Planimetria a stereometria

Základné topologické pojmy - definície (Spracované podľa práce [1])

Nech $Z$ je základná množina, bod $A ∈ Z$, $\delta$ je ľubovoľne zvolená nenulová úsečka. V priloženom applete množina $Z$ je pravidelný 7-uholník.

1. Okolie bodu $A$ (presnejšie $\delta$-okolie bodu $A$) je množina všetkých bodov $X \in Z$, pre ktoré platí, že úsečka $AX$ je menšia ako $\delta$. $O_Z(A; \delta) := \lbrace{X \in Z; AX < \delta}\rbrace$
2. Nech $U$ je podmnožina množiny $Z$ ( $U \subset Z$). Množina $U$ sa nazýva ohraničená množina, ak existuje taký bod v $Z$ a také jeho $\delta$−okolie, pre ktoré platí, že $U$ je jeho podmnožinou. V priloženom applete množina $U$ je nekonvexný 7-uholník.
 applet
3. Nech $U$ je podmnožina množiny $Z$ ( $U \subset Z$). Bod nazývame
1. vnútorným bodom množiny $U$, ak existuje také jeho $\delta$-okolie, ktoré je podmnožinou množiny $U$ .
2. vonkajším bodom množiny $U$, ak existuje také jeho $\delta$-okolie, ktorého prienik s množinou $U$ je prázdna množina.
3. hraničným bodom množiny $U$, ak pre každé jeho $\delta$-okolie platí, že obsahuje aspoň jeden bod množiny $U$ a aspoň jeden bod, ktorý jej nepatrí.
4. Hranica množiny $U$ je množinu všetkých jej hraničných bodov.
5. Budeme hovoriť, že množina je
1. uzavretá, ak každý jej hraničný bod jej patrí
2. otvorená, ak aspoň jeden hraničný bod jej nepatrí.
6. Dve množiny budeme nazývať neprekrývajúce sa, ak ich prienik neobsahuje žiaden vnútorný bod ani jednej z týchto množín.
   

Úlohy

1. Daná je množina $M: \triangle ABC - (AB \cup AC \cup D)$. Zistite, či množina $M$ je uzavretá alebo otvorená. Vyznačte hranicu množiny $M$, ak základnou množinou je
   1. $\overleftrightarrow{ABC}$
   2. $\overrightarrow{BCA}$
Otvorte si zadanie Tu

2. Daný je štvorec $ABCD$. Určte hranicu množiny $\overrightarrow{ABC} ∩ \overrightarrow{CDA}- AD$, ak základnou množinou je
   1. $\overleftrightarrow{ABC}$
   2. $\overrightarrow{ABC}$.
      Otvorte si zadanie Tu