Planimetria a stereometria

Definícia.

1. Objem telesa $\small T$ je kladné číslo $\small V(T)$. [Miera v priestore]
   1. Zhodné telesá majú rovnaké objemy
      $\small T_1 ≌ T_2 → V(T_1) = V(T_2)$.
   2. Objem telesa zloženého z dvoch neprenikajúcich sa telies je rovný súčtu objemu týchto telies.
      $\small T = T_1 \cup T_2 , T_1\cap T_2 \Rightarrow V(T_1 \cup T_2) = V(T_1)+V(T_2)$.
   3. Objem kocky o hrane veľkosti 1 je rovný 1.
2. Povrch telesa je obsah jeho hranice - súčet obsahov útvarov, ktoré tvoria 2-rozmernú hranicu.

Základné vzorce pre výpočet objemov a obsahov
Kocka: $\small V = a \cdot a \cdot a = a^3 \\ S = 6 \cdot a \cdot a = 6 \cdot a^2$
Kváder: $\small V = abc \\ S = 2 \cdot (ab + ac + bc)$
Válec: $\small V = \pi r^2 v \\ S = 2 \cdot \pi r (r + v)$
Kužeľ: $\small V = \frac{1}{3}\pi r^2 v \\ S = \pi r (r + s)$
Guľa: $\small V = \frac{4}{3} \pi r^3 \\ S = 4 \cdot \pi r^2$
Hranol: $\small V = S_p v \\ S = 2 \cdot S_p + S_{pl}$
Ihlan: $\small V = \frac{1}{3} S_p v \\ S = S_p + S_{pl}$

Poznámka.
Podrobný komentár k jednotlivým symbolom nájdete na stránke "Calculator" Tu.

Cvičenie.
Určte objem rotačného telesa, ktoré vznikne otáčaním

1. pravouhlého trojuholníka ololo jeho prepony,
2. rovnoramenného lichobežníka (určeného základňami $a,c$ a výškou $v$) okolo jeho osi.