Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Veta.
Dokážte, že pre ľubovoľné prirodzené číslo $\small x\in N$ platí: $\small x=0+x$ .

A. V Peanovej aritmetike budeme dokazovať matematickou indukciou

1. Pre $\small x=1$ musíme ukázať, že platí rovnosť: $\small 1= 0+1$ .
• z axiómy IV vieme, že platí $\small 1= 1+0$
• jednotka je nasledovník nuly, teda platí $\small 0+1=0+0'$
• použitím axióm IV a V dostaneme
  $\small 0+1=0+0'=(0+0)'=0'=1=1+0$
• z toho vyplýva, že sčítanie nuly a jednotky je komutatívne, preto platí
  $\small 1=1+0=0+1$
2. Predpokladajme, že rovnosť $\small x= 0+x$ platí pre prirodzené číslo $\small x$.
• musíme ukázať, že platí aj pre $\small x+1$, čo je ekvivalentné rovnosti $\small x+1= 0+(x+1)$.
• upravme ľavú stranu
  $\small x+0')=(x+0)'=x'$
• zároveň pre pravú platí
  $\small 0+(x+1)=0+(x+0')=0+(x+0)'=0+x'=(0+x)'=x'$
  
3. Tým je dôkaz ukončený.

B. V množinovej aritmetike budeme vychádzať z teórie množín

1. Nech $\small A= \lbrace{ n_1, ..., n_x }\rbrace$ je nejaká $\small x-$ prvková množina, pričom $\small \forall x: n_x \neq \ \emptyset$
2. Z definície kardinálnych čísel bude $\small card \ \emptyset  = 0, card \ A  = x$
• Z teórie množín pre zjednotenie ľubovoľných dvoch množín $\small \lbrace{X, Y}\rbrace$ platí komutatívny zákon $\small X\cup Y=Y \cup X$. Dokážte to.
3. Teda platí aj pre množiny $\small A, \emptyset$ 
4. ...
   

Veta.
Dokážte, že platí $\small x+y'=x'+y$ pre $\small \forall x, y \in N$.

Budeme vychádzať z platnosti komutatívnosti sčítania pre prirodzené čísla: $\small x + y=y +x$, pričom budeme dokazovať matematickou indukciou.

• Zrejme pre $\small y=1$ platí
  $\small x + 1'=(x+1)'=(1+x)'=1 + x'$
• Predpokladajme platnosť pre $\small y \leq n: x + y' = y' + x$.
• Ukážeme, že tvrdenie platí pre $\small k+1$.
• Z definície sčítania (axióma VII) dostaneme
  $x + (y+1)'=(x + (y+1))'$
• Využitím asociatívnosti a komutatívnosti dostaneme
  $\small (x + (y+1))'=(x+y+1)'=(y+(x+1))'=y+x'$
• Využitím indukčného predpokladu dostaneme $\small y'+x=x'+y$. Tým je dôkaz ukončený.

Trojciferné prirodzené číslo má na mieste jednotiek číslicu 3. Ak túto číslicu premiestnime na začiatok čísla, dostaneme nové číslo, ktoré je rovné trojnásobku pôvodného čísla zväčšeného o 1. Určte takéto trojciferné číslo.

1. Nech pôvodné číslo je
   $A=100a+10b+3$
2. Zrejme platia nerovnosti:
   $0 \leq a,b \leq9$
3. Podľa zadania bude platiť
   $3(100a+10b+3)+1=300+10a+b$
4. Po úprave dostaneme
   $b=10-10a$
5. Keďže $a$ je cifra, pre ktorú platí $0 \leq a \leq9$, tak
   $a=1$
6. Riešením je číslo
   $A=103$.