Planimetria a stereometria

Dĺžka úsečky (veľkosť úsečky) je nezáporné reálne číslo, ktoré zisťujeme meraním.
Meranie je proces, pri ktorom porovnávame úsečku s tzv. jednotkovou úsečkou. Jednotková úsečka je úsečka, ktorej veľkosť je 1.
Miera úsečky je každé zobrazenie množiny $M$ všetkých úsečiek do množiny všetkých nezáporných reálnych čísel s vlastnosťami, ktoré sú uvedené v nasledovnom odseku.

Definícia - miera/dĺžka úsečky
Nech $M$ je množina všetkých úsečiek. Funkciu, ktorá má nasledujúce tri vlastnosti

1. Pre každú úsečku $a \in M$ platí, že $f(a) \geq 0$
2. Ak $a, b$ sú dve zhodné úsečky, tak $f(a) = f(b)$
3. Ak $a + b$ je grafický súčet úsečiek $a, b$, tak $f(a + b) = f(a) + f(b)$
nazývame miera úsečky.

Poznámky

1. Z definície a prvej vlastnosti vyplýva, že každej úsečke prislúcha jediné kladné číslo, ktoré je jej dĺžkou.
2. Dĺžka úsečky nezávisí od jej polohy.
3. Jednotková úsečka má dĺžku 1.

Definície - vzdialenosť dvoch útvarov

1. Pod vzdialenosťou dvoch bodov rozumieme dĺžku úsečky, pre ktorú spomínané body sú jej krajnými bodmi.
2. Pod vzdialenosťou bodu $B$ od množiny $U$ rozumieme minimum zo všetkých možných dĺžok $|BX|$, kde $X \in U$
   $d(B, U) := min \lbrace{|BX|; X \in U}\rbrace$
3. Pod vzdialenosťou množín $U1, U2$ rozumieme minimum zo všetkých možných dĺžok $|XY |$, kde $X \in U_1 ,Y \in U_2$
   $d(U_1, U_2) := min \lbrace{|XY|; X \in U_1 \wedge Y \in U_2 }\rbrace$.

Cvičenia.

1. Je daná úsečka $KL$. Zostrojte trojuholník $ABC$, ktorého strany majú veľkosť: $a=\left| KL\right| , b=\frac{4}{3}\left| KL\right| , c=\frac{5}{3}\left| KL\right|$. Úlohu vyriešte v Euklidovskej rovine.
   Návod: Najskôr úsečku rozdeľte na 3 rovnaké časti.
2. Je daná úsečka $AB$. Zostrojte trojuholník $ABC$, ktorého strany majú veľkosť: $a=\frac{3}{2}\left|AB\right| , b=2\left| AB\right| , c= AB$. Úlohu vyriešte v Poincare Disc.
   Návod: Najskôr úsečku rozdeľte na 2 rovnaké časti.