Číselné sústavy

Číselné sústavy

1. Vypočítajte $25736_8 + 43527_8, 26154_{13} – 95BA_{13}, 4563_7.35_7, 513624_9:6_9$.
2. Doplňte miesto hviezdičiek číslice tak, aby výsledok bol správny: $*12BB_{13} + *C*6_{13} + 357A*_{13} = 113*95_{13}$.
3. Trojciferné číslo zapísané v deviatkovej sústave je zakončené číslicou $1$. Ak ju presunieme na prvé miesto dostaneme číslo, ktoré je v deviatkovej sústave o $(574)_9$ menšie ako pôvodné. Určte pôvodné číslo.
4. Ak medzi číslice dvojciferného čísla vpíšeme číslicu $5$, tak dostaneme $3-$ciferné číslo, ktoré je o $94$ väčšie, ako $9$ násobok daného čísla. Nájdite ho.
5. Nájdite všetky trojciferné čísla s touto vlastnosťou: ak vyškrtneme v čísle jeho prostrednú cifru a vzniknuté dvojciferné číslo vynásobíme druhou mocninou vyškrtnutej cifry,
   dostaneme opäť pôvodné trojciferné číslo. (MO, roč. 2018/19, kat. B)
   
6. Nájdite v desiatkovej číselnej sústave aspoň tri dvojice trojciferných čísel väčších ako $200$ a zároveň menších ako $300$, ktorých súčet v $8-$číselnej sústave má zápis $(777)_8$.Uvádzame jednu dvojicu: $283, 228$, ktorá spĺňa požiadavky, lebo $(283 + 228 = 511)_{10}$ a zároveň $511 = (777)_8$
7. Určte racionálne číslo $\frac {p}{q}$ tak, aby jeho rozvoj v desiatkovej sústave mal tvar $2,12 \overline{345}$.
Deliteľnosť
8. Ak pre trojciferné čísla $a,b$ platí $a+b=1000$, tak sa čísla $a^2,b^2$ zhodujú v poslednom trojčíslí. Dokážte to.
9. V čísle $837521584$ vyškrtnite 4 číslice tak, aby ste dostali 5-ciferné číslo deliteľné číslami 9 a 5. Nájdite všetky možnosti.
10. V čísle $34x2y$ doplňte za $x,y$ cifry tak, aby vzniknuté číslo bolo deliteľné číslom 3 a 4. Nájdite všetky riešenia.
11. Dokážte, že štvorec nepárneho čísla po delení číslom 8 dáva zvyšok 1.
12. Nájdite celé číslo $x$ a cifru $y$ tak, aby platilo $(360 + 3.x)^2= 492y04$. Návod: Využite, že ľavá strana danej rovnice je deliteľná číslom 9.
13. Nech číslo $x$ má v desiatkovej číselnej sústave zápis $x = a_2 a_1 a_0$. Ukážte, že
    • 7 delí práve vtedy, keď 7 delí $2.a_2+3.a_1 +a_0$
    • 7 delí práve vtedy, keď 7 delí $a_2 a_1 – 2.a_0$.

Príklad 3.
Trojciferné číslo zapísané v deviatkovej sústave je zakončené číslicou $1$. Ak ju presunieme na prvé miesto dostaneme číslo, ktoré je v deviatkovej sústave o $(574)_9$ menšie ako pôvodné. Určte pôvodné číslo.
Riešenie.

1. nech hľadané číslo má zápis v tvare $(ab1)_9$, potom má platiť $(1ab)_9+(574)_9=(ab1)_9$
2. po úprave dostávame $(81+9a+b)+472=81a+9b+1$, čo je ekvivalentné s rovnicou $552=8(9a+b)$
3. posledná rovnica má v obore $a,b \in \langle 0,9 \rangle$ práve jedno riešenie $a=7,b=6$
Riešením je číslo $761_9=622_{10}$.

Príklad 4.
Ak medzi číslice dvojciferného čísla vpíšeme číslicu $5$, tak dostaneme $3-$ciferné číslo, ktoré je o $94$ väčšie, ako $9$ násobok daného čísla. Nájdite ho.
Riešenie.

1. nech hľadané číslo má v desiatkovej číselnej sústave skrátený zápis v tvare $ab$, kde $a,b \in \langle 0,9 \rangle$
2. potom musí platiť $(100a+50+b)-94=9(10a+b)$, čo je ekvivalentné s rovnicou $10a-8b=44$; riešením je dvojica $a=6,b=2$.
Hľadané číslo je $62$.

Príklad 6.
Nájdite v desiatkovej číselnej sústave aspoň tri dvojice trojciferných čísel väčších ako $200$ a zároveň menších ako $300$, ktorých súčet v $8-$číselnej sústave má zápis $(777)_8$.Uvádzame jednu dvojicu: $283, 228$, ktorá spĺňa požiadavky, lebo $(283 + 228 = 511)_{10}$ a zároveň $511 = (777)_8$
Riešenie.

1. hľadané čísla $A, B$ v desiatkovej číselnej sústave musia mať prvú cifru rovnú $2$, teda ich skrátený zápis musí mať tvar $A=2ab$ $B=2cd$
2. vzhľadom na symetriu môžeme predpokladať, že $a \leq c; \ b \leq d$, zároveň musí platiť
• $b+d$ končí cifrou $1$ lebo $A+B=511$; to môžu byť napríklad dvojice $[b=0,d=1],[b=2,d=9],[b=3,d=8],[b=4,d=7], ...$
• pre $[b=0,d=1]$ musí byť $a+c = 11$, v tomto prípade riešením sú dvojice $[220,291];[230,281];[220,291];...$
• pre $[b=2,d=9],[b=3,d=8],[b=4,d=7], ...$ bude $a+c = 10$ (v súčte $A+B=511$ ide o prechod cez $10$); v tomto prípade riešením sú dvojice $[222,289];[243,268];...$
Riešením sú napríklad dvojice čísel $[220,291];[222,289];[253,258]$.

Príklad 7.
Určte racionálne číslo $\frac {p}{q}$ tak, aby jeho rozvoj v desiatkovej sústave mal tvar $2,12 \overline{345}$.
Riešenie.

1. nech $a=2,12 \overline{345}$, potom $100a= 212, \overline{345}$ a $100000a= 212345, \overline{345}$ 
2. odčítaním týcto rovností dostaneme $99900a= 212133$, odkiaľ dostávame 
Riešením je napríklad zlomok $\frac {212133}{99900}$.

Deliteľnosť

1. Ak pre trojciferné čísla $a,b$ platí $a+b=1000$, tak sa čísla $a^2,b^2$ zhodujú v poslednom trojčíslí. Dokážte to.
• počítajme $a^2-b^2=a^2-(10^6-2.10^3a+a^2)=1000 \cdot (2a-10^3)$, odkiaľ vyplýva 
• rozdiel druhých mocnín je násobkom čísla $1000$
Čísla $a^2,b^2$ sa zhodujú v poslednom trojčíslí.
2. V čísle $837521584$ vyškrtnite 4 číslice tak, aby ste dostali 5-ciferné číslo deliteľné číslami 9 a 5. Nájdite všetky možnosti.
• zrejme musíme škrtnúť posledné dve cifry 8,4, aby číslo bolo deliteľné 5
• zostávajúce cifry dávajú súčet 31, z ktorého musíme odpočítať súčet niektorých cifier, aby bol deliteľný 9
• to je možné napríklad pre súčet 8+5=13, v tom prípade ciferný súčet ostávajúceho čísla bude 18
• alebo pre súčet 7+5+1=13 resp. pre 3+7+2+1=13
  
Požiadavke v zadaní vyhovujú čísla 37 215, 8 325, 855.
3. V čísle $34x2y$ doplňte za $x,y$ cifry tak, aby vzniknuté číslo bolo deliteľné číslom 3 a 4. Nájdite všetky riešenia.
• posledné dvojčísle musí byť deliteľné 4, odkiaľ dostávame $y \in \lbrace{4,8}\rbrace$, nulou nemôže končiť lebo by bolo len dvojciferné
• po dosadení za $y$ skúmame ešte požiadavku deliteľnosti $3 \mid 9+x+y$, preto $[x,y] \in \lbrace{[2,4],[5,4],[8,4],[1,8],[4,8],[7,8]}\rbrace$
Požiadavke v zadaní vyhovujú čísla 34 224, ..., 34 128, ...
4. Dokážte, že štvorec nepárneho čísla po delení číslom 8 dáva zvyšok 1.
5. Nájdite celé číslo $x$ a cifru $y$ tak, aby platilo $(360 + 3.x)^2= 492y04$. Návod: Využite, že ľavá strana danej rovnice je deliteľná číslom 9.
Výsledok: cifra $y = 8$ a číslo $x = 114$ alebo $x = -354$.
6. Nech číslo $x$ má v desiatkovej číselnej sústave zápis $x = a_2 a_1 a_0$. Ukážte, že 7 delí práve vtedy,
• keď 7 delí $2.a_2+3.a_1 +a_0$ ...
stačí uvažovať rozdiel $(100a_2+10 a_1+ a_0)-(2.a_2+3.a_1 +a_0)=7(24a_2+ a_1)$, ktorý je zrejme deliteľný 7, preto platí tvrdenie
• keď 7 delí $a_2 a_1 – 2.a_0$
stačí ...