Predchádzajúci
Nasledujúci

Celé čísla

Riešenie - 4. až 9. úloha

Graficky riešte nerovnicu x^2-8x+10≤0 v obore celých čísel.
Riešenie.
  1. Pri grafickom riešení nerovnice je potrebné zostrojiť graf kvadratickej funkcie
    f(x)=x^2-8x+10 . 
  2. Najskôr určíme korene rovnice
    x_{1,2}=4 \pm \sqrt{6} ,
    pričom s výhodou môžeme pracovať v prostredí GeoGebra. Pozri stránku Kvadratická nerovnica v kurze Did_Mat, zvoľ príklad č.7.
  3. Potom určíme súradnice vrcholu V paraboly \ast tak, že najskôr určíme hodnotu funkcie f(x) v bode \frac{x_1+x_2}{2} =4
    (f(4)=-6) \Rightarrow (V=[4,-6] ) .
  4. Riešením nerovnice x^2-8x+10≤0 sú čísla x \in \langle x_1,x_2 \rangle \Leftrightarrow x \in \lbrace{2,4,6}\rbrace
    .
Dané sú dve celé čísla x,y . Súčet súčtu, rozdielu, súčinu a podielu týchto čísel je 150. Určte čísla x,y .
Riešenie.
  1. Hľadáme také dve čísla x,y , pre ktoré platí
    ( \ast ) (x+y)+(x-y)+x.y+ \frac{x}{y} =150 ,
    pričom y \neq 0 . 
  2. Prvé tri členy rovnice sú celé čísla, preto musí byť aj podiel
    \frac{x}{y}
    celé číslo k , pre ktoré platí x=k.y . Po dosadení do rovnice ( \ast ) dostaneme
    2ky+ky^2+k=150 .
  3. Po úprave dostaneme rovnicu k=\frac{150}{(y+1)^2} .
  4. Hľadáme druhé mocniny čísel, ktoré sú deliteľmi 150. Zrejme sú to len druhé mocniny čísel 1 a 5.
  5. Riešením rovnice
    (y+1)^2=1 resp. (y+1)^2=25
    sú čísla  
    y_1=-2 \Rightarrow k=150 \Rightarrow x_1=150 \cdot (-2)=-300
    resp.
                        \lbrace{y_2=-6, y_3=4}\rbrace \Rightarrow \lbrace{x_2=-36,x_3=24}\rbrace . 
  6. Hľadané dvojice čísel patria do množiny \lbrace{(-36,-6),(-300,-2),(24,4)}\rbrace
  7. Urobte skúšku správnosti.   
Čísla a_1,a_2,a_3,a_4,a_5 majú vlastnosť, že prvé tri sú po sebe idúce členy geometrickej postupnosti a posledné štyri sú po sebe idúce členy aritmetickej postupnosti. Určte tieto čísla, ak platí a_2+a_3+a_4+a_5=4 a zároveň a_2.a_5=-8 .
Riešenie.
  1. Nech čísla a_1,a_2,a_3 tvoria GeomPost s kvocientom q a nech čísla a_2,a_3,a_4,a_5 tvoria AritmPost s diferenciou d .
  2. Zo zadania vyplýva, že
    a_2+(a_2+d)+(a_2+2d)+(a_2+3d)=4 a zároveň a_2(a_2+3d)=-8 .
  3. To znamená vyriešiť sústavu dvoch rovníc o dvoch nezámych
    4a_2+6d=4
    a_2(a_2+3d)=-8 .
  4. Jej riešením sú celé čísla
    a_2=4,d=-2 ,
    odkiaľ dostaneme, že
    a_3=2,a_4=0, a_5=-2 .
  5. Číslo a_1 vypočítame tak, že najskôr určíme kvocient q ako podiel
    q=\frac{a_3}{a_2}=\frac{1}{2}
    a potom
    a_1=\frac{a_2}{q}=8 .
  6. Urobte skúšku správnosti.
Počet úchytov na záclone
    Najjednoduchšie uchytenie záclon je také, pri ktorom máme nepretržite možnosť uchytiť záclonu v strede. Pozri obrázok.

    Pri určovaní počtu úchytiek použijeme nasledujúci algoritmus:
  1. V prvom kroku použijeme tri úchyty – dva krajné a jeden v strede
  2. V ďalšom kroku by bolo výhodné, aby sme opäť mohli uchytiť stredy v ľavej aj v pravej časti záclony. To znamená mať dva úchyty pre tieto stredy. Spolu je to 5 úchytov.
  3. Nasleduje rekurentné vyjadrenie:
    1. ak máme uchytenú záclonu na k miestach, tak v ďalšom kroku
    2. potrebujeme k-1 nových úchytov (pre všetky stredy)
    3. spolu je to k+k-1=2k-1 úchytov.
  4. Dostávame postupnosť, v ktorej n- tý člen vyjadríme nasledovne. Začneme experimentovať pre „malé“ hodnoty. Po nie koľkých krokoch môžeme dôjsť k záveru, že pre n-tý člen platí rovnosť:
    a_k=(2^{k+1}-(2k+⋯+2+1)) ,
    ktorá predstavuje súčet dvoch hodnôt. 
  5. Prvá je rovná číslu 2^{k+1} a druhá predstavuje súčet geometrickej postupnosti, kde prvý člen je rovný 1 a koeficient je rovný q=2 .
  6. Odkiaľ pre súčet dostaneme: a_1 \frac{2^k-1}{2-1} =2^k-1 . Po dosadení získame explicitné vyjadrenie pre počet úchytov:
\( .\)
Predchádzajúci
Nasledujúci