Planimetria - axiomatický systém
Historické poznámky
Slovo geometria pochádza z gréckeho výrazu hé gé meteón, čo znamená vymeriavanie pozemkov pomocou lán. Pozri prácu [SED]. Matematika ako veda vznikla v Grécku približne v období 6. - 5. st. pred n. l.
Základy geometrie nachádzame už v Babylone, Egypte, Indii a Číne. Veľký rozmach zaznamenala grécka matematika. K zásadnému pokroku v rozvoji
geometrie prispeli významní grécki matematici Thales, Pytagoras a Euklides.
Euklidove Základy môžeme považovať za základy planimetrie, stereometrie a geometrickej algebry. Uvedieme ukážku riešenia úlohy o výpočte obsahu rovnoramenného trojuholníka z obdobia mezopotámskej ríše. Pripomíname, že matematika tohto obdobia používala šesťdesiatkovú číselnú sústavu.
Úloha. (Babylon)
Je daný trojuholník so stranami: (1,40) dĺžka každej z dvoch strán, (2,20) šírka. Aká je plocha?
Je daný trojuholník so stranami: (1,40) dĺžka každej z dvoch strán, (2,20) šírka. Aká je plocha?
Obsah trojuholníka v Babylone podľa starobabylonskej tabuľky
YBC 8633, na ktorej je klinovým písmom vyrytý postup riešenia úlohy na výpočet obsahu rovnoramenného trojuholníka.
Poznámky
Na výpočet obsahov trojuholníkov používali mezopotámski matematici nasledovné vzorce:
Na výpočet obsahov trojuholníkov používali mezopotámski matematici nasledovné vzorce:
K rozvoju geometrie prispeli aj egytskí účenci, ktorí boli nútení po každoročných záplavách Nílu nanovo rozmeriavať pozemkové parcely. Zároveň museli ovládať aj postupy pri rozdeľovaní úrody. Z toho vznikla potreba vedieť vypočítať obsahy rôznych geometrických útvarov ako aj postupy riešenia jednoduchých rovníc. Pozrite si ukážky:
Egypt - obdobie elementárnych matematických pojmov.
Rhindov a Moskovský papyrus.
Výpočet obsahov obdĺžnikov, kruhov, trojuholníkov a objemy kvádrov, zrezaných kužeľov a pyramíd. Riešenie rovníc - pozrite si riešenie úlohy R40 z Rhindovho papyrusu.
Egypt - obdobie elementárnych matematických pojmov.
Rhindov a Moskovský papyrus.
Výpočet obsahov obdĺžnikov, kruhov, trojuholníkov a objemy kvádrov, zrezaných kužeľov a pyramíd. Riešenie rovníc - pozrite si riešenie úlohy R40 z Rhindovho papyrusu.
Úloha
Je treba rozdeliť 100 chlebov medzi 5 mužov tak, aby bola jedna sedmina z troch horných pre dvoch mužov dole.
Je treba rozdeliť 100 chlebov medzi 5 mužov tak, aby bola jedna sedmina z troch horných pre dvoch mužov dole.
Poznámky k pôvodnému riešeniu, ktorý je uvedený na papyruse. Pozrite tiež prácu [BEC, 2003]
Podmienku, že jedna sedmina z troch horných pre dvoch mužov dole, môžeme vyjadriť vzťahom:
Z predchádzajúceho vzťahu vypočítame
Ide teda o postupnosť
,
ktorej súčet je
. Číslo
musíme vynásobiť číslom
,
aby sme získali požadovaný súčet
. Týmto číslom musíme preto vynásobiť aj členy vyššie uvedenej postupnosti.
Hľadaná aritmetická postupnosť je teda:
,
ktorej diferencia je
. Tento výsledok však na papyruse nie je uvedený.
- Celkový počet chlebov je 100 a je potrebné tieto chleby nejakým spôsobom rozdeliť medzi 5 mužov. V úlohe sa spomínajú traja horní muži a dvaja dolní. Toto naznačuje určité usporiadanie, ale nie je celkom isté, že ide o aritmetickú postupnosť. To vyplýva až z prezentovaného riešenia.
- Ďalej je tu podmienka, ktorú je možné interpretovať tak, že súčet počtu chlebov troch horných mužov v usporiadaní sa rovná súčtu chlebov dvoch mužov dole v usporiadaní.
Podmienku, že jedna sedmina z troch horných pre dvoch mužov dole, môžeme vyjadriť vzťahom:
![\small 1+ (1+d) = 1/7[(1+2d)+(1+3d)+(1+4d)] \small 1+ (1+d) = 1/7[(1+2d)+(1+3d)+(1+4d)]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/075067788dc5db2c973e66c5c78bbde5.png)
Z predchádzajúceho vzťahu vypočítame
![\small d=5 \frac{1}{2} \small d=5 \frac{1}{2}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/27a6b879d383ce0503acc24112058ce1.png)
Ide teda o postupnosť
![\small 2,6 \frac{1}{2},12,17 \frac{1}{2},23 \small 2,6 \frac{1}{2},12,17 \frac{1}{2},23](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/53236548eab0e1000546547157f56981.png)
ktorej súčet je
![\small 60 \small 60](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9ba91a05e5d96242d4d5c81e11a6d649.png)
![\small 60 \small 60](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9ba91a05e5d96242d4d5c81e11a6d649.png)
![\small 1 \frac{2}{3} \small 1 \frac{2}{3}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ee51515d1d7f6a3826f2f634cb130102.png)
aby sme získali požadovaný súčet
![\small 100 \small 100](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7b20372aad2ba78c61bd4dbbd4cc5d8e.png)
![\small 1 \frac{2}{3}, 10 \frac{2}{3}\frac{1}{6}, 20, 29 \frac{1}{6}, 38\frac{2}{3} \small 1 \frac{2}{3}, 10 \frac{2}{3}\frac{1}{6}, 20, 29 \frac{1}{6}, 38\frac{2}{3}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d076626128a5edafefde7d095bb3e3b3.png)
ktorej diferencia je
![\small 9 \frac{1}{6} \small 9 \frac{1}{6}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ef0885477d9f2dcdaaea91ccd25a965f.png)
V súčasnosti by sa tento príklad mohol počítať takto:
Chybný predpoklad by sme nahradili neznámou
a dostali by sme dve rovnice o dvoch neznámych:
.
po ekvivalentných úpravách by sme dospeli k tomu istému výsledku.
Chybný predpoklad by sme nahradili neznámou
![\small a \small a](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4d5add6cb44f35f7330a3dfea8440228.png)
![\small a + ( a + d ) + ( a + 2d ) + ( a + 3d ) + ( a + 4d ) = 100 \small a + ( a + d ) + ( a + 2d ) + ( a + 3d ) + ( a + 4d ) = 100](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/14d2ea6c59d417155f2286a379995e62.png)
![\small a + ( a + d ) = 1/7 [( a + 2d ) + ( a + 3d ) + ( a + 4d )] \small a + ( a + d ) = 1/7 [( a + 2d ) + ( a + 3d ) + ( a + 4d )]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/791d47ac4a45210eaeb4efc1098ece19.png)
po ekvivalentných úpravách by sme dospeli k tomu istému výsledku.
Matematika ako veda vznikla v Grécku približne v období 6. - 5. st. pred n. l. Gréci ako prví prestali riešiť iba otázku ako, ale hľadali aj
odpovede na otázku prečo. Významní predstavitelia gréckej matematiky: Tháles, Pytagoras, Euklides
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/413915/mod_book/chapter/9506/EuklidKniha2T5%20%282%29.jpg)
Elementy (zdroj:http://en.wikipedia.org); Kniha II, Návrh 5 - pozrite Tu.
Otvorte si applet Tu.(Aktivujte si navigačný panel.)
V starom Grécku
- Bol vytvorený systém základných vzťahov (axióm) a požiadaviek (postulátov) - Euklidove Základy. Takýto kompletne spracovaný systém bol publikovaný v Euklidových Základoch. Pozrite si práce [EUC] a [SER]. Toto dielo sa považuje za základy planimetrie, stereometrie a geometrickej algebry. Existuje český preklad od Servíta Tu, Heathov preklad je v online verzi od D.E.Joyce Tu. V roku 2022 vyšiel v nakladateľstve Perfekt slovenský preklad s komentármi od profesora J. Čižmára.
- Grécki matematici začali matematické tvrdenia dokazovať , pričom používali deduktívnu metódu. Pokúšali sa vyriešiť aj tri preslávené problémy
- trisekcia uhla (rozdelenie uhla na tri rovnaké uhly)
- zdvojenie kocky (nájdenie kocky, ktorej objem sa rovná dvojnásobku kocky pôvodnej)
- kvadratúru kruhu (nájdenie štvorca, ktorý má rovnaký obsah ako daný kruh),