Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Prvé predstavy o čísle pochádzajú už z dávneho obdobia staršej doby kamennej, paleolitu. Sú nerozlučne spojené s obdobím, keď na začiatku štvrtohôr začína človek získavať pomocou nástrojov prostriedky k obžive.
Archeologické vykopávky potvrdzujú, že človek vytvoril prvé aritmetické pojmy už v dobe kamennej. Za prvý dôkaz, že človek už vedel počítať sa považujú vrubovky.

Vestonická vrubovka

Egypťania a Babylončania používali všetky základné aritmetické operácie už v roku 2000 pred Kristom. Hieroglyfický systém pre egyptské číslice vychádzal zo sčítacích značiek používaných na počítanie. Tento pôvod viedol k hodnotám, ktoré používali desatinný základ, ale nezahŕňali pozičný zápis.  Babylončania používali šesťdesiatkový systém.

 číselná sústava - Egypt    číselná sústava - Babylon

                                                                                                                                                                

Komplexné výpočty s rímskymi číslicami si na získanie výsledkov vyžadovali pomoc počítacej dosky (alebo rímskeho počítadla). Skoré číselné systémy, ktoré obsahovali pozičný zápis, neboli desiatkové, vrátane šesťdesiatkového (základ 60) systému pre babylonské číslice a vigezimálneho (základ 20) systému, ktorý definoval mayské číslice. Vďaka tomuto konceptu hodnoty miesta prispela možnosť opätovného použitia rovnakých číslic pre rôzne hodnoty k jednoduchším a efektívnejším metódam výpočtu.

rímske čislicerímske počítadlo - abakus

...

Nepretržitý vývoj modernej aritmetiky nastal s érou Gréckej civilizácie. Euklides zhromaždil všetky znalosti tej doby z matematiky a napísal knihu Základy. Jeho práca obsahuje nielen geometriu, ale sú tu zhrnuté všetky výsledky bádania v oblasti matematiky.

  

Na vznik matematických pojmov a operácií s nimi, pôsobili praktické podnety (obchod, peňažníctvo, zememeračstvo, moreplavby, astronómia...). Starovekým Grékom až do helenistického obdobia chýbal symbol pre nulu a ako číslice používali tri samostatné sady symbolov: jednu pre jednotky, jednu pre desiatky a jednu pre stovky. Pre tisícky by znovu použili symboly pre umiestnenie jednotiek atď. Algoritmus pre sčítanie, odčítanie a delenie bol rovnaký ako dnešný, len algoritmus násobenia sa mierne líšil.

Starovekí Číňania mali pokročilé aritmetické štúdie od základných čísel po pokročilú algebru, ktoré sa datujú od dynastie Shang. Používali pozičnú sústavu podobnú gréckej. Taktiež nepoznali symbol pre nulu. Ich symboly boli založené na starovekých prútoch. Boli prví, ktorí pochopili a začali používať záporné čísla.

V stredoveku bola aritmetika zaradená medzi sedem slobodných umení. Na základe praktického používania aritmetiky, mali význam približné výpočty iracionálnych čísel, ktoré boli nevyhnutné pre geometrické konštrukcie.
Aritmetika sa vyvíjala v Indii a krajinách islamu, odkiaľ najnovšie úspechy tej doby v oblasti matematického myslenia prenikli do západnej Európy. Vyvinuli pozičný číselný zápis a zaviedli symbol pre nulu. V siedmom storočí zaviedol matematik Brahmaputra používanie nuly ako samostatného čísla a určil výsledky pre všetky operácie s nulou okrem výsledku delenia nulou. Bolo zavedených 9 arabských číslic, ktoré práve Leonardo Pisánsky rozšíril do celej Európy prostredníctvom svojej knihy Liber Abaci v roku 1202. Napísal: "metóda Indov prevyšuje akúkoľvek známu metódu výpočtov. Je to úžasná metóda, pomocou ktorej sú robené výpočty pomocou deviatich číslic a symbolu nula."

 Leonardo Pisánsky           ukážka z knihy Liber Abaci

Rozkvet algebry v stredovekom islamskom svete a tiež v renesančnej Európe bol výsledkom obrovského zjednodušenia výpočtov prostredníctvom desatinného zápisu.

Na začiatku 17. storočia vynašiel John Napier logaritmy a Fermat potom oddelil teóriu čísel do nezávislej vetvy aritmetiky. Pre numerické výpočty boli vynájdené a široko používané rôzne typy nástrojov - mechanické kalkulačky.
K axiometrickému vybudovaniu aritmetiky dochádza až v 19. storočí. Na Bolzanovom pojme množín, vybudoval Georg Cantor teóriu kardinálnych a ordinálnych čísel. Na začiatku 20. storočia Ernst Zermelo publikoval axiomatiku teórie množín, ktorá sa stala okrem iného aj základom pri výstavbe aritmetiky.