 možností;
  - možnosti pre tretiu číslicu: 0 až 9, ale bez číslic, ktoré boli vybrané pre prvú a druhú číslicu → 10 − 2 = 8 možností.
Podľa kombinatorického pravidla súčinu je teda celkom 9 ⋅ 9 ⋅ 8 = 648 takýchto čísel.

b)
Všetkých trojciferných čísel je 900 (čísla 100 až 999), z toho čísel, v ktorých dekadickom zápise sa každá číslica vyskytuje najviac raz, je 648 – viď prípad a). Zostáva teda 900-648 čísel, v ktorých dekadickom zápise sa nejaká číslica opakuje aspoň dvakrát."

$<span class="nolink">$ .$ $