Planimetria a stereometria

Nech $k$ je kolmica na rovinu $\alpha$. Priesečník $\small R$ kolmice s danou rovinou nazveme päta kolmice.

Ak $\small M \neq R$, tak na základe vlastnosti pravouhlého trojuholníka $\small MRP$ platí: prepona je väčšia ako odvesna, symbolicky
$\small \forall P$ $\in \alpha:\; \small MP > MR$.
To nám umožňuje zaviesť nasledujúcu definíciu vzdialenosti bodu od roviny.

Definícia.

1. Vzdialenosť bodu $\small M$ od roviny $\alpha$ je dĺžka úsečky $\small MR$, kde bod $\small R$ je päta kolmice z bodu $\small M$ na rovinu $\alpha$.
2. Pod vzdialenosťou dvoch geometrických útvarov $\small U_1,U_2$ sa rozumie najmenšia z úsečiek $\small XY$ (alebo dĺžka tejto úsečky) pre $\small X \in U_1, Y \in U_2$ .
3. Vzdialenosťou dvoch rovnobežných rovín nazývame vzdialenosť ľubovoľného bodu jednej z rovín od druhej roviny.

Dôsledky.

1. Všetky priamky kolmé na tú istú rovinu sú navzájom rovnobežné.
2. Vzdialenosť bodu $\small M$ od roviny a je najmenšia z úsečiek $\small MX, \;X$ $\in \alpha$.

Cvičenie - vzdialenosť bodov. Pozrite si prácu "Sbírka úloh STEREOMETRIE" Tu.

1. V kocke $\small ABCDA'... D'$ určte konštrukčne i výpočtom vzdialenosť vzdialenosť bodov $\small B', S$, kde $\small S$ je stred ľavej bočnej steny $\small ADD'$.
   
   Otvorte si applet Tu.
2. V kvádre $\small ABCDEFGH$ s dĺžkami hrán $\small |AB| = a$, $\small |BC| = b$, $\small |AE| = c$ vypočítajte vzdialenosť bodov $\small B,K$, kde $\small K \in AH; (AKH)=3$. Zostrojte si najskôr hranol v GeoGebre 3D.  zadanie Tu

Cvičenie - vzdialenosť bodu od priamky.

1. V kocke $\small ABCDA'... D'$ určte konštrukčne i výpočtom vzdialenosť vzdialenosť bodu $\small B'$ od priamky $\small BD'$ resp. $\small AD'$.
2. V pravidelnom štvorbokom ihlane $\small ABCDV$ vypočítajte vzdialenosť bodu $\small A$ od priamky $\small CV$.
3. V kvádre $\small ABCDEFGH$ s dĺžkami hrán $\small |AB| = a$, $\small |BC| = b$, $\small |AE| = c$ vypočítajte vzdialenosť bodu $\small A$ od telesovej uhlopriečky $\small BH$.
4. Daný je pravidelný štvorsten $\small ABCD$ o hrane dĺžky $a$, označte $\small O$ ťažisko steny $\small ABC$. Určte vzdialenosť všetkých jeho vrcholov od polpriamky $\small \overrightarrow{AO}$.
   ..
   

Cvičenie - vzdialenosť bodu od roviny.

1. V kocke $\small ABCDA'... D'$ určte konštrukčne i výpočtom vzdialenosť vrcholu $\small A'$ od roviny $\small AB'D'$.
2. Vypočítajte výšku pravidelného štvorstenu $\small ABCD$ s dĺžkou hrany $\small |AD| = a$.
3. V pravidelnom štvorbokom ihlane $\small ABCDV$ vypočítajte vzdialenosť stredu postavy od roviny jeho pobočnej steny, ak je dané $\small |AB| = |SV| = a$|.
4. Daný je pravidelný štvorsten $\small ABCD$ o hrane dĺžky $a$, označte $\small O$ ťažisko steny $\small ABC$. Určte vzdialenosti $\small \left|O,\overleftarrow{ABC} \right| ,\left|\overleftarrow{BC},\overrightarrow{OAC} \right|$.

Popis konštrukcie a výpočet pre (i):
Vzdialenosť bodu $\small A'$ od roviny $\alpha =\small AB'D'$ sa rovná dĺžke úsečky $\small A'R$, kde $\small R$ je päta kolmice z bodu $\small A'$ na rovinu $\alpha$.
Keďže telesová uhlopriečka kocky je kolmá na všetky jej stenové uhlopriečky, s ktorými nie je rôznobežná (dokážte to), tak priamka prechádzajúca bodom $\small A'$ a kolmá na rovinu $\alpha$ je telesová uhlopriečka $\small A'C$.
 Riešenie Tu.   Vyriešte konštrukčne - zadanie Tu.
Zrejme päta $\small R$ kolmice $\small A'C$ na rovinu $\small AB'D'$ (rovnostranný trojuholník) je ortocentrom a zároveň ťažiskom trojuholníka $\small \triangle AB'D'$. Ďalej platí $\small \mu( A'CR )$ $= - \frac{1}{2}$. Odkiaľ vyplýva: $d(\small A$ $, \alpha)=\small |A'R|=\frac{{1} }{3}|A'C|$ $= \frac{a \sqrt[]{3} }{3}$.

Cvičenie - vzdialenosť priamky od roviny.
V kocke $\small ABCDEFGH$ sú body $\small K, L, M$ po rade stredy hrán $\small BF, DH, AE$ a bod $\small N$ je priesečník uhlopriečok $\small EG, FH$. Vypočítajte vzdialenosť priamky a roviny a) $\small AE, BDF$ b) $\small BN, ACH$ c) $\small MN, AKL$.

Applet Tu.

______________________________________________________________
Obrázky sú prevzaté z publikácie
Klenková, P.: Stereometria – elementárna geometria trojrozmerného euklidovského priestoru, Diplomová práca, UK FMFI, Bratislava 2006