Základná veta aritmetiky
Portál: | Virtuálna Univerzita Mateja Bela |
Kurz: | Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie |
Kniha: | Základná veta aritmetiky |
Vytlačil(a): | Hosťovský používateľ |
Dátum: | štvrtok, 2 mája 2024, 10:20 |
1. Úvod
Aritmetika (z gréckeho slova arithmós - číslo) je odbor matematiky, ktorý študuje čísla, ich vzťahy a vlastnosti. Predmetom aritmetiky je pojem číslo (prirodzené, celé, racionálne, reálne a komplexné číslo) a jeho vlastnosti. Aritmetika sa zaoberá meraniami, operáciami s číslami. Aritmetika je najstaršia zo základných matematických vied, úzko súvisí s algebrou, geometriou a teóriou čísel.
Za základné aritmetické operácie považujeme: sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie. Aritmetika sa taktiež zaoberá počítaním s percentami, mocninami a odmocninami, exponenciálnymi a logaritmickými funkciami.
2. Dejiny
Archeologické vykopávky potvrdzujú, že človek vytvoril prvé aritmetické pojmy už v dobe kamennej. Za prvý dôkaz, že človek už vedel počítať sa považujú vrubovky.
číselná sústava - Egypt číselná sústava - Babylon
rímske čislicerímske počítadlo - abakus
...
Na vznik matematických pojmov a operácií s nimi, pôsobili praktické podnety (obchod, peňažníctvo, zememeračstvo, moreplavby, astronómia...). Starovekým Grékom až do helenistického obdobia chýbal symbol pre nulu a ako číslice používali tri samostatné sady symbolov: jednu pre jednotky, jednu pre desiatky a jednu pre stovky. Pre tisícky by znovu použili symboly pre umiestnenie jednotiek atď. Algoritmus pre sčítanie, odčítanie a delenie bol rovnaký ako dnešný, len algoritmus násobenia sa mierne líšil.
Aritmetika sa vyvíjala v Indii a krajinách islamu, odkiaľ najnovšie úspechy tej doby v oblasti matematického myslenia prenikli do západnej Európy. Vyvinuli pozičný číselný zápis a zaviedli symbol pre nulu. V siedmom storočí zaviedol matematik Brahmaputra používanie nuly ako samostatného čísla a určil výsledky pre všetky operácie s nulou okrem výsledku delenia nulou. Bolo zavedených 9 arabských číslic, ktoré práve Leonardo Pisánsky rozšíril do celej Európy prostredníctvom svojej knihy Liber Abaci v roku 1202. Napísal: "metóda Indov prevyšuje akúkoľvek známu metódu výpočtov. Je to úžasná metóda, pomocou ktorej sú robené výpočty pomocou deviatich číslic a symbolu nula."
Leonardo Pisánsky ukážka z knihy Liber Abaci
Rozkvet algebry v stredovekom islamskom svete a tiež v renesančnej Európe bol výsledkom obrovského zjednodušenia výpočtov prostredníctvom desatinného zápisu.K axiometrickému vybudovaniu aritmetiky dochádza až v 19. storočí. Na Bolzanovom pojme množín, vybudoval Georg Cantor teóriu kardinálnych a ordinálnych čísel. Na začiatku 20. storočia Ernst Zermelo publikoval axiomatiku teórie množín, ktorá sa stala okrem iného aj základom pri výstavbe aritmetiky.
3. Základná veta aritmetiky
Napríklad: Čísla a sú súdeliteľné, lebo majú deliteľov .
Nesúdeliteľné čísla sú čísla, ktoré nemajú okrem čísla žiadneho spoločného deliteľa.
Napríklad: Čísla a sú nesúdeliteľné, lebo majú len jedného spoločného deliteľa - .
Vyjadrenie zloženého čísla súčinom jeho deliteľov väčších ako 1 nazývame rozklad zloženého čísla.
To isté číslo môže mať rôzne rozklady.
Napríklad:
Veta: Každé zložené číslo je deliteľné aspoň jedným prvočíslom , pre ktoré platí .
Ak zistíme, že číslo nie je deliteľné nijakým prvočíslom , pre ktoré platí , tak je prvočíslo.
Uveďme si niektoré spôsoby, ktorými zaznamenávame postup na prvočíselný rozklad.
Takto má každé prirodzené číslo jediný zápis. Hovorí o tom základná veta aritmetiky.
4. Vlastnosti a kritériá deliteľnosti
- , ak je posledná číslica párna, alebo je na poslednom mieste číslica
- , ak je ciferný súčet deliteľný
- , ak je posledné dvojčíslie deliteľné
- , ak je na poslednom mieste alebo
- , ak je číslo deliteľné a súčasne aj
- , ak je siedmimi deliteľný súčet vypočítaný tak, že sa prvá až n-tá číslica odzadu vynásobí postupne číslami (periodicky sa opakujúcimi):
- , ak je posledné trojčíslie deliteľné
- , ak je ciferný súčet deliteľný
- , ak je na poslednom mieste
- , ak je rozdiel súčtu číslic na nepárnom a párnom mieste deliteľný
(číslo deliteľné ).
Príklad pre deliteľnosť : Je číslo deliteľné ?
(číslo deliteľné ).
4.1. Príklady
- Zisti, ktoré z čísel alebo , je deliteľné alebo .
- Zisti, ktoré z čísel alebo , je deliteľné alebo .
- Ktorým číslom z prvej desiatky nie je deliteľné číslo ? Využi na riešenie znaky deliteľnosti.
- V zápise čísla nahraď hviezdičku takou číslicou, aby ste dostali číslo deliteľné: a) tromi, b) štyrmi, c) šiestimi, d) deviatimi.
- Koľko je všetkých trojciferných čísel, ktoré sú vytvorené z cifier a sú deliteľné , ak sa cifry môžu opakovať?
5. Najväčší spoločný deliteľ
Metódy:
- Výpočet pomocou množín deliteľov
- Výpočet pomocou prvočíselného rozkladu
- Výpočet pomocou najmenšieho spoločného násobku
- Výpočet pomocou Euklidovho algoritmu
Na nasledujúcom príklade si ukážeme výpočet pomocou každej metódy.
Zadanie: Nájdite najväčšieho spoločného deliteľa čísel a .
5.1. 1. Metóda - využitie množín deliteľov
Pretože spoločné delitele čísel sú spoločné prvky množín ich deliteľov, najväčší spoločný deliteľ je najväčší prvok prieniku množín deliteľov. To platí pre dve i väčší počet čísel.
Metóda využitie množiny deliteľov sa opiera o definíciu najväčšieho spoločného deliteľa. Táto metóda je však zdĺhavá a prácna. Hodí sa len pre malé prirodzené čísla.
5.2. 2. Metóda - prvočíselný rozklad
Každý spoločný deliteľ daných čísel môže byť zapísaný mocninami tých istých prvočísel, exponent mocniny je vždy menší, alebo sa rovná tomu exponentu, ktorý je v zápisoch čísel.
Zapísali sme prvočíselné rozklady čísel . Zostavíme z nich prvočíselný rozklad tak, že pre každé prvočíslo vyberieme najmenší exponent.
5.3. 3. Metóda - pomocou najmenšieho spoločného násobku
5.4. 4. Metóda - Euklidov algoritmus
5.5. Príklady
- Obdĺžnik rozmermi a je potrebné obložiť čo najmenším počtom zhodných mozaikových štvorcov. Aká bude dĺžka strany jedného štvorca? Koľko štvorcov potrebujeme?
- Sponzor daroval žiakom triedy plniacich pier, poznámkových blokov a ceruziek. Žiaci si dar rozdelili tak, že každý dostal rovnaký počet pier, blokov i ceruziek. Koľko žiakov bolo v triede, keď vieme, že ich bolo viac než .
- Na škole s rozšíreným vyučovaním športovej prípravy je atlétov, volejbalistov a hádzanárov. Je možné rozdeliť športovcov na skupiny tak, aby počet v každej skupine bol rovnaký a vyjadrený najväčším možným číslom?
- Najväčší spoločný deliteľ čísel je . Najmenší spoločný násobok čísel je . Pritom ani , ani nie sú deliteľom jeden druhého. Ktoré sú to čísla?