Didaktika matematiky

Zápisy týchto slovných úloh si vo forme rovníc zapíšeme na tabuľu. Potom si povieme, že dnes sa naučíme, ako takéto rovnice upravovať, aké na to sú spôsoby. Tiež sa spýtame, ktorý údaj označili premennou v rovnici, napr. počet eur, počet cukríkov a podobne. Otázka: je nutné vždy písať iba písmeno x? Nie, môžeme použiť aj iné písmená, ale pre dnešok sa dohodneme na používaní písmena x, aby sa nám lepšie vysvetlili nové pravidlá. Otázka: čo je rovnica, aké má strany? Ak budú deti hovoriť výsledky tak ich zapíšeme pod každú rovnicu a povieme, že nie všetky rovnice budú takéto jednoduché a že preto sa dnes naučíme niekoľko pravidiel, ktoré nám umožnia spoľahlivo riešiť akúkoľvek, aj ťažkú rovnicu. Tieto pravidlá sú Ekvivalentné úpravy. 

Na tabuľu aj do zošitov si napíšeme Ekvivalentné úpravy rovníc. Spýtame sa žiakov, čo si myslia, že znamená slovo Ekvivalentný? (podľa slovníka je to: rovnaký, rovnocenný, náhradný, niečo majúce v pomere k niečomu rovnakú platnosť). – Ekvivalentný pochádza z latinského slova aequivalens a znamená rovnaký, ten istý, rovnako hodnotný. Ekvivalentné úpravy rovníc sú tie, ktoré nezmenia riešenie/ koreň rovnice a pomôžu nám rovnicu vyriešiť. Do zošitov si nadiktujeme, čo znamená ekvivalentná úprava: ekvivalentné úpravy rovníc sú tie, ktoré nezmenia riešenie/koreň rovnice. Potom si vysvetlíme / ukážeme, že rovnica funguje ako taká váha.

Nejaký žiak bude mať v ruke 5 niečoho (napr. guličky, papieriky, cukríky...) tak aby žiaci videli, koľko kúskov sa v jednej ruke nachádza. Druhú ruku zatvoríme. Otázka: Koľko kúskov mám v druhej ruke, ak je váha vyrovnaná? (Na rovnoramenných váhach nastane rovnováha vtedy, ak na ľavú aj na pravú stranu váh položíme závažia alebo predmety rovnakej hmotnosti. Hovoríme, že medzi hmotnosťami predmetov na oboch stranách váhy nastala rovnosť).

Potom na tabuli / v prezentácií bude obrázok váhy, ktorá bude mať na oboch stranách určitý počet kociek. Budem sa žiakov pýtať, čo by stalo, keby sme kocky vymenili, presunuli z jednej strany na druhú. Predpokladáme že povedia že nič a teda si týmto spôsobom zavedieme prvú ekvivalentnú úpravu, a to že riešenie rovnice sa nezmení, ak vymeníme ľavú a pravú stranu rovnice (x = 3 je to isté ako 3 = x). – to si zapíšeme aj do zošita.

Ďalej budeme skúmať, čo sa udeje, ak na každú stranu váhy priložíme rovnaký počet predmetov. Riešenie rovnice sa nezmení, ak k obidvom stranám rovnice pričítame to isté číslo. Tento spôsob aj overíme na tabuli, na príklade z prvej časti hodiny: x – 11 = 9 (zápisy budú farebné. Spravíme aj skúšku. Potom si vypočítame aspoň 3 príklady na tento spôsob, prípadne toľko, koľko bude potrebných na to, aby sme videli, že tomu žiaci rozumejú. Príklady typu: x – 7 = 6, x – 5 = - 10, x – 0 = 40, - 9 + x = 13, - 8 + x = -12, 10 + x = - 8 

Ďalej budeme skúmať čo sa udeje ak z oboch strán váhy vezmeme rovnaký počet predmetov. Riešenie rovnice sa nezmení, ak od obidvoch strán rovnice odčítame to isté číslo. Príklad zo začiatku hodiny: x + 17 = 20 (znovu pár príkladov na tento spôsob). Príklady: x + 7 = 65, 32 + x = 11, 15 + x = -17, 9 + x = - 14

Ďalej: riešenie rovnice sa nezmení, ak obdive strany rovnice vynásobíme tým istým číslom, rôznym od nuly – čakáme diskusiu, čo sa stane ak rovnice vynásobíme 0? Vypočítame rovnicu x/3 = 6, kde riešením bude že x = 2. Potom budeme riešiť to, že by sme ju prenásobili 0. Čo sa stane? 0 = 0 a teda riešením takejto rovnice sú všetky čísla, pretože 0 sa rovná 0 vždy. Koreň pôvodnej rovnice je ale 2. Ekvivalentná úprava rovnice je ale taká, ktorá nám nezmení riešenie = koreň (množinu koreňov) a teda násobenie rovnice 0 nie je ekvivalentná úprava. Príklady: x / 4 = 5, x / -2 = 6, x / 12 = -8, x / -9 = -7

Takto prejdeme aj k tomu, že aj keď vezmeme z oboch strán polovicu/tretinu a pod. predmetov, zachováme rovnosť. Takže riešenie rovnice sa nezmení, ak obidve strany rovnice vydelíme tým istým číslom, rôznym od nuly. Znovu možno otázka: prečo nemôžem deliť nulou? Príklady: 4x = 10, - 2x = 8, - 7x = - 23, 15x = - 5

ZHRNUTIE: Ekvivalentné úpravy rovníc sú: výmena ľavej a pravej stany rovnice, pričítanie toho istého čísla (mnohočlena/výrazu) k obidvom stranám rovnice, odčítanie toho istého čísla od obidvoch strán rovnice, vynásobenie oboch strán rovnice tým istým nenulovým číslom, vydelenie obidvoch strán rovnice tým istým nenulovým číslom