Nasledujúci

Zadanie

Číselné sústavy
  1. Vypočítajte 25736_8 + 43527_8, 26154_{13} – 95BA_{13}, 4563_7.35_7, 513624_9:6_9 .
  2. Doplňte miesto hviezdičiek číslice tak, aby výsledok bol správny: *12BB_{13} + *C*6_{13} + 357A*_{13} = 113*95_{13}.
  3. Trojciferné číslo zapísané v deviatkovej sústave je zakončené číslicou 1 . Ak ju presunieme na prvé miesto dostaneme číslo, ktoré je v deviatkovej sústave o (574)_9 menšie ako pôvodné. Určte pôvodné číslo.
  4. Ak medzi číslice dvojciferného čísla vpíšeme číslicu 5 , tak dostaneme 3- ciferné číslo, ktoré je o 94 väčšie, ako 9 násobok daného čísla. Nájdite ho.
  5. Nájdite všetky trojciferné čísla s touto vlastnosťou: ak vyškrtneme v čísle jeho prostrednú cifru a vzniknuté dvojciferné číslo vynásobíme druhou mocninou vyškrtnutej cifry,
    dostaneme opäť pôvodné trojciferné číslo. (MO, roč. 2018/19, kat. B)
  6. Nájdite v desiatkovej číselnej sústave aspoň tri dvojice trojciferných čísel väčších ako 200 a zároveň menších ako 300 , ktorých súčet v 8- číselnej sústave má zápis (777)_8 .Uvádzame jednu dvojicu: 283, 228 , ktorá spĺňa požiadavky, lebo (283 + 228 = 511)_{10} a zároveň 511 = (777)_8
  7. Určte racionálne číslo \frac {p}{q} tak, aby jeho rozvoj v desiatkovej sústave mal tvar 2,12 \overline{345} .
    8. Deliteľnosť
  8. Ak pre trojciferné čísla a,b platí a+b=1000 , tak sa čísla a^2,b^2 zhodujú v poslednom trojčíslí. Dokážte to.
  9. V čísle 837521584 vyškrtnite 4 číslice tak, aby ste dostali 5-ciferné číslo deliteľné číslami 9 a 5. Nájdite všetky možnosti.
  10. V čísle 34x2y doplňte za x,y cifry tak, aby vzniknuté číslo bolo deliteľné číslom 3 a 4. Nájdite všetky riešenia.
  11. Dokážte, že štvorec nepárneho čísla po delení číslom 8 dáva zvyšok 1.
  12. Nájdite celé číslo x a cifru y tak, aby platilo (360 + 3.x)^2= 492y04. Návod: Využite, že ľavá strana danej rovnice je deliteľná číslom 9.
  13. Nech číslo x má v desiatkovej číselnej sústave zápis x = a_2 a_1 a_0 . Ukážte, že
    • 7 delí práve vtedy, keď 7 delí 2.a_2+3.a_1 +a_0
    • 7 delí práve vtedy, keď 7 delí a_2 a_1 – 2.a_0.
\( .\)
Nasledujúci