Planimetria a stereometria

Jordanova teória miery – Camill Jordan (1838 – 1922)

1. Úsečku určenú bodmi $A,B$ budeme označovať symbolom $AB$. Mieru (dĺžku) úsečky $AB$ budeme označovať symbolom $\left| AB\right|$.
2. Pri meraní a určovaní dĺžky úsečky je nutné poznať konštrukciu prenášania úsečky $AB$ na danú polpriamku^[1].
3. Na určenie miery úsečky budeme potrebovať Archimedovu axiómu, ktorá je axiómou spojitosti Hilbertovho axiomatického systému.
4. Vo všeobecnosti môžeme určiť dĺžku ľubovoľného jedno-rozmerného útvaru (1D). Napríklad čiara patrí do (1D), pretože na určenie bodu na nej je potrebný len jeden parameter/rozmer.

Archimedova axióma
Nech sú dané dve úsečky $AB,CD$. Na polpriamke $\overrightarrow{AB}$ zostrojíme navzájom rôzne body $P_1, P_2, \cdot \cdot \cdot$ také, že
$AP_1 \simeq P_1P_2 \simeq \cdot \cdot \cdot \simeq P_iP_{i+1} \cdot \cdot \cdot \simeq CD$.
Potom existuje jediné prirodzené číslo $n$ také, že bod $P_n \in AB$ a $P_{n+1} \notin AB$.