Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

U1: Spočítajte a zdôvodnite:

1. $2 \oplus 3=T_{(2,0)} \oplus T_{(3,0)} =T_{(2+3,0+0)}=T_{(5,0)}=5$
2. $2 \oplus (-3)=T_{(2,0)} \oplus T_{(0,3)} =T_{(2+0,0+3)}=T_{(2,3)}=T_{(0,1)}=-1$

U2: Dokážte, že pre ľubovoľné celé čísla

1. $a,b,c \in Z$ platí: $(-a) + (-b) =-(a+b)$
• Z definície pre súčet tried dostaneme, že $T_{(0,a)} \oplus T_{(0,b)}=T_{(0,a+b)} =-(a+b)$
2. $a,b,c \in Z$ platí: $(-a)\times (-b) =a \times b$
• Z definície pre súčin tried dostaneme, že $T_{(0,a)} \times T_{(0,b)}=T_{(0.0+a.b,0.b+a.0)}=T_{(a.b,0)} =(a \times b)$

U3: Dokážte, že pre dve triedy $T_{(a,b)}, T_{(c,d)}$ rozkladu $N×N∕R$ platí:
$[T_{(a,b)} \cap T_{(c,d)} \neq \oslash] \Rightarrow [T_{(a,b)}= T_{(c,d)}]$
       Ak dve triedy majú spoločný aspoň jeden prvok, tak sa rovnajú!

Riešenie.
Z definície prieniku množín a vlastnosti tried rozkladu bude platiť:
         $(m,n) \in T_{(a,b)} \cap T_{(c,d)} \Leftrightarrow [(m,n) \in T_{(a,b)}] \wedge [(m,n) \in T_{(c,d)}]$,
odkiaľ dostaneme
         $[a+m=n+b] \wedge [c+m=n+d]$.
Odčítaním ľavých a pravých strán týchto rovností dostaneme rovnosť
         $[a-c=b-d]$, čo je ekvivalentné rovnosti $[a+d=b+c]$.
Posledná rovnosť hovorí, že $T_{(a,b)} =T_{(c,d)}$. Tým je dôkaz ukončený.

Poznámka
V dôkaze sme mohli postupovať aj iným spôsobom, ak by dokázali vlastnosť: $[(m,n) \in T_{(a,b)}] \Leftrightarrow [T_{(m,n)}= T_{(a,b)}]$