Planimetria a stereometria

Tvrdenie - kritérium kolmosti priamky a roviny.
Priamka je kolmá na rovinu práve vtedy, keď je kolmá na dve rôznobežné priamky tejto roviny.  

Dôkaz

1. Nutnosť ($\Rightarrow$). Predpokladajme, že $k \bot \alpha$. Z kolmosti priamky $k$ na všetky priamky roviny (definícia) vyplýva jej kolmosť na ľubovoľné dve jej rôznobežky.
2. Dostatočnosť $\Leftarrow$). Nech priamka $k \bot a' \; \wedge \; k \bot b'; \; a', b' \subset \alpha$. Treba dokázať, že priamka k je kolmá na všetky priamky danej roviny. Zvoľme si ľubovoľnú priamku $c' \subset \alpha$.
   Podľa predchádzajúceho dôsledku je priamka $k$ s rovinou $\alpha$ rôznobežná. Označme $\small P$ ich spoločný bod a zostrojme priamky $a, b, c$ prechádzajúce týmto bodom a rovnobežné s priamkami $a', b', c'$. Stačí dokázať: $k \bot c$ (prečo? vysvetlite).
    Otvorte si applet Tu
   Zvoľme si ľubovoľné body $\small A,B$ ležiace na rovnomenných priamkach tak, aby priamka $c \cap\small AB \neq \emptyset$. Označme $c \cap\small AB=C$. Ďalej nech sú $\small P_1,P_2$ ľubovoľné dva body, pre ktoré je bod $\small P$ je stredom úsečky $\small P_1P_2$.
   Potom platí:
   $\small \triangle PAP_1 ≅ \triangle PAP_2$ a $\small \triangle PBP_1 ≅ \triangle PBP_2$ (sus)
   odkiaľ dostávame zhodnosť úsečiek $\small P_1A , P_2A$ resp. $\small  P_1B, P_2B$. Preto platí
   $\small \triangle P_1AB ≅ \triangle P_2AB$ (sss)
   $\small \angle P_1AB ≅ \angle P_2AB \Rightarrow \angle P_1AC≅ \angle P_2AC$.
   Dôsledkom je zhodnosť trojuholníkov $\small P_1AC,P_2AC$ (sus), teda i zhodnosť úsečiek
   $\small P_1C ≅ CP_2$.
   Preto $\small \triangle PCP_1 ≅ \triangle PCP_2$ (sss), čo znamená, že sú zhodné i uhly v týchto trojuholníkoch pri vrchole $\small P$. Pretože ide o susedné uhly, sú oba uhly pravé, t.j. priamka $k$ je kolmá na priamku $c$.

Poznámky.

1. Kolmosť dvoch priamok je relácia symetrická ale nie je reflexívna ani tranzitívna.
2. Kritérium kolmosti priamky a roviny vyjadruje nevyhnutnú a dostačujúcu podmienku kolmosti priamky a roviny, ale nehovorí nič o existencii takejto priamky. Existencia priamky kolmej na rovinu je dôsledkom nasledujúceho nasledujúcom tvrdenia.
3. Namiesto vyjadrenia „priamka je kolmá na rovinu“ budeme tiež používať vyjadrenie „rovina je kolmá na priamku“. Analogicky ako v a) budeme hovoriť, že priamka a rovina sú navzájom kolmé.

Tvrdenie - existencia priamky kolmej na rovinu.
Existuje práve jedna priamka prechádzajúca daným bodom M a kolmá na danú rovinu α .

Dôkaz

1. Existencia priamky kolmej na na priamku vyplýva z Euklidových tvrdení T/XI a T/XII zo Základov, Kniha 1. Existencia kolmice na rovinu sa dá zdôvodniť z týchto tvrdení a konštrukcie uvedenej v nasledujúcom applete.
    Applet Tu
2. Jednoznačnosť takej kolmice dokážeme nepriamo s vyžitím obrázka
   
   Ak by existovali dve navzájom rôzne priamky $^1 k,\; ^2 k$ požadovanej vlastnosti, tak by ich priesečníky  $\small ^1 R,\; ^2 R$ s rovinou $\alpha$ boli navzájom rôzne body a trojuholník $\small ^1 R\; ^2 RM$ by bol trojuholníkom s dvoma pravými uhlami, čo je spor s vetou o súčte vnútorných uhlov v trojuholníku euklidovskej roviny.

Tvrdenie - existencia roviny kolmej na priamku.
Existuje práve jedna rovina prechádzajúca daným bodom M a kolmá na danú priamku m.

Dôkaz - analogický (konštrukčný) ako v predchádzajúcom tvrdení

Dôsledok
Dve roviny kolmé na tú istú priamku sú navzájom rovnobežné.