Euklidovský priestor
Portál: | Virtuálna Univerzita Mateja Bela |
Kurz: | Planimetria a stereometria |
Kniha: | Euklidovský priestor |
Vytlačil(a): | Hosťovský používateľ |
Dátum: | streda, 3 júla 2024, 11:34 |
Historické poznámky
Trojrozmerný euklidovský priestor
je systém troch množín
- bodov, priamok a rovín, ktoré spĺňajú axiómy incidencie, usporiadania, zhodnosti, rovnobežnosti a spojitosti.
![E_3 E_3](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/737dc01ad47f556a7b2e2a2afbfba230.png)
![\mathscr{B},\mathscr{P},\mathscr{R} \mathscr{B},\mathscr{P},\mathscr{R}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1f79f332e5d7283cb6c52cfc5a71c3a4.png)
Stereometria sa zaoberá priestorovými problémami (stereometria, grécky stereos značí pevný, tuhý – metrein merať).
Platón skúmal pravidelné telesá, ktoré nazývame ešte aj dnes platónskymi telesami. Viac o Platónskych telesách nájdete Tu.
Euklides sa zapodieval stereometriou a poznal takmer všetky vety, ktoré sú v našej školskej stereometrii.
Platón skúmal pravidelné telesá, ktoré nazývame ešte aj dnes platónskymi telesami. Viac o Platónskych telesách nájdete Tu.
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/293118/mod_book/chapter/4617/PlatonskeTeleesa.png)
Euklides sa zapodieval stereometriou a poznal takmer všetky vety, ktoré sú v našej školskej stereometrii.
- Babylončania vedeli počítať objemy pevnostných násypov s lichobežníkovým prierezom.
- Egypt vyvinul určitý druh náuky na zisťovanie objemov sýpok, ktoré mali obyčajne tvar kvádra.
- Grécky filozof Demokritos (5. stor. pred n. l.) prvý zistil, že objem ihlana sa rovná jednej tretine objemu hranola.
- Povrch a objem gule vypočítal Archimedes (3 stor. pred n. l.).
Stereometria
Stereometria sa nazýva geometria založená na axiómach, základných definíciách a na vybudovanej planimetrii. Uvádzame len niektoré axiómy a definície.
Axiómy incidencie v rovine
I1: Dvoma rôznymi bodmi
prechádza práve jedna priamka.
I2: Každá priamka obsahuje aspoň dva rôzne body.
I3: Existuje aspoň jedna trojica navzájom rôznych nekolineárnych bodov.
Axiómy incidencie v priestore
I4: Tromi nekolineárnymi bodmi
prechádza práve jedna rovina. Kocka Tu
I5: V každej rovine existujú aspoň tri nekolineárne body.
I6: Ak dva rôzne body
priamky
ležia v rovine
, potom každý bod priamky
leží v rovine
.
I7: Ak dve roviny
majú spoločný bod
, potom majú spoločný ešte aspoň jeden bod
, rôzny od
.
I8: Existuje aspoň jedna štvorica nekomplanárnych bodov
.
I1: Dvoma rôznymi bodmi
![A, B A, B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/72f3a84b55c4b9374aedd136d7fc7d3d.png)
I2: Každá priamka obsahuje aspoň dva rôzne body.
I3: Existuje aspoň jedna trojica navzájom rôznych nekolineárnych bodov.
Axiómy incidencie v priestore
I4: Tromi nekolineárnymi bodmi
![A, B,C A, B,C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3558946983ed287fd4a3b820ed740c35.png)
I5: V každej rovine existujú aspoň tri nekolineárne body.
I6: Ak dva rôzne body
![A, B A, B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/72f3a84b55c4b9374aedd136d7fc7d3d.png)
![p p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/74d37d601e20578216a4981034dde4bc.png)
![\alpha \alpha](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a86a9f423465d727dd59fa89ba9cb8a5.png)
![p p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/74d37d601e20578216a4981034dde4bc.png)
![\alpha \alpha](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a86a9f423465d727dd59fa89ba9cb8a5.png)
I7: Ak dve roviny
![\alpha, \beta \alpha, \beta](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/129040bc966cff8a092e84ff7b47a9e3.png)
![A A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/951196ca354c5c72b8356494f97c3b5d.png)
![B B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/73bc9851270421c3a7e7dd37621d0dda.png)
![A A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/951196ca354c5c72b8356494f97c3b5d.png)
I8: Existuje aspoň jedna štvorica nekomplanárnych bodov
![A, B,C,D A, B,C,D](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/fce6b392e79cf98fe5886e21331a484b.png)
Definície
- vzájomná poloha dvoch priamok
- Dve priamky, ktoré ležia v jednej rovine a nemajú spoločný bod, sa nazývajú rovnobežné priamky alebo rovnobežky.
- Rôznobežky sú dve priamky, ktoré majú spoločný práve jeden bod. Spoločný bod sa nazýva priesečník priamok.
- Dve priamky, ktoré neležia v žiadnej rovine, sa nazývajú mimobežné priamky alebo mimobežky.
Poznámky.
- Množina bodov sa nazýva kolineárna, ak je incidentná s nejakou priamkou. Množina bodov sa nazýva komplanárna, ak je incidentná s nejakou rovinou.
- Ak každý bod priamky
leží v danej rovine
, hovoríme, že priamka
leží v rovine
[je incidentná s rovinou
]; hovoríme tiež, že rovina α prechádza priamkou
.
- Existencia mimobežných priamok je zaručená axiómou I8.
- Ak štvorica bodov
je nekomplanárna, tak dvojice priamok
sú mimobežné. Ukážka Tu
Doporučená literatúra
. - Sklenáriková, Z. – Čižmár, J.: Elementárna geometria euklidovskej roviny. Skriptum, vyd. UK, Bratislava 2002, ISBN 80-223-1585-0
- Klenková, P.: Stereometria – elementárna geometria trojrozmerného euklidovského priestoru, Diplomová práca, UK FMFI Bratislava 2006. Dostupné Tu
Rovnobežnosť útvarov
Definície - rovnobežnosť
- Priamky
sú navzájom rovnobežné práve vtedy, ak
alebo existuje rovina, v ktorej obe priamky ležia a nemajú žiaden spoločný bod.
- Priamka
je rovnobežná s rovinou
práve vtedy, ak priamka
leží v rovine α alebo s ňou nemá žiaden spoločný bod.
- Dve roviny
sú navzájom rovnobežné práve vtedy, ak: alebo α = β alebo tieto roviny nemajú žiaden spoločný bod.
Poznámky
- Dve priamky sú rovnobežné, alebo rôznobežné, alebo mimobežné.
- Priamka je s rovinou rovnobežná, alebo rôznobežná.
- Dve roviny sú rovnobežné, alebo rôznobežné.
Kritérium rovnobežnosti priamky a roviny
Priamka
je rovnobežná s rovinou
práve vtedy, ak je rovnobežná s aspoň jednou priamkou
roviny
(
). Symbolicky
.
Priamka
![a a](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e49736f09a17efd3daec360132426f43.png)
![\alpha \alpha](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a86a9f423465d727dd59fa89ba9cb8a5.png)
![a' a'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3ef8258596705bf9b411274f2b6cb6c8.png)
![\alpha \alpha](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a86a9f423465d727dd59fa89ba9cb8a5.png)
![a' \subset \alpha a' \subset \alpha](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/28e2f985fb5608029d6bff616b709658.png)
![a \parallel \alpha\; \Leftrightarrow\; \exists a' \subset \alpha:\; a' \parallel a a \parallel \alpha\; \Leftrightarrow\; \exists a' \subset \alpha:\; a' \parallel a](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ed64ca375038e115b411c4aa8f62a1f9.png)
Dôkaz
- pri dokazovaní využijeme dichotomický princíp vzhľadom na prienik priamky
a roviny
![a a](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e49736f09a17efd3daec360132426f43.png)
![\alpha \alpha](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a86a9f423465d727dd59fa89ba9cb8a5.png)
- Nutná podmienka (dôkaz implikácie):
. V zmysle definície rovnobežnosti priamky a roviny, môžu nastať dva prípady:
.
:
Nechje bod ľubovoľný bod. Keďže
, tak existuje práve jedna rovina
a priesečnica
,
pričom bude. V opačnom prípade by existoval bod
, ktorý by bol spoločným bodom priamky
a roviny
.
To je spor s predpokladom. Záver:
.
Otvorte si applet Tu
- postačujúca podmienka -
. Môžu nastať dva prípady pre vzájomnú polohu priamok
:
Dôkazy týchto tvrdení nájdete v práci Klenková: Stereometria. Na cvičení ich budete prezentovať.
Kritérium rovnobežnosti dvoch rovín
Dve roviny
sú rovnobežné práve vtedy, ak jedna z nich obsahuje dve rôznobežky
, ktoré sú rovnobežné s druhou rovinou
. Symbolicky
.
Dve roviny
![\alpha, \beta \alpha, \beta](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/129040bc966cff8a092e84ff7b47a9e3.png)
![a,b \in \alpha a,b \in \alpha](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1f8e2cc47bff7f58342470163bb76a36.png)
![a \parallel \beta \wedge b \parallel \beta a \parallel \beta \wedge b \parallel \beta](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3fbf72b455602b24480893ce515d8820.png)
![(\alpha \parallel \beta) \; \Leftrightarrow\; (\exists a,b \subset \alpha \; \wedge \; \exists a',b' \subset \beta: \; a\parallel a' \; \wedge \; b \parallel b') (\alpha \parallel \beta) \; \Leftrightarrow\; (\exists a,b \subset \alpha \; \wedge \; \exists a',b' \subset \beta: \; a\parallel a' \; \wedge \; b \parallel b')](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ff1669fa5147547c4c90a3959151707f.png)
Dôkaz
- Nutná podmienka -
. Môžu nastať dva prípady:
.
: Potom existujú rôznobežky
, pre ktoré platí
. Ak by tieto prieniky neboli prázdne množiny, tak by aj
, čo je spor s predpokladom.
. Otvorte si applet Tu
- postačujúca podmienka -
. Teoreticky môžu nastať tri prípady:
- ak
, tak z definície
;
- ak
, tak z definície
;
- prípad
nemôže nastať. Ak by nastal bol by v spore s existenciou dvojíc priamok:
. Dokážeme to nepriamo:
Nech existujú rôznobežky
s požadovanou vlastnosťoua nech roviny
majú spoločnú priamku
:
.
Táto priamkapretína aspoň jednu rôznobežku
(môže byť rovnobežná najviac s jednou z nich). Nech je to priamka
. Označme
. To ale znamená, že bod
by ležal v rovine
a zároveň v rovine
, lebo
. To je spor s predpokladom
, keďže
.
- ak
... ...
Vzájomná poloha rovín
Dohovor
Ak sa medzi skúmanou trojicou rovín
vyskytne dvojica rovín navzájom rovnobežných, tak bez ujmy na obecnosti ju označíme
(lexikografický prístup).
To neznamená, že dvojicou rovnobežných rovín nemôže byť dvojica
alebo
.
Ak sa medzi skúmanou trojicou rovín
![\alpha, \beta, \gamma \alpha, \beta, \gamma](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/339fe5f8fa3d98ed8ff0791b2b1a5a24.png)
![( \alpha, \beta) ( \alpha, \beta)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9d0ba467558d5897d3fe56b4731b99ed.png)
To neznamená, že dvojicou rovnobežných rovín nemôže byť dvojica
![( \alpha, \gamma ) ( \alpha, \gamma )](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5760858bc6e9a4eddf3d73fb65dc2d7d.png)
![( \beta, \gamma ) ( \beta, \gamma )](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/58aebb327ffa168a149f760ac8486226.png)
Klasifikácia vzájomnej polohy troch rovín
-
Nech platí
. Pre rovinu
potom platí: alebo
alebo
- Uvažujme o rovinách
, pre ktoré
,
. Obrázok vľavo. Z tranzitívnosti relácie rovnobežnosti rovín vyplýva záver:
je trojica navzájom rôznych rovnobežných rovín.
- Nech platí:
∧
. Dôsledkom je rôznobežnosť rovín
(v opačnom prípade by boli všetky tri roviny navzájom rovnobežné, čo je spor s predpokladom). Je zrejmé, že priesečnice dvojíc rovín
sú navzájom rovnobežné priamky. (Odôvodnite.) Záver: Roviny
sú navzájom rovnobežné a rovina
ich pretína v dvoch navzájom rovnobežných priamkach
. Obr. vpravo.
- Nech platí:
. Skúmajme vzájomnú polohu priamky
s rovinou
. Môže nastať práve jeden z prípadov: (
alebo
alebo
.
Tvrdenie. Existuje päť vzájomných polôh troch navzájom rôznych rovín:
- všetky tri roviny sú navzájom rovnobežné
- dve rovnobežné roviny pretína tretia v navzájom rovnobežných priamkach
- všetky tri roviny majú spoločnú práve jednu priamku (os zväzku rovín)
- všetky tri roviny majú spoločný práve jeden bod
- všetky dvojice rovín sú navzájom rôznobežné roviny a ich priesečnice sú navzájom rôzne rovnobežné priamky.
______________________________________________________________
Obrázky sú prevzaté z publikácie
Klenková, P.: Stereometria – elementárna geometria trojrozmerného euklidovského priestoru, Diplomová práca, UK FMFI, Bratislava 2006
Obrázky sú prevzaté z publikácie
Klenková, P.: Stereometria – elementárna geometria trojrozmerného euklidovského priestoru, Diplomová práca, UK FMFI, Bratislava 2006
... ...
Metrické vzťahy
Medzi základné metrické pojmy zaraďujeme
- uhol - dvoch priamok, priamky a roviny a dvojice rovín.
- kolmosť - dvoch priamok, kolmosť priamky a roviny a kolmosť dvojice rovín, kritériá kolmosti
- vzdialenosť- dvoch geometrických útvarov.
Definícia
Uhol mimobežných priamok
je uhol zhodný s uhlom ľubovoľných dvoch rôznobežiek
, pričom
.
Otvorte si zadanie Tu ...
V applete posúvaním bodov
vytvorte takú polohu mimobežiek, aby boli na seba kolmé.
Uhol mimobežných priamok
![a, b a, b](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4e676f0670583528cb3211008b7fb1d4.png)
![a', b' a', b'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7d3dba98bfb63f1836049514ce781a8b.png)
![a \parallel a', b \parallel b' a \parallel a', b \parallel b'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/32ff39e2f092f6fcf3e7132940035c0e.png)
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/293118/mod_book/chapter/5663/Sn%C3%ADmka124710%20%282%29.png)
V applete posúvaním bodov
![\small R,S \small R,S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/dbde8dedbfa47b5838840dcb39442508.png)
Aby bola definícia korektná, dokážeme najprv nezávislosť takto definovaného uhla od výberu dvojice
rôznobežiek
.
![a', b' a', b'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7d3dba98bfb63f1836049514ce781a8b.png)
Tvrdenie
Nech
sú dve ľubovoľné mimobežky a nech
sú dva body
. Zostrojme priamky
a
tak,
aby
a
a zároveň
. Potom platí:
.
Nech
![a, b a, b](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4e676f0670583528cb3211008b7fb1d4.png)
![\small M',M'' \small M',M''](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a592eb28b8daf9cf6955559b38c83aee.png)
![\small E_3 \small E_3](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c28027cbf4e754833940fb34f1443a28.png)
![a', b' a', b'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7d3dba98bfb63f1836049514ce781a8b.png)
![a'', b'' a'', b''](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b8e42815b8076292d2e73108a06d29ae.png)
![\small M' \small M'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1d9884a183509679bcafde7538904f09.png)
![\in a' \cap b' \in a' \cap b'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f65c2edd8b7d804ce9004a098f1920bc.png)
![\small M'' \small M''](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b3d18c89535bbdcf1a5caf48c2cd9dd4.png)
![\in a'' \cap b'' \in a'' \cap b''](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6ba31d35ddedefb404cca0014dfbb9f5.png)
![a' \parallel a'', b' \parallel b'' a' \parallel a'', b' \parallel b''](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d22e35d044332ee57cad47aa88b6a162.png)
![\angle a'b'=\angle a''b'' \angle a'b'=\angle a''b''](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/dbca0e5714c1d291b134c90b797915b7.png)
Dôkaz
Zvoľme si dva rôzne body
incidentné s rovnomennými priamkami tak, aby
. Pozri obrázok nižšie. Ďalej zostrojme body
tak, aby útvary
boli rovnobežníky. Je zrejmé, že aj útvar
je rovnobežníkom a
trojuholníky
sú zhodné (veta sss). Preto sa zhodujú vo všetkých uhloch.
Zvoľme si dva rôzne body
![\small A',B' \small A',B'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2200894ac051c182b1d6dc7eb8cf43c1.png)
![\small A' \neq M \neq B' \small A' \neq M \neq B'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7e737510e24be6a82b7c817f42c5063b.png)
![\small A'',B'' \small A'',B''](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/92faea67a5d93c8d4f432bf0efb505d3.png)
![\small A'M'M''A'', B'M'M''B'' \small A'M'M''A'', B'M'M''B''](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0ca19b650fa1d13919947f2e546f1e69.png)
![\small A'B'B''A'' \small A'B'B''A''](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/334e97ea33a9c7924513883509f4b1e3.png)
![\small A'M'B', A''M''B'' \small A'M'B', A''M''B''](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f079e94092cef8c0b05bab143e448477.png)
Definícia
- Uhlom priamok
nazývame uhol ľubovoľných dvoch nedisjunktných priamok
, pre ktoré platí:
. Uhol dvoch rovnobežiek nazývame nulovým uhlom.
Otvorte si applet Tu
- Kolmé priamky nazývame také priamky, ktorých uhol je pravý.
- Priamka kolmá na rovinu [hovoríme aj kolmica na rovinu] je priamka kolmá na všetky priamky roviny.
Dôsledok
- Priamka kolmá na rovinu je s touto rovinou rôznobežná.
- Priamka kolmá na dve rôznobežky danej roviny je s touto rovinou rôznobežná.
________________________________________________________________
1) Euklidove Základy, Kniha 1,Tvrdenie XI a XII.
1) Euklidove Základy, Kniha 1,Tvrdenie XI a XII.
...
Kritérium kolmosti
Tvrdenie - kritérium kolmosti priamky a roviny.
Priamka je kolmá na rovinu práve vtedy, keď je kolmá na dve rôznobežné priamky tejto roviny.
Priamka je kolmá na rovinu práve vtedy, keď je kolmá na dve rôznobežné priamky tejto roviny.
Dôkaz
- Nutnosť (
). Predpokladajme, že
. Z kolmosti priamky
na všetky priamky roviny (definícia) vyplýva jej kolmosť na ľubovoľné dve jej rôznobežky.
- Dostatočnosť
). Nech priamka
. Treba dokázať, že priamka k je kolmá na všetky priamky danej roviny. Zvoľme si ľubovoľnú priamku
.
Podľa predchádzajúceho dôsledku je priamkas rovinou
rôznobežná. Označme
ich spoločný bod a zostrojme priamky
prechádzajúce týmto bodom a rovnobežné s priamkami
. Stačí dokázať:
(prečo? vysvetlite).
Otvorte si applet Tu
Zvoľme si ľubovoľné bodyležiace na rovnomenných priamkach tak, aby priamka
. Označme
. Ďalej nech sú
ľubovoľné dva body, pre ktoré je bod
je stredom úsečky
.
Potom platí:a
(sus)
odkiaľ dostávame zhodnosť úsečiekresp.
. Preto platí
(sss)
.
Dôsledkom je zhodnosť trojuholníkov(sus), teda i zhodnosť úsečiek
.
Preto(sss), čo znamená, že sú zhodné i uhly v týchto trojuholníkoch pri vrchole
. Pretože ide o susedné uhly, sú oba uhly pravé, t.j. priamka
je kolmá na priamku
.
Poznámky.
- Kolmosť dvoch priamok je relácia symetrická ale nie je reflexívna ani tranzitívna.
- Kritérium kolmosti priamky a roviny vyjadruje nevyhnutnú a dostačujúcu podmienku kolmosti priamky a roviny, ale nehovorí nič o existencii takejto priamky. Existencia priamky kolmej na rovinu je dôsledkom nasledujúceho nasledujúcom tvrdenia.
- Namiesto vyjadrenia „priamka je kolmá na rovinu“ budeme tiež používať vyjadrenie „rovina je kolmá na priamku“. Analogicky ako v a) budeme hovoriť, že priamka a rovina sú navzájom kolmé.
Tvrdenie - existencia priamky kolmej na rovinu.
Existuje práve jedna priamka prechádzajúca daným bodom M a kolmá na danú rovinu α .
Existuje práve jedna priamka prechádzajúca daným bodom M a kolmá na danú rovinu α .
Dôkaz
- Existencia priamky kolmej na na priamku vyplýva z Euklidových tvrdení T/XI a T/XII zo Základov, Kniha 1. Existencia kolmice na rovinu sa dá zdôvodniť z týchto tvrdení a konštrukcie uvedenej v nasledujúcom applete.
Applet Tu
- Jednoznačnosť takej kolmice dokážeme nepriamo s vyžitím obrázka
Ak by existovali dve navzájom rôzne priamkypožadovanej vlastnosti, tak by ich priesečníky
s rovinou
boli navzájom rôzne body a trojuholník
by bol trojuholníkom s dvoma pravými uhlami, čo je spor s vetou o súčte vnútorných uhlov v trojuholníku euklidovskej roviny.
Tvrdenie - existencia roviny kolmej na priamku.
Existuje práve jedna rovina prechádzajúca daným bodom M a kolmá na danú priamku m.
Existuje práve jedna rovina prechádzajúca daným bodom M a kolmá na danú priamku m.
Dôkaz - analogický (konštrukčný) ako v predchádzajúcom tvrdení
Dôsledok
Dve roviny kolmé na tú istú priamku sú navzájom rovnobežné.
Dve roviny kolmé na tú istú priamku sú navzájom rovnobežné.
...
Vzdialenosť útvarov
Nech
je kolmica na rovinu
.
Priesečník
kolmice s danou rovinou nazveme päta kolmice.
Ak
, tak na základe vlastnosti pravouhlého trojuholníka
platí: prepona je väčšia ako odvesna, symbolicky
.
To nám umožňuje zaviesť nasledujúcu definíciu vzdialenosti bodu od roviny.
![k k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/365c0b3ff8a6fa58b7ae709949b55608.png)
![\alpha \alpha](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a86a9f423465d727dd59fa89ba9cb8a5.png)
![\small R \small R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/47ed1de59ac22c0f2140731e19b5db1b.png)
Ak
![\small M \neq R \small M \neq R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/960f700d187409764c5dfbfc25fcb871.png)
![\small MRP \small MRP](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e2c1f94347c6a17a6f0ec9db2e02e50a.png)
![\small \forall P \small \forall P](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3664912d306c990449a5ccc28bf78a8f.png)
![\in \alpha:\; \small MP > MR \in \alpha:\; \small MP > MR](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c85c0d16bd059b1cccb8d2f16249e9cc.png)
To nám umožňuje zaviesť nasledujúcu definíciu vzdialenosti bodu od roviny.
Definícia.
-
Vzdialenosť bodu
od roviny
je dĺžka úsečky
, kde bod
je päta kolmice z bodu
na rovinu
.
-
Pod vzdialenosťou dvoch geometrických útvarov
sa rozumie najmenšia z úsečiek
(alebo dĺžka tejto úsečky) pre
.
- Vzdialenosťou dvoch rovnobežných rovín nazývame vzdialenosť ľubovoľného bodu jednej z rovín od druhej roviny.
Dôsledky.
Cvičenie - vzdialenosť bodov. Pozrite si prácu "Sbírka úloh STEREOMETRIE" Tu.
- V kocke
určte konštrukčne i výpočtom vzdialenosť vzdialenosť bodov
, kde
je stred ľavej bočnej steny
.
- V kvádre
s dĺžkami hrán
,
,
vypočítajte vzdialenosť bodov
, kde
. Zostrojte si najskôr hranol v GeoGebre 3D. zadanie Tu
Cvičenie - vzdialenosť bodu od priamky.
- V kocke
určte konštrukčne i výpočtom vzdialenosť vzdialenosť bodu
od priamky
resp.
.
- V pravidelnom štvorbokom ihlane
vypočítajte vzdialenosť bodu
od priamky
.
- V kvádre
s dĺžkami hrán
,
,
vypočítajte vzdialenosť bodu
od telesovej uhlopriečky
.
- Daný je pravidelný štvorsten
o hrane dĺžky
, označte
ťažisko steny
. Určte vzdialenosť všetkých jeho vrcholov od polpriamky
.
Cvičenie - vzdialenosť bodu od roviny.
- V kocke
určte konštrukčne i výpočtom vzdialenosť vrcholu
od roviny
.
- Vypočítajte výšku pravidelného štvorstenu
s dĺžkou hrany
.
- V pravidelnom štvorbokom ihlane
vypočítajte vzdialenosť stredu postavy od roviny jeho pobočnej steny, ak je dané
|.
- Daný je pravidelný štvorsten
o hrane dĺžky
, označte
ťažisko steny
. Určte vzdialenosti
.
Popis konštrukcie a výpočet pre (i):
Vzdialenosť bodu
od roviny
sa rovná dĺžke úsečky
, kde
je
päta kolmice z bodu
na rovinu
.
Keďže telesová uhlopriečka kocky je kolmá na všetky jej stenové uhlopriečky, s ktorými nie je rôznobežná (dokážte to), tak priamka prechádzajúca bodom
a kolmá na rovinu
je telesová uhlopriečka
.
Riešenie Tu. Vyriešte konštrukčne - zadanie Tu.
Zrejme päta
kolmice
na rovinu
(rovnostranný trojuholník) je ortocentrom a zároveň ťažiskom trojuholníka
.
Ďalej platí
. Odkiaľ vyplýva:
.
Vzdialenosť bodu
![\small A' \small A'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/049677c3690889adff8ece879546ec4b.png)
![\alpha =\small AB'D' \alpha =\small AB'D'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e38a6ef5f3ce7ea1d9e8dd604b22c558.png)
![\small A'R \small A'R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2ac06ea304555543a292eda0e8013613.png)
![\small R \small R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d91beb68c85424ddf3bcf2089daa96d1.png)
![\small A' \small A'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/049677c3690889adff8ece879546ec4b.png)
![\alpha \alpha](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a86a9f423465d727dd59fa89ba9cb8a5.png)
Keďže telesová uhlopriečka kocky je kolmá na všetky jej stenové uhlopriečky, s ktorými nie je rôznobežná (dokážte to), tak priamka prechádzajúca bodom
![\small A' \small A'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/049677c3690889adff8ece879546ec4b.png)
![\alpha \alpha](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a86a9f423465d727dd59fa89ba9cb8a5.png)
![\small A'C \small A'C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8b2b917bc2a3409cc2b8c27692c0e363.png)
Zrejme päta
![\small R \small R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/47ed1de59ac22c0f2140731e19b5db1b.png)
![\small A'C \small A'C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8b2b917bc2a3409cc2b8c27692c0e363.png)
![\small AB'D' \small AB'D'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e6523c5e9714747b6640e866d1ae2491.png)
![\small \triangle AB'D' \small \triangle AB'D'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ca4aa203a77cde823d997f02692b8e28.png)
![\small \mu( A'CR ) \small \mu( A'CR )](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/567080a69905804c21cfe7c6290fb66c.png)
![= - \frac{1}{2} = - \frac{1}{2}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8c6f8b674d265f541d15a9e1e6b9f4a1.png)
![d(\small A d(\small A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/14fd8d0da86371c5d47592eca793b7ab.png)
![, \alpha)=\small |A'R|=\frac{{1} }{3}|A'C| , \alpha)=\small |A'R|=\frac{{1} }{3}|A'C|](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a0fcb4bf07e3aa86fa891b0f47d950f1.png)
![= \frac{a \sqrt[]{3} }{3} = \frac{a \sqrt[]{3} }{3}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/fd40495dba0c8fdd2d829e858680c03b.png)
Uhol útvarov
Uhol dvoch priamok sme definovali ako uhol dvoch ľubovoľných nedisjunktných priamok rovnobežných s danými priamkami.
Pri uhla priamky a rovinou budeme potrebovať pojem kolmého priemetu priamky do roviny.
Nech
je priamka, ktorá nie je kolmá na danú rovinu
. Nech
je rovina kolmá na danú rovinu
, ktorá prechádza
priamkou
. Rovinu
budeme nazývať kolmo premietajúca rovina priamky
.
Priesečnicu
nazveme kolmý priemet priamky do roviny.
Nech
![a a](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e49736f09a17efd3daec360132426f43.png)
![\alpha \alpha](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a86a9f423465d727dd59fa89ba9cb8a5.png)
![\lambda \lambda](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c4cb48c4930d87cb162248941da75e0f.png)
![\alpha \alpha](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9845198045ec71aa8304372c28b24630.png)
![a\; ( a \subset \lambda) a\; ( a \subset \lambda)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0d6b6972fef20ca7890c8663cc107084.png)
![\lambda \lambda](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c4cb48c4930d87cb162248941da75e0f.png)
![a a](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e49736f09a17efd3daec360132426f43.png)
![a_1=a\cap \lambda a_1=a\cap \lambda](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d13480715a5a7f9e1751b4f25350ea91.png)
Definície
Poznámky
- Uhol dvoch rovnobežných rovín nazývame nulový uhol.
- O rovinách, ktorých uhol je zhodný s pravým uhlom hovoríme, že sú navzájom kolmé.
Tvrdenie
Uhol priamky s rovinou je zhodný s doplnkovým uhlom k uhlu priamky s kolmicou na túto rovinu.
Dôsledok
Uhol dvoch rovín je zhodný s uhlom priamok kolmých na tieto roviny.
Obr. prevzatý z práce Klenková P., Stereometria, 2006
Uhol dvoch rovín je zhodný s uhlom priamok kolmých na tieto roviny.
Obr. prevzatý z práce Klenková P., Stereometria, 2006
Tvrdenie - kritérium kolmosti rovín
Dve roviny sú na seba kolmé práve vtedy, ak jedna z rovín obsahuje priamku kolmú na druhú rovinu.
(Takúto priamku obsahuje prirodzene každá z rovín na seba kolmých. Stačí, ak jedna z rovín je rovnobežná s priamkou kolmou na zvyšnú rovinu.)
Dve roviny sú na seba kolmé práve vtedy, ak jedna z rovín obsahuje priamku kolmú na druhú rovinu.
(Takúto priamku obsahuje prirodzene každá z rovín na seba kolmých. Stačí, ak jedna z rovín je rovnobežná s priamkou kolmou na zvyšnú rovinu.)
...
Objemy a povrchy telies
Definícia.
Poznámka.
Podrobný komentár k jednotlivým symbolom nájdete na stránke "Calculator" Tu.
Podrobný komentár k jednotlivým symbolom nájdete na stránke "Calculator" Tu.
Cvičenie.
Určte objem rotačného telesa, ktoré vznikne otáčaním
Určte objem rotačného telesa, ktoré vznikne otáčaním
Seminárne zadania
Dokážte tvrdenia
dôkaz Tu
dôkaz si pripraví: študent/ka
dôkaz si pripraví: študent/ka-
dôkaz: DU
Dôkazy týchto tvrdení nájdete v práci
Klenková: Stereometria.
Na seminári ich budete prezentovať.
Cvičenie
-
Zostrojte pravidelný trojboký hranol
, ktorého steny sú pravouholníky. Zadanie otvoríte Tu.
- Určte vzájomnú polohu priamky a s pravidelným šesťbokým hranolom
, ktorého výška je zhodná s hlavnou uhlopriečkou podstavy. V prípade existencie prieniku zostrojte úsečku zhodnú s prienikom (pri zvolenej dĺžke podstavnej hrany telesa). Hranol Tu
[(
je stred podstavy
),
]
- Daná je kocka
, kde
. Ďalej sú dané stredy hrán hornej podstavy
, stred hrany
a body
.
a) Určte vzájomnú polohu b) Pomocou vrcholov zapíšte 3 rôzne roviny kolmé na. Zadanie Tu.
- Konštrukčne i výpočtom určite vzdialenosť stredu steny
kocky
od roviny
. Kocku si otvorte vo VRP si otvoríte Tu. Kocku v 3D si otvorte Tu.
-
Daný je kváder
. Zostrojte rez kvádra s rovinou
a útvar zhodný s rezovým
-uholníkom, ak:
. Kváder vo VRP Tu. Urobte riešenie aj v 3D, najskôr si taký kváder vytvorte.
-
Daný je rovnobežnosten
. Zostrojte priesečník priamky
s rovinou
. Určte deliaci pomer
. Zadanie - rovnobežnosten Tu.
-
Daný je pravidelný šesťboký ihlan
. Určte uhol priamok
, ak
pre
. Zadanie - šesťboký ihlan Tu
-
Určite vzájomnú polohu priamky a s pravidelným šesťbokým hranolom
, ktorého výška je zhodná s hlavnou uhlopriečkou podstavy. V prípade existencie prieniku (úsečka
zostrojte úsečku zhodnú s prienikom (pri zvolenej dĺžke podstavnej hrany telesa).
.
- DU. Konštrukčne i výpočtom určite vzdialenosť vrcholu
kocky od roviny
. Dĺžku hrany kocky si zvoľte ľubovoľne.
- DU. Daný je kváder
. Zostrojte rez kvádra s rovinou
a útvar zhodný s rezovým
-uholníkom, ak:
. Kváder Tu.
- Klenková - Stereometria, Cvičenia 1 až 15, Str. 38 až 40.; príklady 4.5 až 4.8, Str. 61 až 63; Cvičenia na str. 64