Euklidovský priestor

Trojrozmerný euklidovský priestor $E_3$ je systém troch množín $\mathscr{B},\mathscr{P},\mathscr{R}$ - bodov, priamok a rovín, ktoré spĺňajú axiómy incidencie, usporiadania, zhodnosti, rovnobežnosti a spojitosti.

Stereometria sa zaoberá priestorovými problémami (stereometria, grécky stereos značí pevný, tuhý – metrein merať).
Platón skúmal pravidelné telesá, ktoré nazývame ešte aj dnes platónskymi telesami. Viac o Platónskych telesách nájdete Tu.

Euklides sa zapodieval stereometriou a poznal takmer všetky vety, ktoré sú v našej školskej stereometrii.

1. Babylončania vedeli počítať objemy pevnostných násypov s lichobežníkovým prierezom. 
2. Egypt vyvinul určitý druh náuky na zisťovanie objemov sýpok, ktoré mali obyčajne tvar kvádra. 
3. Grécky filozof Demokritos (5. stor. pred n. l.) prvý zistil, že objem ihlana sa rovná jednej tretine objemu hranola.
   
4. Povrch a objem gule vypočítal Archimedes (3 stor. pred n. l.).
   

Gaspard Monge (1746-1818) zaviedol deskriptívnu geometriu. Metóda zobrazenia priestoru do dvoch priemetní.
Vzťahy medzi počtom vrcholov, hrán a stien pri mnohostenoch popisuje Eulerova veta: Počet vrcholov mnohostena zväčšený o počet stien sa rovná počtu hrán zväčšenému o dve: $v + s = h + 2$.

Stereometria sa nazýva geometria založená na axiómach, základných definíciách a na vybudovanej planimetrii. Uvádzame len niektoré axiómy a definície.

Axiómy incidencie v rovine
I1: Dvoma rôznymi bodmi $A, B$ prechádza práve jedna priamka.
I2: Každá priamka obsahuje aspoň dva rôzne body.
I3: Existuje aspoň jedna trojica navzájom rôznych nekolineárnych bodov.
Axiómy incidencie v priestore
I4: Tromi nekolineárnymi bodmi $A, B,C$ prechádza práve jedna rovina. Kocka Tu
I5: V každej rovine existujú aspoň tri nekolineárne body.
I6: Ak dva rôzne body $A, B$ priamky $p$ ležia v rovine $\alpha$, potom každý bod priamky $p$ leží v rovine $\alpha$.
I7: Ak dve roviny $\alpha, \beta$ majú spoločný bod $A$, potom majú spoločný ešte aspoň jeden bod $B$, rôzny od $A$.
I8: Existuje aspoň jedna štvorica nekomplanárnych bodov $A, B,C,D$. 

Definície - vzájomná poloha dvoch priamok

1. Dve priamky, ktoré ležia v jednej rovine a nemajú spoločný bod, sa nazývajú rovnobežné priamky alebo rovnobežky.
2. Rôznobežky sú dve priamky, ktoré majú spoločný práve jeden bod. Spoločný bod sa nazýva priesečník priamok.
3. Dve priamky, ktoré neležia v žiadnej rovine, sa nazývajú mimobežné priamky alebo mimobežky.

Poznámky.

1. Množina bodov sa nazýva kolineárna, ak je incidentná s nejakou priamkou. Množina bodov sa nazýva komplanárna, ak je incidentná s nejakou rovinou.
2. Ak každý bod priamky $a$ leží v danej rovine $\alpha$, hovoríme, že priamka $a$ leží v rovine $\alpha$ [je incidentná s rovinou $\alpha$]; hovoríme tiež, že rovina α prechádza priamkou $a$.
3. Existencia mimobežných priamok je zaručená axiómou I8.
4. Ak štvorica bodov $A, B,C,D$ je nekomplanárna, tak dvojice priamok $\overleftrightarrow{AB} , \overleftrightarrow{CD}, \overleftrightarrow{AC}, \overleftrightarrow{BD}, \overleftrightarrow{AD}, \overleftrightarrow{BC}$ sú mimobežné. Ukážka Tu

Doporučená literatúra

1. Sklenáriková, Z. – Čižmár, J.: Elementárna geometria euklidovskej roviny. Skriptum, vyd. UK, Bratislava 2002, ISBN 80-223-1585-0
2. Klenková, P.: Stereometria – elementárna geometria trojrozmerného euklidovského priestoru, Diplomová práca, UK FMFI Bratislava 2006. Dostupné Tu

Definície - rovnobežnosť

1. Priamky $a,b$ sú navzájom rovnobežné práve vtedy, ak $a = b \; (a \equiv b)$ alebo existuje rovina, v ktorej obe priamky ležia a nemajú žiaden spoločný bod.
   $a \parallel b \Leftrightarrow (a = b) \vee ( \exists \alpha : a \cup b \subset \alpha \;\wedge \;a \cap b = \emptyset)$
2. Priamka $a$ je rovnobežná s rovinou $\alpha$ práve vtedy, ak priamka $a$ leží v rovine α alebo s ňou nemá žiaden spoločný bod.
   $a \parallel \alpha \Leftrightarrow (a \subset \alpha ) \vee (a \cap \alpha = \emptyset)$
3. Dve roviny $\alpha, \beta$ sú navzájom rovnobežné práve vtedy, ak: alebo α = β alebo tieto roviny nemajú žiaden spoločný bod.
   $\alpha \parallel \beta \Leftrightarrow ( \alpha= \beta ) \vee ( \alpha\cap \beta = \emptyset)$

Poznámky

1. Dve priamky sú rovnobežné, alebo rôznobežné, alebo mimobežné.
2. Priamka je s rovinou rovnobežná, alebo rôznobežná.
3. Dve roviny sú rovnobežné, alebo rôznobežné.

Tieto tvrdenia sa ľahko dokážu pomocou dichotomického princípu vzhľadom na prienik daných útvarov. Napríklad:

1. Prienik $\small P$ $=a \cap b$ dvoch priamok môže byť buď prázdna množina alebo neprázdna.
   • V prvom prípade sú priamky buď rovnobežné - ak ležia v jednej rovine, alebo mimobežné - ak neležia v jednej rovine.
   • V druhom prípade môže prienik $\small P$ $=a \cap b$ obsahovať jeden bod - priamky sú rôznobežné alebo viac bodov oboch priamok - priamky sú totožné (axióma I1).

Kritérium rovnobežnosti priamky a roviny
Priamka $a$ je rovnobežná s rovinou $\alpha$ práve vtedy, ak je rovnobežná s aspoň jednou priamkou $a'$ roviny $\alpha$ ($a' \subset \alpha$). Symbolicky
$a \parallel \alpha\; \Leftrightarrow\; \exists a' \subset \alpha:\; a' \parallel a$.

Dôkaz - pri dokazovaní využijeme dichotomický princíp vzhľadom na prienik priamky $a$ a roviny $\alpha$

1. Nutná podmienka (dôkaz implikácie): $(a \parallel \alpha )\Rightarrow (\exists a' \subset \alpha:\; a' \parallel a)$. V zmysle definície rovnobežnosti priamky a roviny, môžu nastať dva prípady:
   1. $(a \subset \alpha) \Rightarrow ( \exists a'=a; \;a \parallel a')$.
   2. $a \cap \alpha = \emptyset$:
      Nech $\small P$ $\in \alpha$ je bod ľubovoľný bod. Keďže $\small P$ $\notin a$, tak existuje práve jedna rovina 
      $\beta=(a,\small P )$
      a priesečnica
      $a'= \beta \cap \alpha$,
      pričom bude $a \cap a'= \emptyset$. V opačnom prípade by existoval bod $\small A$ $\in a \cap a'$, ktorý by bol spoločným bodom priamky $a$ a roviny $\alpha$.
      To je spor s predpokladom $a \cap \alpha= \emptyset$. Záver: $a \parallel a'$.
      Otvorte si applet Tu
2. postačujúca podmienka - $(\exists a' \subset \alpha:\; a' \parallel a) \Rightarrow (a \parallel \alpha )$. Môžu nastať dva prípady pre vzájomnú polohu priamok $a,a'$:
   1. $(a = a' \subset \alpha ) \Rightarrow (a \parallel a') \Rightarrow ( a \parallel \alpha)$.
   2. $(a \cap a' = \emptyset \; \wedge \;a \parallel a') \Rightarrow ( a \cap \alpha =\emptyset ) \Rightarrow (a \parallel \alpha)$.
      Dokázať, že $a∩ α = ∅$ môžeme aj nepriamo. Nech bod $\small A \in a\cap \alpha )$ a nech $\beta=(a,a')$, potom
      $a'=\alpha \cap\beta$ a zároveň $\small A \in \alpha \cap \beta$.
      Odkiaľ dostávame, že $\small A \in a'$ a teda bod $\small A \in a\cap a'$, čo je spor s rovnobežnosťou týchto priamok. Záver: $a \parallel \alpha$.
      

      $\small \blacksquare$

Tvrdenia : relácia rovnobežnosti má nasledujúce vlastnosti

1. $a \parallel b \; \wedge \; b \parallel c \;\;\Rightarrow a \parallel c$
2. $a \parallel \alpha \; \wedge \; \alpha \parallel \beta \Rightarrow a \parallel \beta$
3. $\alpha \parallel \beta \Rightarrow \forall a \in \alpha : a \parallel \beta$
4. $a \parallel b \;\wedge \;b \parallel \alpha \; \Rightarrow a \parallel \alpha$
5. $\alpha \parallel \beta \;\wedge\; \beta \parallel \gamma \Rightarrow \alpha \parallel \gamma$

Dôkazy týchto tvrdení nájdete v práci Klenková: Stereometria. Na cvičení ich budete prezentovať.

Kritérium rovnobežnosti dvoch rovín
Dve roviny $\alpha, \beta$ sú rovnobežné práve vtedy, ak jedna z nich obsahuje dve rôznobežky $a,b \in \alpha$, ktoré sú rovnobežné s druhou rovinou $a \parallel \beta \wedge b \parallel \beta$. Symbolicky
$(\alpha \parallel \beta) \; \Leftrightarrow\; (\exists a,b \subset \alpha \; \wedge \; \exists a',b' \subset \beta: \; a\parallel a' \; \wedge \; b \parallel b')$.

Dôkaz 

1. Nutná podmienka - $\alpha \parallel \beta \Rightarrow \cdot \cdot \cdot$. Môžu nastať dva prípady:
   1. $(\alpha=\beta)\Rightarrow((\exists a,b \subset \alpha)\wedge (\exists a'=a,b'=b))\Rightarrow a\parallel \beta \wedge b\parallel \beta$.
   2. $\alpha\cap \beta = \emptyset$: Potom existujú rôznobežky $\exists a,b \subset \alpha$, pre ktoré platí $a\cap \beta = \emptyset, b\cap \beta = \emptyset$. Ak by tieto prieniky neboli prázdne množiny, tak by aj $\alpha\cap \beta \neq \emptyset$, čo je spor s predpokladom.
      . Otvorte si applet Tu
2. postačujúca podmienka - $(\exists a,b \subset \alpha, a',b' \subset \beta ) \wedge (a\parallel a',b\parallel b') \Rightarrow )\alpha\parallel \beta )$. Teoreticky môžu nastať tri prípady:
   1. ak $\alpha= \beta$, tak z definície $\alpha \parallel \beta$;
   2. ak $\alpha\cap \beta = \emptyset$, tak z definície $\alpha \parallel \beta$;
   3. prípad $\alpha \neq \beta \wedge \alpha\cap \beta \neq \emptyset$ nemôže nastať. Ak by nastal bol by v spore s existenciou dvojíc priamok: $(\exists a,b \subset\alpha, a',b'\subset\beta)\wedge (a\parallel a',b\parallel b')$. Dokážeme to nepriamo:
      Nech existujú rôznobežky
      $a,b \subset \alpha, a',b' \subset \beta$
      s požadovanou vlastnosťou $a\parallel a',b\parallel b'$ a nech roviny $\alpha,\beta$ majú spoločnú priamku
      $p$: $\alpha \cap \beta=p$.
      
      Táto priamka $p$ pretína aspoň jednu rôznobežku $a,b$ (môže byť rovnobežná najviac s jednou z nich). Nech je to priamka $a$. Označme $p \cap a =\small A$ . To ale znamená, že bod $\small A \in a$ by ležal v rovine $\alpha$ a zároveň v rovine $\beta$, lebo $p \subset \beta$.  To je spor s predpokladom $a\parallel a'$, keďže $a \cap a'=\emptyset$ .
      

      $\small \blacksquare$

Dohovor
Ak sa medzi skúmanou trojicou rovín $\alpha, \beta, \gamma$ vyskytne dvojica rovín navzájom rovnobežných, tak bez ujmy na obecnosti ju označíme $( \alpha, \beta)$ (lexikografický prístup).
To neznamená, že dvojicou rovnobežných rovín nemôže byť dvojica $( \alpha, \gamma )$ alebo $( \beta, \gamma )$.

Tvrdenie
     Pre roviny $\alpha, \beta$ platí práve len jedno z nasledujúcich tvrdení:
$(\alpha \parallel \beta) \; \Leftrightarrow \; (\alpha \cap \beta=\emptyset)$
$(\alpha \nparallel \beta) \; \Leftrightarrow\; ( \alpha \cap \beta= \lbrace{p}\rbrace )$.

Klasifikácia vzájomnej polohy troch rovín

1. Nech platí $\alpha \parallel \beta$. Pre rovinu $\gamma$ potom platí: alebo $\alpha \parallel \gamma$ alebo $\alpha \cap \gamma = \{ b \}$
1. Uvažujme o rovinách $\alpha, \beta, \gamma$, pre ktoré $\alpha \parallel  \beta$, $\alpha \parallel \gamma$. Obrázok vľavo. Z tranzitívnosti relácie rovnobežnosti rovín vyplýva záver: $\alpha, \beta, \gamma$ je trojica navzájom rôznych rovnobežných rovín. 
   
2. Nech platí: $\alpha \parallel \beta$  ∧  $\alpha \cap \gamma =\{ b \}$. Dôsledkom je rôznobežnosť rovín $\beta, \gamma$ (v opačnom prípade by boli všetky tri roviny navzájom rovnobežné, čo je spor s predpokladom). Je zrejmé, že priesečnice dvojíc rovín$( \alpha, \gamma) ,( \beta, \gamma )$ sú navzájom rovnobežné priamky. (Odôvodnite.) Záver: Roviny $\alpha \beta ,$ sú navzájom rovnobežné a rovina $\gamma$ ich pretína v dvoch navzájom rovnobežných priamkach $b = \alpha \cap \gamma ; a = \beta \cap \gamma$. Obr. vpravo.
2. Nech platí: $\alpha \cap \beta =\{ c \}$. Skúmajme vzájomnú polohu priamky $c$ s rovinou $\gamma$. Môže nastať práve jeden z prípadov: ($c \subset \gamma$ alebo $c \cap \gamma =\small M$ alebo $c \cap \gamma = \emptyset$.


1. V prvom prípade majú tri roviny spoločnú práve jednu priamku. 
2. V druhom prípade platí $\alpha\cap \beta=\{ c \} , c\cap \beta = \{ \small M \}, \alpha \cap \beta \cap \gamma = \{ \small M \}$. Záver: Roviny majú spoločnú práve jednu priamku.
3. Platí $a \parallel b \parallel c$. Záver: Všetky dvojice rovín sa pretínajú a tieto priesečnice sú navzájom rôzne rovnobežky.

Tvrdenie. Existuje päť vzájomných polôh troch navzájom rôznych rovín:

1. všetky tri roviny sú navzájom rovnobežné
2. dve rovnobežné roviny pretína tretia v navzájom rovnobežných priamkach
3. všetky tri roviny majú spoločnú práve jednu priamku (os zväzku rovín)
4. všetky tri roviny majú spoločný práve jeden bod
5. všetky dvojice rovín sú navzájom rôznobežné roviny a ich priesečnice sú navzájom rôzne rovnobežné priamky.

______________________________________________________________
Obrázky sú prevzaté z publikácie
Klenková, P.: Stereometria – elementárna geometria trojrozmerného euklidovského priestoru, Diplomová práca, UK FMFI, Bratislava 2006

Medzi základné metrické pojmy zaraďujeme

1. uhol - dvoch priamok, priamky a roviny a dvojice rovín.
2. kolmosť - dvoch priamok, kolmosť priamky a roviny a kolmosť dvojice rovín, kritériá kolmosti
3. vzdialenosť- dvoch geometrických útvarov.

V časti Planimetria - Euklidove Základy sme ukázali, že v euklidovskej rovine (dokonca aj v neeuklidovskej - Poincare model) možno zostrojiť kolmú priamku¹⁾ na ľubovoľnú inú priamku roviny. V stereometrii musíme najskôr definovať uhol dvoch mimobežných priamok. 

Definícia
Uhol mimobežných priamok $a, b$ je uhol zhodný s uhlom ľubovoľných dvoch rôznobežiek $a', b'$, pričom $a \parallel a', b \parallel b'$.
Otvorte si zadanie Tu                      ...
V applete posúvaním bodov $\small R,S$ vytvorte takú polohu mimobežiek, aby boli na seba kolmé.

Aby bola definícia korektná, dokážeme najprv nezávislosť takto definovaného uhla od výberu dvojice rôznobežiek $a', b'$.

Tvrdenie
Nech $a, b$ sú dve ľubovoľné mimobežky a nech $\small M',M''$ sú dva body $\small E_3$. Zostrojme priamky $a', b'$ a $a'', b''$ tak, aby $\small M'$ $\in a' \cap b'$ a $\small M''$ $\in a'' \cap b''$ a zároveň $a' \parallel a'', b' \parallel b''$. Potom platí: $\angle a'b'=\angle a''b''$.

Dôkaz
Zvoľme si dva rôzne body $\small A',B'$ incidentné s rovnomennými priamkami tak, aby $\small A' \neq M \neq B'$. Pozri obrázok nižšie. Ďalej zostrojme body $\small A'',B''$ tak, aby útvary $\small A'M'M''A'', B'M'M''B''$ boli rovnobežníky. Je zrejmé, že aj útvar $\small A'B'B''A''$ je rovnobežníkom a trojuholníky $\small A'M'B', A''M''B''$ sú zhodné (veta sss). Preto sa zhodujú vo všetkých uhloch.

$\small \blacksquare$

Definícia

1. Uhlom priamok $a,b$ nazývame uhol ľubovoľných dvoch nedisjunktných priamok $a',b'$, pre ktoré platí: $a \parallel a', b \parallel b'$ . Uhol dvoch rovnobežiek nazývame nulovým uhlom.
     Otvorte si applet Tu
2. Kolmé priamky nazývame také priamky, ktorých uhol je pravý.
3. Priamka kolmá na rovinu [hovoríme aj kolmica na rovinu] je priamka kolmá na všetky priamky roviny.

Dôsledok

1. Priamka kolmá na rovinu je s touto rovinou rôznobežná.
2. Priamka kolmá na dve rôznobežky danej roviny je s touto rovinou rôznobežná.

________________________________________________________________
1) Euklidove Základy, Kniha 1,Tvrdenie XI a XII.

Tvrdenie - kritérium kolmosti priamky a roviny.
Priamka je kolmá na rovinu práve vtedy, keď je kolmá na dve rôznobežné priamky tejto roviny.  

Dôkaz

1. Nutnosť ($\Rightarrow$). Predpokladajme, že $k \bot \alpha$. Z kolmosti priamky $k$ na všetky priamky roviny (definícia) vyplýva jej kolmosť na ľubovoľné dve jej rôznobežky.
2. Dostatočnosť $\Leftarrow$). Nech priamka $k \bot a' \; \wedge \; k \bot b'; \; a', b' \subset \alpha$. Treba dokázať, že priamka k je kolmá na všetky priamky danej roviny. Zvoľme si ľubovoľnú priamku $c' \subset \alpha$.
   Podľa predchádzajúceho dôsledku je priamka $k$ s rovinou $\alpha$ rôznobežná. Označme $\small P$ ich spoločný bod a zostrojme priamky $a, b, c$ prechádzajúce týmto bodom a rovnobežné s priamkami $a', b', c'$. Stačí dokázať: $k \bot c$ (prečo? vysvetlite).
    Otvorte si applet Tu
   Zvoľme si ľubovoľné body $\small A,B$ ležiace na rovnomenných priamkach tak, aby priamka $c \cap\small AB \neq \emptyset$. Označme $c \cap\small AB=C$. Ďalej nech sú $\small P_1,P_2$ ľubovoľné dva body, pre ktoré je bod $\small P$ je stredom úsečky $\small P_1P_2$.
   Potom platí:
   $\small \triangle PAP_1 ≅ \triangle PAP_2$ a $\small \triangle PBP_1 ≅ \triangle PBP_2$ (sus)
   odkiaľ dostávame zhodnosť úsečiek $\small P_1A , P_2A$ resp. $\small  P_1B, P_2B$. Preto platí
   $\small \triangle P_1AB ≅ \triangle P_2AB$ (sss)
   $\small \angle P_1AB ≅ \angle P_2AB \Rightarrow \angle P_1AC≅ \angle P_2AC$.
   Dôsledkom je zhodnosť trojuholníkov $\small P_1AC,P_2AC$ (sus), teda i zhodnosť úsečiek
   $\small P_1C ≅ CP_2$.
   Preto $\small \triangle PCP_1 ≅ \triangle PCP_2$ (sss), čo znamená, že sú zhodné i uhly v týchto trojuholníkoch pri vrchole $\small P$. Pretože ide o susedné uhly, sú oba uhly pravé, t.j. priamka $k$ je kolmá na priamku $c$.

Poznámky.

1. Kolmosť dvoch priamok je relácia symetrická ale nie je reflexívna ani tranzitívna.
2. Kritérium kolmosti priamky a roviny vyjadruje nevyhnutnú a dostačujúcu podmienku kolmosti priamky a roviny, ale nehovorí nič o existencii takejto priamky. Existencia priamky kolmej na rovinu je dôsledkom nasledujúceho nasledujúcom tvrdenia.
3. Namiesto vyjadrenia „priamka je kolmá na rovinu“ budeme tiež používať vyjadrenie „rovina je kolmá na priamku“. Analogicky ako v a) budeme hovoriť, že priamka a rovina sú navzájom kolmé.

Tvrdenie - existencia priamky kolmej na rovinu.
Existuje práve jedna priamka prechádzajúca daným bodom M a kolmá na danú rovinu α .

Dôkaz

1. Existencia priamky kolmej na na priamku vyplýva z Euklidových tvrdení T/XI a T/XII zo Základov, Kniha 1. Existencia kolmice na rovinu sa dá zdôvodniť z týchto tvrdení a konštrukcie uvedenej v nasledujúcom applete.
    Applet Tu
2. Jednoznačnosť takej kolmice dokážeme nepriamo s vyžitím obrázka
   
   Ak by existovali dve navzájom rôzne priamky $^1 k,\; ^2 k$ požadovanej vlastnosti, tak by ich priesečníky  $\small ^1 R,\; ^2 R$ s rovinou $\alpha$ boli navzájom rôzne body a trojuholník $\small ^1 R\; ^2 RM$ by bol trojuholníkom s dvoma pravými uhlami, čo je spor s vetou o súčte vnútorných uhlov v trojuholníku euklidovskej roviny.

Tvrdenie - existencia roviny kolmej na priamku.
Existuje práve jedna rovina prechádzajúca daným bodom M a kolmá na danú priamku m.

Dôkaz - analogický (konštrukčný) ako v predchádzajúcom tvrdení

Dôsledok
Dve roviny kolmé na tú istú priamku sú navzájom rovnobežné.

Nech $k$ je kolmica na rovinu $\alpha$. Priesečník $\small R$ kolmice s danou rovinou nazveme päta kolmice.

Ak $\small M \neq R$, tak na základe vlastnosti pravouhlého trojuholníka $\small MRP$ platí: prepona je väčšia ako odvesna, symbolicky
$\small \forall P$ $\in \alpha:\; \small MP > MR$.
To nám umožňuje zaviesť nasledujúcu definíciu vzdialenosti bodu od roviny.

Definícia.

1. Vzdialenosť bodu $\small M$ od roviny $\alpha$ je dĺžka úsečky $\small MR$, kde bod $\small R$ je päta kolmice z bodu $\small M$ na rovinu $\alpha$.
2. Pod vzdialenosťou dvoch geometrických útvarov $\small U_1,U_2$ sa rozumie najmenšia z úsečiek $\small XY$ (alebo dĺžka tejto úsečky) pre $\small X \in U_1, Y \in U_2$ .
3. Vzdialenosťou dvoch rovnobežných rovín nazývame vzdialenosť ľubovoľného bodu jednej z rovín od druhej roviny.

Dôsledky.

1. Všetky priamky kolmé na tú istú rovinu sú navzájom rovnobežné.
2. Vzdialenosť bodu $\small M$ od roviny a je najmenšia z úsečiek $\small MX, \;X$ $\in \alpha$.

Cvičenie - vzdialenosť bodov. Pozrite si prácu "Sbírka úloh STEREOMETRIE" Tu.

1. V kocke $\small ABCDA'... D'$ určte konštrukčne i výpočtom vzdialenosť vzdialenosť bodov $\small B', S$, kde $\small S$ je stred ľavej bočnej steny $\small ADD'$.
   
   Otvorte si applet Tu.
2. V kvádre $\small ABCDEFGH$ s dĺžkami hrán $\small |AB| = a$, $\small |BC| = b$, $\small |AE| = c$ vypočítajte vzdialenosť bodov $\small B,K$, kde $\small K \in AH; (AKH)=3$. Zostrojte si najskôr hranol v GeoGebre 3D.  zadanie Tu

Cvičenie - vzdialenosť bodu od priamky.

1. V kocke $\small ABCDA'... D'$ určte konštrukčne i výpočtom vzdialenosť vzdialenosť bodu $\small B'$ od priamky $\small BD'$ resp. $\small AD'$.
2. V pravidelnom štvorbokom ihlane $\small ABCDV$ vypočítajte vzdialenosť bodu $\small A$ od priamky $\small CV$.
3. V kvádre $\small ABCDEFGH$ s dĺžkami hrán $\small |AB| = a$, $\small |BC| = b$, $\small |AE| = c$ vypočítajte vzdialenosť bodu $\small A$ od telesovej uhlopriečky $\small BH$.
4. Daný je pravidelný štvorsten $\small ABCD$ o hrane dĺžky $a$, označte $\small O$ ťažisko steny $\small ABC$. Určte vzdialenosť všetkých jeho vrcholov od polpriamky $\small \overrightarrow{AO}$.
   ..
   

Cvičenie - vzdialenosť bodu od roviny.

1. V kocke $\small ABCDA'... D'$ určte konštrukčne i výpočtom vzdialenosť vrcholu $\small A'$ od roviny $\small AB'D'$.
2. Vypočítajte výšku pravidelného štvorstenu $\small ABCD$ s dĺžkou hrany $\small |AD| = a$.
3. V pravidelnom štvorbokom ihlane $\small ABCDV$ vypočítajte vzdialenosť stredu postavy od roviny jeho pobočnej steny, ak je dané $\small |AB| = |SV| = a$|.
4. Daný je pravidelný štvorsten $\small ABCD$ o hrane dĺžky $a$, označte $\small O$ ťažisko steny $\small ABC$. Určte vzdialenosti $\small \left|O,\overleftarrow{ABC} \right| ,\left|\overleftarrow{BC},\overrightarrow{OAC} \right|$.

Popis konštrukcie a výpočet pre (i):
Vzdialenosť bodu $\small A'$ od roviny $\alpha =\small AB'D'$ sa rovná dĺžke úsečky $\small A'R$, kde $\small R$ je päta kolmice z bodu $\small A'$ na rovinu $\alpha$.
Keďže telesová uhlopriečka kocky je kolmá na všetky jej stenové uhlopriečky, s ktorými nie je rôznobežná (dokážte to), tak priamka prechádzajúca bodom $\small A'$ a kolmá na rovinu $\alpha$ je telesová uhlopriečka $\small A'C$.
 Riešenie Tu.   Vyriešte konštrukčne - zadanie Tu.
Zrejme päta $\small R$ kolmice $\small A'C$ na rovinu $\small AB'D'$ (rovnostranný trojuholník) je ortocentrom a zároveň ťažiskom trojuholníka $\small \triangle AB'D'$. Ďalej platí $\small \mu( A'CR )$ $= - \frac{1}{2}$. Odkiaľ vyplýva: $d(\small A$ $, \alpha)=\small |A'R|=\frac{{1} }{3}|A'C|$ $= \frac{a \sqrt[]{3} }{3}$.

Cvičenie - vzdialenosť priamky od roviny.
V kocke $\small ABCDEFGH$ sú body $\small K, L, M$ po rade stredy hrán $\small BF, DH, AE$ a bod $\small N$ je priesečník uhlopriečok $\small EG, FH$. Vypočítajte vzdialenosť priamky a roviny a) $\small AE, BDF$ b) $\small BN, ACH$ c) $\small MN, AKL$.

Applet Tu.

______________________________________________________________
Obrázky sú prevzaté z publikácie
Klenková, P.: Stereometria – elementárna geometria trojrozmerného euklidovského priestoru, Diplomová práca, UK FMFI, Bratislava 2006

Uhol dvoch priamok sme definovali ako uhol dvoch ľubovoľných nedisjunktných priamok rovnobežných s danými priamkami. Pri uhla priamky a rovinou budeme potrebovať pojem kolmého priemetu priamky do roviny.
Nech $a$ je priamka, ktorá nie je kolmá na danú rovinu $\alpha$. Nech $\lambda$ je rovina kolmá na danú rovinu $\alpha$, ktorá prechádza priamkou $a\; ( a \subset \lambda)$. Rovinu $\lambda$ budeme nazývať kolmo premietajúca rovina priamky $a$. Priesečnicu $a_1=a\cap \lambda$ nazveme kolmý priemet priamky do roviny.

Otvorte si applet Tu

Definície

1. Uhlom priamky $a$ s rovinou $\alpha$, ktorá nie je kolmá na $\alpha$, nazývame uhol priamky $a$ s jej kolmým priemetom $a_1$ do roviny $\alpha$.
   $\varphi= \sphericalangle (a, \alpha)= \sphericalangle (a, a_1)$
2. Ak je priamka kolmá na rovinu, hovoríme, že jej uhol s rovinou je pravý.
3. Uhlom dvoch rôznobežných rovín $\alpha, \beta$ nazývame uhol priamok $a \subset \alpha,b \subset \beta: a \bot \alpha \cap \beta, b \bot \alpha \cap \beta$, ktoré sú kolmé na priesečnicu $p=\alpha \cap \beta$.

Cvičenie - riešenie v 2D.
Daná je kocka $\small ABCDEFGH$ a body $\small L,M,N$ tak, že platí $\small (AEL)=(DHM)=(CGN)=-1$. Určte konštrukčne uhol

1. priamok $\small AM,HN$
2. priamky a roviny $\small LG,ADE$
3. rovín $\small LHF,HEG$

Otvorte si zadanie pre prípad i.) Tu.

Poznámky

1. Uhol dvoch rovnobežných rovín nazývame nulový uhol.
2. O rovinách, ktorých uhol je zhodný s pravým uhlom hovoríme, že sú navzájom kolmé.

Tvrdenie Uhol priamky s rovinou je zhodný s doplnkovým uhlom k uhlu priamky s kolmicou na túto rovinu.

Dôsledok
Uhol dvoch rovín je zhodný s uhlom priamok kolmých na tieto roviny.

Obr. prevzatý z práce Klenková P., Stereometria, 2006

Tvrdenie - kritérium kolmosti rovín
Dve roviny sú na seba kolmé práve vtedy, ak jedna z rovín obsahuje priamku kolmú na druhú rovinu.
(Takúto priamku obsahuje prirodzene každá z rovín na seba kolmých. Stačí, ak jedna z rovín je rovnobežná s priamkou kolmou na zvyšnú rovinu.)

Cvičenie- riešenie v 3D.
Daný je pravidelný trojboký hranol $\small ABCDEF$, ktorého stenové pravouholníky sú štvorce. Zostrojte uhol zhodný s uhlom priamok $\small BF, AC$ a výpočtom určte jeho veľkosť. Zadanie otvoríte Tu. Riešenie Tu

Dokážte tvrdenia

1. $a \parallel b \; \wedge \; b \parallel c \;\;\Rightarrow a \parallel c$
   dôkaz Tu
2. $a \parallel \alpha \; \wedge \; \alpha \parallel \beta \Rightarrow a \parallel \beta$
   dôkaz si pripraví: študent/ka
3. $\alpha \parallel \beta \Rightarrow \forall a \in \alpha : a \parallel \beta$
   dôkaz si pripraví: študent/ka
4. $\alpha \parallel \beta \;\wedge\; \beta \parallel \gamma \Rightarrow \alpha \parallel \gamma$
   dôkaz: DU

Dôkazy týchto tvrdení nájdete v práci Klenková: Stereometria. Na seminári ich budete prezentovať.

Cvičenie

1. Zostrojte pravidelný trojboký hranol $\small ABCDEF$, ktorého steny sú pravouholníky. Zadanie otvoríte Tu.
2. Určte vzájomnú polohu priamky a s pravidelným šesťbokým hranolom $\small H* = ABCDEA'...$ , ktorého výška je zhodná s hlavnou uhlopriečkou podstavy. V prípade existencie prieniku zostrojte úsečku zhodnú s prienikom (pri zvolenej dĺžke podstavnej hrany telesa). Hranol Tu
   [ $\small a=\overleftrightarrow{MN}, ( SCM ) = 2$ ($\small S$ je stred podstavy $\small AB...F$), $\small ( E'F'N) = 2$]
3. Daná je kocka $\small ABCDEFGH$, kde $\small A(0,0,0);B(3,0,0)$. Ďalej sú dané stredy hrán hornej podstavy $\small S_{EF},S_{FG},S_{GH},S_{EH}$, stred hrany $\small CG: S_{CG}$ a body $\small P_{1/3}: (EHP_{1/3})=-2;  Q_{1/3}: (HDQ_{1/3})=-2$.
   a) Určte vzájomnú polohu
   • $\small \overleftrightarrow{ CS_{FG}}\text{ a }\overleftrightarrow{ P_{1/3}Q_{1/3}}$
   • $\small \overleftrightarrow{ S_{EF}S_{FG}}\text{ a }\overleftrightarrow{ CQ_{1/3}}$
   • $\small \overleftrightarrow{ S_{FG}B}\text{ a }\overleftrightarrow{ECA}$
   • $\small \overleftrightarrow{ S_{EH}S_{FG}}\text{ a }\overleftrightarrow{ HBA}$
   • $\small \overleftrightarrow{ EAG}\text{ a }\overleftrightarrow{ S_{EH}S_{FG}B}$
   • $\small \overleftrightarrow{ S_{GH}S_{FG}}\text{ a }\overleftrightarrow{ECA}$
   b) Pomocou vrcholov zapíšte 3 rôzne roviny kolmé na $\small \overleftrightarrow{BEC}$. Zadanie Tu.
4. Konštrukčne i výpočtom určite vzdialenosť stredu steny $\small BCC'B'$ kocky $\small ABCDA'B'C'D'$ od roviny $\small ACC'A'$. Kocku si otvorte vo VRP si otvoríte Tu. Kocku v 3D si otvorte Tu.
   
5. Daný je kváder $\small ABCDA'B'C'D'$. Zostrojte rez kvádra s rovinou $\alpha=\small \overleftrightarrow{KLM}$ a útvar zhodný s rezovým $n$-uholníkom, ak: $\small \mu(AA'K)=\mu( ABL)=-3; \; \mu(CC'M)=-1; \;|AB|= 4; \; |BC|=3; \; |AA'|=5$. Kváder vo VRP Tu. Urobte riešenie aj v 3D, najskôr si taký kváder vytvorte.  
6. Daný je rovnobežnosten $\small ABCDA'B'C'D'$. Zostrojte priesečník priamky $a= \overleftrightarrow{A'C}$ s rovinou $\alpha=\small \overleftrightarrow{AB'D'}$. Určte deliaci pomer $\small \mu( A'CR); \; R$ $=a \cap \alpha$. Zadanie - rovnobežnosten Tu.
7. Daný je pravidelný šesťboký ihlan $\small ABCDEFV$. Určte uhol priamok $a, b$, ak $b =\small \overleftrightarrow{CD}, a = \small \overleftrightarrow{PS}$ pre $\small \mu (BEP) = -\frac{1}{3}, \mu (VES) = -1$. Zadanie - šesťboký ihlan Tu
8. Určite vzájomnú polohu priamky a s pravidelným šesťbokým hranolom $\small H=ABCDEFA'B'... F'$, ktorého výška je zhodná s hlavnou uhlopriečkou podstavy. V prípade existencie prieniku (úsečka $\small XY$ zostrojte úsečku zhodnú s prienikom (pri zvolenej dĺžke podstavnej hrany telesa). $a=\small \overleftrightarrow{MN}; \; \mu(SCM)=2; \;\mu(ABS)=-1; \;\mu(E'F'N)=2$ .
9. DU. Konštrukčne i výpočtom určite vzdialenosť vrcholu $\small C$ kocky od roviny $\small BDC'$. Dĺžku hrany kocky si zvoľte ľubovoľne.
10. DU. Daný je kváder $\small ABCDA'B'C'D'$. Zostrojte rez kvádra s rovinou $\alpha=\small \overleftrightarrow{KLM}$ a útvar zhodný s rezovým $n$-uholníkom, ak: $\small \mu(AA'K)=\mu( ABL)=-3; \; \mu(CC'M)=-1; \;|AB|= 4; \; |BC|=3; \; |AA'|=5$. Kváder Tu.
11. Klenková - Stereometria, Cvičenia 1 až 15, Str. 38 až 40.; príklady 4.5 až 4.8, Str. 61 až 63; Cvičenia na str. 64