Kubovčík, M.: Kužeľosečky
Študijný materiál v elektronickej podobe bol vytvorený v rámci diplomovej práce Tvorba študijných materiálov z geometrie pre budúcich učiteľov matematiky. Čitateľ v ňom nájde problematiku kvadratických geometrických útvarov (kužeľosečiek), ktoré sú skúmané syntetickou a analytickou metódou.
1. Elipsa
Majme dva rôzne body roviny
. Označne vzdialenosť týchto bodov reálnym číslo
.
Elipsa je množina všetkých bodov roviny
, ktoré majú rovnaký súčet vzdialeností
od týchto dvoch pevne zvolených bodov
a tento súčet je väčší, ako vzdialenosť týchto bodov:
![F_1, F_2 F_1, F_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6a79fe3cf32b49d14b6b0a23e93cf3f2.png)
![a \in \mathbb{R} a \in \mathbb{R}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4c83bc259c8142d2d0f3e7f3b1b5e05b.png)
Elipsa je množina všetkých bodov roviny
![\rho \rho](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d2606be4e0cd2c9a6179c8f2e3547a85.png)
od týchto dvoch pevne zvolených bodov
![F_1, F_2 F_1, F_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6a79fe3cf32b49d14b6b0a23e93cf3f2.png)
![2a > \mid F_1F_2 \mid 2a > \mid F_1F_2 \mid](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/65187894929e365ae6a0d573131d1e38.png)
![e = \{ \forall X \in \rho ; |XF_1| + |XF_2| = 2a\} e = \{ \forall X \in \rho ; |XF_1| + |XF_2| = 2a\}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a70de980e65069babf32388d1930d474.png)
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9031/elipsa.png)
Priamky prechádzajúce ľubovoľným bodom elipsy
a jej ohniskami
alebo
sa nazývajú sprievodiče bodu
.
Sprievodiče bodu
tvoria dva uhly so spoločným
vrcholom v bode
.
Vnútorným uhlom sprievodičov nazývame taký uhol, v ktorom leží stred elipsy
, vo vonkajšom uhle sprievodičov ležia hlavné vrcholy elipsy
.
![M M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png)
![F_1 F_1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bc6b0efd3bed4dfabe15757cf4089d87.png)
![F_2 F_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/adfa0c88ec236f64b0c078015d65db2b.png)
![M M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png)
Sprievodiče bodu
![M M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png)
![M M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png)
Vnútorným uhlom sprievodičov nazývame taký uhol, v ktorom leží stred elipsy
![S S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png)
![A, B A, B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3e455472f31a889a6b9ab7084cbd1798.png)
Priamka
je dotyčnicou ku elipse v dotykovom bode
práve vtedy,
keď je osou vonkajšieho uhla 𝜔 sprievodičov bodu dotyku
.
![t t](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png)
![T T](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b9ece18c950afbfa6b0fdbfa4ff731d3.png)
keď je osou vonkajšieho uhla 𝜔 sprievodičov bodu dotyku
![T T](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b9ece18c950afbfa6b0fdbfa4ff731d3.png)
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9031/doty%C4%8Dnica%20ku%20elipse.png)
Združené priemery elipsy nazývame také dva priemery elipsy, pre ktoré platí,
že dotyčnice v krajných bodoch jedného priemeru sú rovnobežné s priemerom k nemu združenému.
že dotyčnice v krajných bodoch jedného priemeru sú rovnobežné s priemerom k nemu združenému.
Riadiace kružnice elipsy
sú množiny bodov súmerných s jedným ohniskom elipsy podľa všetkých dotyčníc ku elipse,
pričom stred tejto kružnice je v druhom ohnisku a polomer kružnice je o veľkosti
:
.
![g_1, g_2 g_1, g_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2736d327efadfbd0e9d3d5fe41cfd660.png)
pričom stred tejto kružnice je v druhom ohnisku a polomer kružnice je o veľkosti
![2a 2a](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e36314e624d2b2ca257e1f1ecb381f93.png)
![𝑔_1(F_1, 2𝑎), 𝑔_2(F_2, 2𝑎) 𝑔_1(F_1, 2𝑎), 𝑔_2(F_2, 2𝑎)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bf08e8b8aafea9a4e9663f0879fa3dda.png)
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9031/riadiaca%20kru%C5%BEnica%20elipsy.png)