Planimetria - axiomatický systém

Slovo geometria pochádza z gréckeho výrazu hé gé meteón, čo znamená vymeriavanie pozemkov pomocou lán. Pozri prácu [SED]. Matematika ako veda vznikla v Grécku približne v období 6. - 5. st. pred n. l.

Základy geometrie nachádzame už v Babylone, Egypte, Indii a Číne. Veľký rozmach zaznamenala grécka matematika. K zásadnému pokroku v rozvoji geometrie prispeli významní grécki matematici Thales, Pytagoras a Euklides. Euklidove Základy môžeme považovať za základy planimetrie, stereometrie a geometrickej algebry. Uvedieme ukážku riešenia úlohy o výpočte obsahu rovnoramenného trojuholníka z obdobia mezopotámskej ríše. Pripomíname, že matematika tohto obdobia používala šesťdesiatkovú číselnú sústavu.

Úloha. (Babylon)
Je daný trojuholník so stranami: (1,40) dĺžka každej z dvoch strán, (2,20) šírka. Aká je plocha?

Obsah trojuholníka v Babylone podľa starobabylonskej tabuľky YBC 8633, na ktorej je klinovým písmom vyrytý postup riešenia úlohy na výpočet obsahu rovnoramenného trojuholníka.

Poznámky
Na výpočet obsahov trojuholníkov používali mezopotámski matematici nasledovné vzorce:

1. $\small S= \frac{1}{2} a.r$ pre rovnoramenný trojuholník (približný výpočet) 
2. $\small S= \frac{1}{2} a.b$ pre pravouhlý trojuholník (presná hodnota), kde $a$ je základňa a $r$ rameno rovnoramenného trojuholníka resp. odvesny $a,b$ pravouhlého trojuholníka.
3. Pozrite si riešenie úlohy (WORD) Tu a súbor GeoGebra Tu.

K rozvoju geometrie prispeli aj egytskí účenci, ktorí boli nútení po každoročných záplavách Nílu nanovo rozmeriavať pozemkové parcely. Zároveň museli ovládať aj postupy pri rozdeľovaní úrody. Z toho vznikla potreba vedieť vypočítať obsahy rôznych geometrických útvarov ako aj postupy riešenia jednoduchých rovníc. Pozrite si ukážky:
Egypt - obdobie elementárnych matematických pojmov.
Rhindov a Moskovský papyrus.
Výpočet obsahov obdĺžnikov, kruhov, trojuholníkov a objemy kvádrov, zrezaných kužeľov a pyramíd. Riešenie rovníc - pozrite si riešenie úlohy R40 z Rhindovho papyrusu.

Úloha
Je treba rozdeliť 100 chlebov medzi 5 mužov tak, aby bola jedna sedmina z troch horných pre dvoch mužov dole.

Poznámky k pôvodnému riešeniu, ktorý je uvedený na papyruse. Pozrite tiež prácu [BEC, 2003]

1. Celkový počet chlebov je 100 a je potrebné tieto chleby nejakým spôsobom rozdeliť medzi 5 mužov. V úlohe sa spomínajú traja horní muži a dvaja dolní. Toto naznačuje určité usporiadanie, ale nie je celkom isté, že ide o aritmetickú postupnosť. To vyplýva až z prezentovaného riešenia.
2. Ďalej je tu podmienka, ktorú je možné interpretovať tak, že súčet počtu chlebov troch horných mužov v usporiadaní sa rovná súčtu chlebov dvoch mužov dole v usporiadaní.

Pôvodné riešenie úlohy R40:
Podmienku, že jedna sedmina z troch horných pre dvoch mužov dole, môžeme vyjadriť vzťahom:
$\small 1+ (1+d) = 1/7[(1+2d)+(1+3d)+(1+4d)]$
Z predchádzajúceho vzťahu vypočítame
$\small d=5 \frac{1}{2}$
Ide teda o postupnosť
$\small 2,6 \frac{1}{2},12,17 \frac{1}{2},23$,
ktorej súčet je $\small 60$. Číslo $\small 60$ musíme vynásobiť číslom
$\small 1 \frac{2}{3}$,
aby sme získali požadovaný súčet $\small 100$. Týmto číslom musíme preto vynásobiť aj členy vyššie uvedenej postupnosti. Hľadaná aritmetická postupnosť je teda:
$\small 1 \frac{2}{3}, 10 \frac{2}{3}\frac{1}{6}, 20, 29 \frac{1}{6}, 38\frac{2}{3}$,
ktorej diferencia je $\small 9 \frac{1}{6}$. Tento výsledok však na papyruse nie je uvedený.

V súčasnosti by sa tento príklad mohol počítať takto:
Chybný predpoklad by sme nahradili neznámou $\small a$ a dostali by sme dve rovnice o dvoch neznámych:
$\small a + ( a + d ) + ( a + 2d ) + ( a + 3d ) + ( a + 4d ) = 100$
$\small a + ( a + d ) = 1/7 [( a + 2d ) + ( a + 3d ) + ( a + 4d )]$.
po ekvivalentných úpravách by sme dospeli k tomu istému výsledku.

Matematika ako veda vznikla v Grécku približne v období 6. - 5. st. pred n. l. Gréci ako prví prestali riešiť iba otázku ako, ale hľadali aj odpovede na otázku prečo. Významní predstavitelia gréckej matematiky: Tháles, Pytagoras, Euklides

V starom Grécku

1. Bol vytvorený systém základných vzťahov (axióm) a požiadaviek (postulátov) - Euklidove Základy. Takýto kompletne spracovaný systém bol publikovaný v Euklidových Základoch. Pozrite si práce [EUC] a [SER]. Toto dielo sa považuje za základy planimetrie, stereometrie a geometrickej algebry. Existuje český preklad od Servíta Tu, Heathov preklad je v online verzi od D.E.Joyce Tu. V roku 2022 vyšiel v nakladateľstve Perfekt slovenský preklad s komentármi od profesora J. Čižmára.
2. Grécki matematici začali matematické tvrdenia dokazovať , pričom používali deduktívnu metódu. Pokúšali sa vyriešiť aj tri preslávené problémy
• trisekcia uhla (rozdelenie uhla na tri rovnaké uhly)
• zdvojenie kocky (nájdenie kocky, ktorej objem sa rovná dvojnásobku kocky pôvodnej)
• kvadratúru kruhu (nájdenie štvorca, ktorý má rovnaký obsah ako daný kruh),
len použitím pravítka a kružidla.

“Pane, niet kráľovskej cesty ku geometrii.”
Euklidova odpoveď na žiadosť Ptolemaia I. vysvetliť mu svoje Základy rýchlo a ľahko.

Základnými kameňmi pri axiomatickom budovaní geometrie sú

1. Základné pojmy (Definície) Euklides popisuje intuitívne pomocou zaužívaných pojmov ako „dĺžka, šírka, ..." . Napr.:
• Bod je to, čo nemá dĺžku.
• Čiara je dĺžka bez šírky.
• Hranicami čiary sú body.
• Priamka (Euklides vo svojich Základoch pod pojmom priamka $\small AB$ chápe úsečku $\small AB$) je čiara, ktorá je v každom svojom bode rovná.
• Trojuholník ... (vyhľadajte definíciu $\triangle, \odot, ...$ v Euklidových Základoch).
• V skutočnosti sa predpokladá, že čitateľ vie, čo si má pod týmito pojmami predstaviť. Celkove Euklides uvádza 23 definícií.
2. Axiómy - postuláty, ktorých pravdivosť sa nespochybňuje.
3. Odvodené pojmy (Zásady, Common notion) sa definujú pomocou základných pojmov a prijatých axióm.
4. Tvrdenia (Proposition) sú dokazované pomocou základných pojmov, axióm a odvodených pojmov.

Euklides vo svojich Základoch uvádza len päť axióm:
Post 1: Nakresliť priamku z ľubovoľného bodu do ľubovoľného bodu.
Post 2: A priamku možno neohraničene na obe strany predĺžiť.
Post 3: A z akéhokoľvek bodu a akýmkoľvek polomerom možno narysovať kružnicu.
Post 4: A každé dva pravé uhly sú navzájom "zhodné".
Post 5: A keď priamka pretínajúca dve priamky tvorí s nimi na jednej strane vnútorné uhly menšie než dva pravé, pretnú sa tieto priamky neohraničene predĺžené na tej strane, kde súčet uhlov je menší než dva pravé.

Prvé tri postuláty majú konštrukčný charakter, pričom popisujú skúsenosť z rysovania pomocou pravítka a kružidla. Tieto postuláty umožňujú v (euklidovskej) rovine:
- narysovať priamku prechádzajúcu dvoma danými bodmi;
- ľubovoľne predĺžiť úsečku;
- narysovať kružnicu s daným stredom a polomerom.

Piaty postulát so svojou nejasnou nezávislosťou od zvyšných postulátov má špecifické postavenie. Matematici sa asi 2000 rokov snažili piaty postulát dokázať z predchádzajúcich alebo ho aspoň nahradiť niečím jednoduchším, zjavnejším. Neúspešne

Za postulátmi nasledujú odvodené pojmy alebo zásady:

1. Ak sa dve rovnajú tretiemu, rovnajú sa aj navzájom.(Servít)
   Veci, ktoré sa rovnajú tej istej veci, sa tiež navzájom rovnajú. (Preklad z angl. verzie.)
2. A ak sa rovným pridá rovné, sú aj celky rovné.
3. A ak sa od rovných odnímu rovné, sú aj celky rovné.
4. A útvary, ktoré sa (pohybom?) stotožňujú, sú navzájom rovné.
5. A celok je väčší ako časť.

Niekedy sa uvádza až 9 zásad (Servít).
Za zásadami nasledujú tvrdenia. Prevažná väčšina tvrdení v Euklidových Základoch je dokazovaná prevažne formou konštrukcie resp. návodov ako postupovať pri dokazovaní týchto tvrdení. V ďalšej časti uvedieme niektoré tvrdenia z prvej knihy Základov.

Euklidove Základy - tvrdenia

• Kniha 1, Tvrdenie I: Vytvoriť rovnostranný trojuholník na danej konečnej priamke. 
• Kniha 1, Tvrdenie II: Z daného bodu $\small A$ narysovať úsečku $\small AF$zhodnú s danou úsečkou $\small BC$.
  
  Dôkaz tvrdenia T/II vo forme dynamickej konštrukcie si otvoríte Tu.
• Kniha 1, Tvrdenie IV: Veta $sus$.
• Kniha 1, Tvrdenie V: Uhly v rovnoramennom trojuholníku sú pri základni zhodné.

Pri dokazovaní prvých dvoch tvrdení Euklides využíva postulát o konštruovateľnosti kružnice. Tiež používa definíciu kruhu (Základy, Definícia 15), v ktorej predpokladá existenciu kruhu určeného stredom a polomerom. Definícia kruhu v Základoch má znenie:

Kruh je útvar rovinný ohraničený jednou čiarou (nazýva sa obvod resp. kružnica) tak, že všetky priamky (úsečky), ktoré vychádzajú z jedného bodu vo vnútri útvaru, sa navzájom rovnajú.

Definícia kruhu v Základoch intuitívne používa pojmy "medzi" a "zhodnosť", ktoré nie sú zavedené. Neskôr (takmer dve tisíc rokov) tieto pojmy zavádza Hilbert vo svojom axiomatickom systéme, kde sa kružnica po zavedení axióm zhodnosti už môže korektne zadefinovať.

Na záver tohto úvodného pohľadu na Euklidove Základy uvedieme "doslovný" preklad dôkazu Tvrdenia IV - (Základná veta o zhodnosti trojuholníkov $sus$)

Kniha 1, Tvrdenie IV. Ak sa dva trojuholníky zhodujú v dvoch stranách a v uhle nimi určenom, tak sú zhodné.

Dôkaz .

1. Nech $\small ABC, DEF$ sú dva trojuholníky, ktoré majú dve strany $\small AB, AC$ rovné dvom stranám $\small DE, DF$. Konkrétne $\small AB$ rovná $\small DE$ a $\small AC$ rovná $\small DF$ a uhol $\small BAC$ je rovný uhlu $\small EDF$.
2. Hovorím (Euklides), že základňa $\small BC$ sa rovná aj základni $\small EF$, trojuholník $\small ABC$ sa rovná trojuholníku $\small DEF$ a zostávajúce uhly sa rovnajú zostávajúcim uhlom, respektíve opačne rovnakým stranám. To znamená, že uhol $\small ABC$ sa rovná uhlu $\small DEF$ a uhol $\small ACB$ sa rovná uhlu $\small DFE$.
Nepriamy dôkaz
1. Nech trojuholník $\small ABC$ je uložený na trojuholníku $\small DEF$ a ak je bod $\small A$ umiestnený na bode $\small D$ a priamka $\small AB$ na $\small DE$.
• Potom bod $\small B$ sa zhoduje s bodom $\small E$, pretože $\small AB$ sa rovná $\small DE$.
2. Priamka $\small AC$ sa tiež rovná $\small DF$, pretože uhol $\small BAC$ sa rovná uhlu $\small EDF$.
• Preto sa bod $\small C$ zhoduje s bodom $\small F$, teda $\small AC$ sa rovná $\small DF$.
3. Ale $\small B$ a tiež zhoduje s $\small E$, a preto základňa $\small BC$ sa zhoduje so základňou $\small EF$ a rovná sa jej.
• V opačnom prípade by bodmi $\small E$, $\small F$ boli určené dve rôzne úsečky (priamky), čo je v spore s axiómou.
4. Takže celý trojuholník $\small ABC$ sa zhoduje s celým trojuholníkom $\small DEF$.
5. Zvyšné uhly sa zhodujú so zostávajúcimi uhlami a rovnajú sa, uhol $\small ABC$ sa rovná uhlu $\small DEF$ a uhol $\small ACB$ sa rovná uhlu $\small DFE$.
3. Preto ak dva trojuholníky majú dve strany rovnobežné s dvoma stranami a majú uhly obsiahnuté rovnými čiarami rovnaké, potom majú aj základňu rovnú základni, trojuholník sa rovná trojuholníku a zvyšné uhly sú rovné zvyšným uhlom respektíve tým, ktoré sú oproti rovnakým stranám.

Komentár k dôkazu tvrdenia T/IV je prevzatý a upravený z Euklidových Základov podľa Servíta.

Poznámka
Pri dokazovaní tohto tvrdenia sa predpokladá, že pri prenášaní úsečky (T/II, T/III) resp. uhla sa ich veľkosť nezmení. Toto v Hilbertovej sústave zabezpečujú axiómy zhodnosti.

Príklad
Je daný uhol $\small \angle ABC$ a kružnica $\small k=(B, r=BE)$. Na polpriamke $\small \overleftrightarrow{CB}$ nájdite bod $\small G$ tak, aby platilo $\small \left| \angle EGC \right| = \frac{1}{3} \left| \angle ABC \right|$.

Riešenie
Nami predložená konštrukcia nie je riešenie známeho problému "trisekcia uhla". Pri riešení využívame postulát Post 2, ktorý zaručuje existenciu bodov $\small D, H$.
Konštrukcia umožňuje s dostatočnou presnosťou nájsť polohu bodu $\small G$ tak, aby sa veľkosť úsečky $\small GH$ približovala (postupným posúvaním bodu $\small G$ po priamke $\small \overleftrightarrow{CB}$) k veľkosti polomeru $\small BF$ a tým aj uhol $\small \angle EGC$ k $\small \frac{1}{3}$ veľkosti uhla $\alpha$.
Ak si vopred stanovíme presnosť veľkosti $\small \frac{1}{3} \left| \angle ABC \right|$ na $n$ desatinných miest, tak túto úlohu môžeme úspešne riešiť využitím skriptovania v programe GeoGebra.

Euklidove definície (Servít: "Výmery")

Definícia 20
Z trojstranných útvarov je trojuholník:

1. rovnostranný, ktorý má tri strany rovnaké;
2. rovnoramenný, ktorý má len dve strany rovnaké;
3. rôznostranný, ktorý má tri strany nerovnaké.

Definícia 21
Okrem toho z trojstranných útvarov je trojuholník:

1. pravouhlý, ktorý má pravý uhol;
2. tupouhlý, ktorý má tupý uhol;
3. ostrouhlý majúci tri uhly ostré.

Jedným z fundamentálnych Euklidových tvrdení, ktoré sa využíva v dôkazoch mnohých ďalších tvrdení je veta o zhodnosti uhlov pri základni rovnoramenného trojuholníka. Dôkaz tohto tvrdenia je typicky konštrukčný a zásadne sa líši od bežne používaného dôkazu v stredoškolskej matematike. V dôkaze sa vytvoria dva nové a zároveň zhodné trojuholníky podľa vety (sus). V konštrukcii sa používa len pravítko a kružidlo.

Kniha 1, Tvrdenie V
V rovnoramenných trojuholníkoch sa uhly pri základni navzájom rovnajú; a ak sa predĺžia rovnaké priamky (ramená), uhly pod základňou navzájom rovnajú.

Dôkaz

Veľmi poučný je aj dôkaz Tvrdenia XIII, ktorý je publikovaný v prvej knihe Základov. Toto tvrdenie zohráva významnú úlohu pri geometrii uhlov. 

Kniha 1, Tvrdenie XIII
Ak priamka stojí na priamke, vytvára buď dva pravé uhly alebo uhly, ktorých súčet sa rovná dvom pravým uhlom.

Dôkaz
Upravený podľa českého prekladu Euklidových Základov.
Nech akákoľvek priamka $\small AB$ stojaca na priamke $\small CD$ vytvára uhly $\small CBA, ABD$. Hovorím, že buď uhly $\small CBA, ABD$ sú dva pravé uhly alebo ich súčet sa rovná dvom pravým uhlom.

1. Ak sa teraz uhol $\small CBA$ rovná uhlu $\small ABD$, potom sú to dva pravé uhly. Def.10
2. Ale ak nie, nakreslite $\small BE$ z bodu $\small B$ v pravom uhle k $\small CD$. Preto uhly $\small CBE,EBD$ sú dva pravé uhly. T/XI
3. Pretože uhol $\small CBE$ sa rovná súčtu dvoch uhlov $\small CBA, ABE$, pridajte uhol$\small EBD$ ku každému, takže súčet uhlov $\small CBE, EBD$ sa rovná súčtu troch uhlov $\small CBA, ABE, EBD$. Z.2, Z.4
   • $\small \angle CBE= \alpha+ \gamma=90° \Rightarrow \alpha+( \gamma+90°)= 180°$
4. Pretože uhol $\small DBA$ sa rovná súčtu dvoch uhlov $\small DBE, EBA$, ku každému z nich pridajte uhol $\small ABC$, preto sa súčet uhlov $\small DBA, ABC$ rovná súčtu troch uhlov $\small DBE, EBA, ABC$. Z.2, Z.5
   • $\beta=90°+ \gamma$
5. Ale súčet uhlov $\small CBE,EBD$ sa tiež ukázal byť rovný súčtu rovnakých troch uhlov a veci, ktoré sa rovnajú rovnakému, sa rovnajú rovnako sebe, preto súčet uhlov $\small CBE, EBD$ sa rovná súčtu uhlov $\small DBA, ABC$. Uhly $\small CBE, EBD$ sú však dva pravé uhly, takže súčet uhlov $\small DBA, ABC$ sa tiež rovná dvom pravým uhlom. Z.1, Z.6
   • $\small \alpha+ \beta =180°$
6. Preto ak priama čiara stojí na priamke, vytvára buď dva pravé uhly alebo uhly, ktorých súčet sa rovná dvom pravým uhlom. 

Definície
Uhly $\alpha, \beta$ nazývame vrcholové (obr. vľavo) resp. susedné/vedľajšie (obr. vpravo).

Medzi asi najznámejšie vlastnosti trojuholníka patria tvrdenia o veľkostiach jeho strán a vnútorných uhloch:

1. súčet veľkostí ľubovoľných dvoch strán je väčšia ako veľkosť tretej strany - trojuholníková nerovnosť
2. súčet vnútorných uhlov trojuholníka sa rovná priamemu uhlu - súčet uhlov sa rovná 180°.

Dôkazy týchto vlastností si vyžadujú pomocné tvrdenia o vzťahoch medzi stranami a uhlami trojuholníka, ktoré v tejto kapitole prezentujeme v originálnej podobe (v slovenskom preklade) ako ich publikoval Euklides vo svojich Základoch. Zároveň uvedieme ich interaktívne dôkazy v prostredí GeoGebra.

Kniha 1 Tvrdenie XVI
V každom trojuholníku, ktorého jedna strana sa predĺži, vonkajší uhol je väčší ako ktorýkoľvek protiľahlý vnútorný uhol.

Dynamický dôkaz si otvoríte Tu.

Kniha 1 Tvrdenie XVIII
V každom trojuholníku oproti väčšej strane leží väčší uhol.

Dôkaz
Nech $\small ABC$ je trojuholník a nech strana $\small AC$ je dlhšia ako $\small AB$. Hovorím, že tiež uhol $\small ABC$ je väčší ako uhol $\small BCA$.

Otvorte si applet Tu.
1. Nech $\small AC > AB$, odrežme $\small AD=AB$ a veďme $\small BD$... T/III, Post.1
2. A keďže vonkajším uhlom trojuholníka $\small BCD$ je $\small ∢ADB$, je väčší protiľahlému vnútornému uhlu $\small ∢DCB$... T/XVI
3. Avšak $\small ∢ADB=∢ABD$, ako aj strana $\small AB=AD$. $\small ABD$ rovnoramenný
4. Teda tiež $\small ∢ABD >∢ACB$... T/V
5. Mnohom väčší teda je $\small ∢ABC$ ako $\small ∢ACB$.

Kniha 1 Tvrdenie XIX
V každom trojuholníku oproti väčšiemu uhlu leží väčšia strana .

Dôkaz     - otvorte si applet Tu
Nech $\small ABC$ je trojuholník a nech $\small ∢ABC >∢BCA$ hovorím, že tiež strana $\small AC$ dlhšia je ako strana $\small AB$.

1. Pretože ak nie, tak buď $\small AC=AB$ alebo $\small AC$ je menšie ako $\small AB$ .
2. Určite nie je (rovné) $\small AC$ s $\small AB$, lebo rovným by bol tiež $\small ∢ABC$ s $\small ACB$ avšak nie je. (Pozri Tvrdenie V.: Uhly pri základni rovnoramenného trojuholníka sú rovné.)
3. Teda $\small AC$ nerovná sa $\small AB$.
4. Určite ani $\small AC$ je menšie ako $\small AB$ lebo aj $\small ∢ABC$ by bol menší ako $\small ACB$, avšak nie je .
5. Teda nie je $\small AC$ je menšie ako $\small AB$. Ukázalo sa, že však nie rovný. (Spor)

Kniha 1 Tvrdenie XX
V každom trojuholníku ktorékoľvek dve strany (súčtom) dvoch sú dlhšie ako strana ostávajúca.

Dôkaz

Kniha 1 Tvrdenie XXIX (Striedavé uhly)
Priamka pretínajúca dve rovnobežné priamky vytvára striedavé uhly $\small AGH$,$\small GHD$ navzájom rovnaké, vonkajší uhol $\small EGB$ sa rovná vnútornému opačnému (súhlasnému) uhlu $\small GHD$ a súčet vnútorných uhlov $\small BGH$,$\small GHD$ na tej istej strane sa rovná dvom pravým uhlom.

Kniha 1 Tvrdenie XXXII (Súčet uhlov trojuholníka) V každom trojuholníku, ak sa jedna zo strán predĺži, tak sa vonkajší uhol sa rovná súčtu dvoch vnútorných protiľahlých uhlov a súčet troch vnútorných uhlov trojuholníka sa rovná dvom pravým uhlom.

Dynamický dôkaz si otvoríte Tu.

Ako sme už uviedli, pri dokazovaní mnohých tvrdení týkajúcich sa vlastností geometrických útvarov, Euklides využíva hlavne konštrukčnú metódu. Pri podrobnejšom skúmaní týchto konštrukčných dôkazov zistíme, že navrhnuté konštrukcie sa dajú vo väčšine prípadov realizovať len použitím pravítka a kružidla. V odbornej literatúre sa takéto konštrukcie nazývajú euklidovské.

Definícia.
Grafická konštrukcia v euklidovskej rovine (alebo v euklidovskom priestore) realizovaná len 

1. ideálnym pravítkom a ideálnym kružidlom
2. a konečným počtom krokov
sa nazýva Euklidovská konštrukcia.

Každý krok elementárnej konštrukcie predstavuje zostrojenie

1. priamky prechádzajúcej dvoma danými rôznymi bodmi alebo
2. kružnice so stredom v danom bode a s daným polomerom alebo
3. priesečníka dvoch rôznobežných priamok (resp. prieniku priamky a kružnice alebo prieniku dvoch kružníc).

Elementárne euklidovské konštrukcie

1. Zostrojenie rovnostranného trojuholníka. Kniha 1, Tvrdenie I.
2. Zostrojenie osi daného uhla. Kniha 1, Tvrdenie IX.
3. Zostrojenie stredu danej úsečky. Kniha 1, Tvrdenie X.
4. Zostrojenie osi úsečky.

Otvorte si konštrukciu Tu
5. Zostrojenie kolmice v danom bode na danú priamku. Kniha 1, Tvrdenie XI.
Mezi elementárne euklidovské konštrukcie zaraďujeme aj konštrukcie používané v školskej matematike už na 1. stupni ZŠ
6. "Prenesenie" danej úsečky na danú polpriamku. Kniha 1, Tvrdenie II a III.
7. "Prenesenie" daného uhla na danú polpriamku v danej polrovine.

Poznámky.

1. Podmienka konečného počtu krokov v definícii euklidovskej konštrukcii je opodstatnená. Napríklad konštrukcia uvedená v príklade v kapitole 2 nemôže byť euklidovská, lebo pri konečnom počte aproximácií nezískame trisekciu uhla. Na druhej strane vieme stanoviť počet krokov, ktoré budú veľkosť trisekcie uhla určovať s vopred danou presnosťou .
2. Prvé tri uvedené elementárne konštrukcie nie je problém zrealizovať, ak máme k dispozícii pravítko a kružidlo. Pozrite si napríklad konštrukciu osi uhla a osi úsečky (úloha č. 4).
3. V geometrii, v ktorej neplatí piaty Euklidov postulát (neeuklidovské geometrie) to také jednoduché nebude. V prvom rade musíme nájsť odpoveď na otázku: "Čo budeme rozumieť pod pravítkom resp. kružidlom v takejto geometrii?"
4. V časti Neeuklidovská geometria popíšeme niektoré elementárne euklidovské konštrukcie v neeuklidovskej geometrii, ktoré budú tvoriť samostatnú triedu Euklidovských konštrukcií.

Podľa prof. Šedivého euklidovská konštrukcia sa považuje za zrealizovanú ak sú splnené podmienky K₁ až K₆.
K₁: Bod je zostrojený, ak je daná jeho poloha, alebo je priesečníkom dvoch priamok, dvoch kružníc alebo priamky a kružnice.
K₂: Priamku považujeme za zostrojenú, ak sú dané jej dva rôzne body.
K₃: Kružnicu $\small k(S, r)$ považujeme za zostrojenú, ak je daný bod $\small S$ a úsečka $r$.
K₄: Ak sú dané dve rôznobežky $a,b$, potom považujeme ich priesečník $\small X$ za zostrojený.
K₅: Ak je daná kružnica a jej sečnica, potom považujeme ich priesečníky $\small X_1 ≠ X_2$ za zostrojené.
K₆: Ak sú dané dve kružnice, o ktorých vieme, že sa pretínajú, potom považujeme ich priesečníky $\small X_1 ≠ X_2$ za zostrojené.
Základné euklidovské konštrukcie môžeme považovať za elementárne stavebné kroky pri zostrojovaní zložitejších geometrických útvarov, pre ktorý sú dané nutné "generujúce" prvky. 
Napríklad zostrojiť trojuholník, ak sú dané dve jeho strany a uhol nimi zovretý, je možné zrealizovať na základe vety sus o zhodnosti trojuholníkov [Kniha 1, Tvrdenie IV].

Definícia (konštrukčná úloha).
Zostrojenie (konštrukciu) geometrického útvaru z daných prvkov sa nazýva konštrukčná úloha.

Riešiť konštrukčnú úlohu znamená:

1. odvodiť vzťahy medzi zadanými a hľadanými prvkami - náčrtok, rozbor,
2. konštrukčne doplniť zadané prvky ďalšími tak, aby bol útvar zostrojiteľný - postup konštrukcie a jeho grafické prevedenie - konštrukcia,
3. urobiť dôkaz, že zostrojený útvar je ten, ktorý bolo treba zostrojiť - dôkaz správnosti konštrukcie,
4. stanoviť, za ktorých podmienok je úloha riešiteľná a prípadne koľko má vyhovujúcich riešení - diskusia.

Príklad.
Zostrojte trojuholník $\small ABC$, ak sú dané strany $a,c$ a uhol $α$ pri vrchole $\small A$.

Rozbor - prvá etapa riešenia konštrukčnej úlohy, metóda: geometrické miesto bodov. V rozbore ide o hľadanie kauzalít medzi danými $\small c=AB, a, α$ a hľadanými prvkami geometrického útvaru $\small C$.

1. Náčrtok - súčasťou rozboru môže byť aj náčrt (na úrovni ZŠ je to dôležitá súčasť rozboru).
• nakreslíme netypický trojuholník, náčrt kreslíme/modelujeme pomocou úsečiek, kružnicových oblúkov, ... .
• "silnejšie" resp. farebne vyznačíme strany $\small c=AB, a=BC$ a uhol $\small BAC$
2. Logický rozbor
• strana $\small AB$ je daná
• vrchol $\small C$ leží na ramene uhla $α$
• zároveň leží na kružnici $\small k(B, r=a)$

Applet si otvoríte Tu.
3. Algebraická metóda rozboru
   
   Obrázok aktivujete Tu.
   • Vypočítajme veľkosť úsečky $\small AC$.
   • Nech $\small d = BB_0$ je vzdialenosť bodu $\small B$ od priamky $\small AL$.
   • Potom $d = c$. sin $α$.
   • Trojuholníky $\small ABB_0$ a $\small BCB_0$ sú pravouhlé.
   • Pytagorova veta: $\small AB_0= c² - d²  , \small CB_0 = b² - d²$.
   • Veľkosť strany $b = \small AB_0+CB_0$.

Záver analýzy
Z rozboru vyplýva postup konštrukcie trojuholníka $\small ABC$:  strana $\small c=AB$; uhol $\small BAL$ ; kružnica $\small k(B, r=a)$ ... vrchol $\small C$ je priesečník ramena uhla a kružnice.

Konštrukcia - druhá etapa riešenia konštrukčnej úlohy
Konštrukcia sa skladá z dvoch častí: grafická konštrukcia (narysovanie hľadaného útvaru) a zápis krokov (robí sa vedľa). Stiahnite si applet Tu.

Dôkaz - tretia etapa riešenia konštrukčnej úlohy. Dôkazom sa chápe argumentácia, či útvar vytvorený konštrukciou spĺňa všetky požiadavky uvedené v zadaní úlohy. V našom príklade dôkaz vyplýva z postupu konštrukcie.

Diskusia - štvrtá etapa riešenia konštrukčnej úlohy

1. V diskusii určujeme za akých podmienok je úloha riešiteľná, prípadne určujeme koľko má vyhovujúcich riešení resp. skúmame závislosť riešenia od zadaných prvkov.
2. V tejto úlohe výhodne vyžijeme posuvníky a počet riešení odvodíme od vzájomnej polohy daných prvkov.

Nech $d=c.sin\alpha$ je vzdialenosť bodu $\small B$ od priamky $\small AL$, potom počet priesečníkov $\small C_i$ závisí na hodnotách $a,d,\alpha$. Musíme rozlíšiť dve základné situácie:

1. Pokiaľ platí, že $0 < \alpha < 90°$, potom je $0 < d < c$ a úloha
              a) nemá riešenie, ak $0 < a < d$
              b) má práve jedno riešenie pre $a = d$ alebo $a ≥ c$
              c) má práve dve riešenia za podmienky $d < a < c$. 
   
2. Pre $90° ≤ α < 180°$ je diskusia jednoduchšia, úloha
             a) nemá riešenie za podmienky $0 < a ≤ c$  
             b) má práve jedno riešenie, pokiaľ platí $a > c$.

Poznamenajme, že k úsečke $\small AB$ existujú dva uhly $\small ABL$ a $\small ABL′$ veľkosti $\alpha$, čo zdvojnásobuje počet riešení. Sú však osovo symetrické.

V roku 1899 slávny matematik David Hilbert publikoval prácu Grundlagen der Geometrie, v ktorej navrhuje axiomatický systém, nahrádzajúci tradičné axiómy Euklida. V literatúre je tento axiomatický systém známy ako Hilbertov axiomatický systém. V práci [HIL] je uvedených šesť primitívnych pojmov, ktoré sú začlenené do dvoch skupín:

1. Primitívne objekty
• body - označujeme veľkými písmenami latinskej abecedy $\small A , B , C , ...$;
• priamky - na označenie používame malé písmená $\small a , b , c , ...$ a
• roviny - označujeme malými gréckymi písmenami $\small \alpha, \beta, \gamma , ...$.
2. Primitívne vzťahy (binárne relácie)
• incidencia - $\small A ∈ a$ ["bod $\small A$ leží na priamke $\small a$", "priamka $\small a$ prechádza bodom $\small A$", "bod $\small A$ a priamka $\small a$ sú incidentné"].
• vzťah "medzi" - \small $\small \mu(ABC)$ [usporiadanie troch kolineárnych bodov $\small A , B , C$, kde bod $\small B$ leží medzi bodmi $\small A , C$]; používa sa aj označenie $\small A \ast B \ast C$. Pozri prácu [ChalJ]
• zhodnosť (kongruencia) - $u \cong v$ ["úsečka $u$ je zhodná s úsečkou $v$"], zhodnosť uhlov, zhodnosť trojuholníkov.
Primitívne objekty nedefinujeme, vieme však jednoznačne rozhodnúť o (primitívnych) vzťahoch medzi nimi.

Otvorte si interaktívny applet Tu.

Hilbertov axiomatický systém pozostáva z piatich skupín axióm.

1. axiómy incidencie
2. axiómy usporiadania
3. axiómy zhodnosti (kongruencie)
4. axióma o rovnobežnosti
5. axiómy spojitosti
Axiómy charakterizujú vzťahy medzi primitívnymi objektmi. Axiomatický systém obsahuje celkom 20 axióm.

Body $\small P_1, P_2, P_3, ...$ nazývame kolineárne, ak existuje priamka so všetkými týmito bodmi incidentná.

Axiómy incidencie v rovine
I1: Dvoma rôznymi bodmi $\small A, B$ prechádza práve jedna priamka.
I2: Každá priamka obsahuje aspoň dva rôzne body.
I3: Existuje aspoň jedna trojica navzájom rôznych nekolineárnych bodov.
Axiómy incidencie v priestore
I4: Tromi nekolineárnymi bodmi $\small A, B,C$ prechádza práve jedna rovina.
I5: V každej rovine existujú aspoň tri nekolineárne body.
I6: Ak dva rôzne body $\small A, B$ priamky $\small p$ ležia v rovine $\small \alpha$, potom každý bod priamky $\small p$ leží v rovine $\small \alpha$.
I7: Ak dve roviny $\small \alpha, \beta$ majú spoločný bod $\small A$, potom majú spoločný ešte aspoň jeden bod $\small B$, rôzny od $\small A$.
I8: Existuje aspoň jedna štvorica nekomplanárnych bodov $\small A, B,C,D$.

Tvrdenie
Ak $p,q$ sú dve rôzne priamky, potom $p$ a $q$ majú najviac jeden spoločný bod.

Dôkaz. nepriamo

• predpokladajme, že $\small p \neq q$ a zároveň $\small A,B \in p \cap q$;
• potom $\small A ∈ p , B ∈ p$ a zároveň $\small A ∈ q , B ∈ q$;
• podľa axiómy I1 existuje priamka $\small \overleftrightarrow{AB}$ je určená bodmi $\small A, B$;
• a zároveň podľa axiómy I1 bude $\small p=\overleftrightarrow{AB}$, lebo $\small A, B \in p$;
• podobne zistíme, že $\small q=\overleftrightarrow{AB}$
• a teda musí platiť $\small p=q$, čo je spor s predpokladom sú totožné.

V ďalšej časti sa zameriame na interpretáciu Euklidovskej roviny pomocou dynamických geometrických systémov (DGS). Budeme používať softvér GeoGebra. Vo všeobecnosti ak DGS má správne interpretovať danú geometriu (napr. Euklidovskú), tak je nutné vhodne popísať/definovať základné geometrické pojmy a vzťahy. Túto požiadavku výstižne charakterizuje doc. Vallo vo svojej habilitačnej práci, kde zdôrazňuje požiadavku determinovanosti pri využívaní IKT v geometrii.

V DGS je nutné, aby dôležité prvky geometrických útvarov boli deterministicky definované (Vallo, 2021).

Uvádzame niekoľko východísk, ktoré tvorcovia softvéru GeoGebra naprogramovali v jeho základnej verzii. Vo vzhľade Nákresňa (2-rozmerný priestor) je bod reprezentovaný dvojicou reálnych čísel. Tento model je izomorfný s afinným dvojrozmerným priestorom nad poľom reálnych čísel.
Požiadavka determinovanosti z pohľadu geometrie znamená presne stanoviť, čo predstavuje bod so súradnicami $\small (a,b)$. Presné geometrické vymedzenie (determinovanosť) veľmi dobre interpretujú nasledovné príkazy softvéru GeoGebra.

1. Príkaz $\small A = (a,b)$ vygeneruje na zobrazovacej ploche bod so súradnicami $\small (a,b)$ a s popisom $\small A$.
   
2. Príkaz $\small B = (a,b)$ vygeneruje opäť bod s tými istými súradnicami a s popisom $\small B$.

Obidva body sa budú prekrývať a budú prezentovať dva totožné body. Môžeme ich aj farebne odlíšiť, čo sa zjavne prejaví pri dynamickej zmene bodu $\small B$.
Pri klasickej výučbe geometrie (manuálne rysovacie prostriedky) je problematické reálne „pracovať“ s totožnými (identickými) útvarmi. Napríklad dva rôzne ale totožné body rozlíšime len tak, že pri ich popise uvedieme $\small A = B$.

Poznámka.
V DGS priesečník dvoch priamok sa musí exaktne definovať pomocou nástroja Priesečník. Ak nie, tak DGS ho neidentifikuje ako bod.

Pomocou nástroja " Priesečník" môžeme vytvoriť tri priesečníky výšok v trojuholníku

1. $\small V\in k_a\cap k_b$
2. $\small V_1\in k_b\cap k_c$
3. $\small V_2\in k_c\cap k_a$,

o ktorých vieme dokázať (Kapitola "Významné prvky trojuholníka"), že sú to tri totožné body.

DGS to chápe ako tri samostatné body. Pomocou nástroja "Vzťah a = b" môžeme napríklad overiť, či bod $\small V_1\in k_b\cap k_c$ leží aj na kolmici $\small k_a$. GeoGebra nám zobrazí oznam/výsledok, ktorý predstavuje obrázok vpravo. Celá konštrukcia "Priesečník výšok v trojuholníku" je znázornená na obrázku vľavo.

V predchádzajúcej časti sme stručne načrtli interpretáciu základných pojmov (bod, priamka, incidencia a pod.) v programe GeoGebra. Interpretácia týchto pojmov môže mať rôzne podoby.
Ak priradíme základným pojmom nejaký konkrétny význam, tak vytvoríme model geometrie.
Potom v tomto modeli môžeme skúmať, či platia axiómy v systéme, ktorý sme zaviedli. Ak sú axiómy v tejto interpretácii (v modeli geometrie) pravdivé, potom takto vytvorený model je modelom daného axiomatického systému.
Uvádzame niekoľko modelov geometrie.

Incidenčné modely geometrie

1. Trojbodová (prípadne štvorbodová, päťbodová) geometria
• $\small A, B, C$ sú body a $\small \lbrace{A,B}\rbrace , \lbrace{A,C}\rbrace , \lbrace{B,C}\rbrace$ sú priamky resp. Kompletný graf s 3 (prípadne so 4 resp. 5 vrcholmi.
  
• Euklidov postulát o rovnobežkách neplatí.
• Overte platnosť axióm incidencie.
2. Algebraický model - analytická geometria euklidovskej roviny
• Body sú usporiadané dvojice $(a_1, a_2)$ reálnych čísel.
• Priamky sú lineárne rovnice $ax + by + c = 0 ((a, b) \neq (0, 0))$.
• Incidencia: $\small A=(a_1,a_2) \in p(ax+by+c=0) \Leftrightarrow (a_1,a_2)$ je riešením rovnice $ax+by+c\small =0$.
• Model je reprezentovaný vzhľadom Nákresňa v programe GeoGebra.

Sféra ako neincidenčný model

• Bodmi sú body na guľovej ploche (sfére). Priamkami sú kružnice na sfére so stredom v strede gule.
• Každé dve priamky sa pretínajú v dvoch bodoch, preto nejde o model incidenčnej geometrie. Otvorte si applet a pohybujte bodmi $\small A,B, C,D$.

Otvorte si interaktívny applet Tu

Lineárna perspektíva (15. stor.) - projekcia bodov trojrozmerného priestoru do roviny (na plátno).

Axiómy zhodnosti
Z1: Pre ľubovoľné dva rôzne body $\small A,B$ a polpriamku vychádzajúcu z bodu $\small A'$
existuje na tejto polpriamke práve jeden bod $\small B'$ taký, že $\small AB \cong A'B'$.
Z2: Ak $\small AB \cong A'B'$ a $\small AB \cong A''B''$, potom $\small A'B' \cong A''B''$.
Navyše, každá úsečka je zhodná sama so sebou: $\small AB \cong AB$.
Z3: Ak $\small \mu( ABC)$, $\small \mu( A'B'C')$, $\small AB \cong A'B'$ a $\small BC \cong B'C'$, potom $\small AC \cong A'C'$.
Z4: Pre daný uhol $\small ∠ABC$, danú polpriamku $\small \overrightarrow{B'A'}$ a danú polrovinu ohraničenú priamkou $\small \overleftrightarrow{A'B'}$
existuje práve jedna polpriamka $\small \overrightarrow{B'C'}$ v danej polrovine tak, že $\small ∠A'B'C' \cong ∠ABC$.
Z5: Ak $\small ∠ABC \cong ∠A'B'C'$ a $\small ∠ABC \cong ∠A''B''C''$, potom $\small ∠A'B'C' \cong ∠A''B''C''$.
Navyše, každý uhol je zhodný sám so sebou: $\small ∠ABC \cong ∠ABC$.
Z6: Ak pre trojuholníky $\small ABC$ a $\small A'B'C'$ platí, že $\small AB \cong A'B', BC \cong B'C'$ a $\small ∠B \cong ∠B'$,
potom $\small ∠A \cong ∠A'$ a $\small ∠C \cong ∠C'$.

Otvorte si dynamickú konštrukciu Tu a presuňte trojuholník $\small \triangle A'B'C'$ na trojuholník $\small \triangle ABC$.

Definícia.
Hovoríme, že trojuholníky $\small ABC$ a $\small A'B'C'$ sú zhodné, označujeme $\small \Delta ABC \cong \Delta A'B'C'$, ak
$\small AB \cong A'B', BC \cong B'C', AC \cong A'C'$ a $\small ∠A \cong ∠A', ∠B \cong ∠B', ∠C \cong ∠C'$.

Veta sus. (Euklidove Základy, Tvrdenie I.4)
Ak pre trojuholníky $\small ABC$ a $\small A'B'C'$ platí, že $\small AB \cong A'B', BC \cong B'C'$ a $\small ∠B \cong ∠B'$, potom sú tieto trojuholníky zhodné.

Dôkaz.
V dôsledku axiómy Z6 stačí ukázať, že $\small AC \cong A'C'$. Dôkaz urobíme sporom. Nech
$\small AC \ncong A'C'$.
Nech $\small C'' \in \overrightarrow{A'C'}: A'C'' \cong AC$, pre ktorý platí $\small C' \neq C''$. Použitím axiómy Z6 dostaneme, že
$\small ∠A'B'C' \cong A'B'C''$,
čo je v rozpore s axiómou Z4 o prenášaní uhla. Teda musí platiť $\small C' = C''$.

Poznámky.

1. Niekedy sa veta sus uvádza ako axióma Z6.
2. Porovnajte nami prezentovaný dôkaz vety sus s dôkazom v uvedeným v Euklidových Základoch.
3. Ďalšie vety o zhodnosti trojuholníkov nájdete v samostatnej e-knihe tohto kurzu.

V Hilbertovom axiomatickom systéme axiómy Z1 a Z4 zaručujú jednoznačnosť prenášania

1. danej úsečky na danú polpriamku - Z1
2. uhla danej veľkosti do polroviny - Z4

V Euklidových Základoch sú tieto axiomatické pojmy uvádzané ako konštrukcie. Prenášanie úsečky (Tvrdenie I.3) sa popisuje pomocou kružnice. Prenášanie uhla (vyhľadajte v prvej knihe Euklidových Základov).

Definícia.
Nech $\small S \in E_2$ je ľubovoľný bod a $r$ je daná nenulová úsečka. Kružnica so stredom $\small S$ a polomerom $r$ je množina všetkých bodov $\small X \in E_2$, pre ktoré platí, že úsečka $\small SX$ je zhodná s úsečkou $r$.
$\small k(S; r) := \lbrace{X \in E_2; SX \cong r}\rbrace$

Definície ďalších geometrických útvarov budeme uvádzať priebežne podľa potreby.
Axióma Z4 predstavuje euklidovskú konštrukciu prenášania uhla do danej polroviny. Vo vyučovaní geometrie na ZŠ sa táto konštrukcia uskutočňuje pomocou listu papiera alebo pomocou kružidla. Dynamickú formu aktivity prenášania uhla pomocou kružidla, ktorá je vhodná pre žiakov základných škôl, predstavuje nasledujúci applet.

1. Uhol $\small \alpha = ∢ AVB$ je zhodný s uhlom $\small ∢ POQ$.
2. Zapisujeme $\small ∢ AVB ≅ ∢POQ$.
3. Čítame: uhol $\small \alpha (∢ AVB)$ je zhodný s uhlom $\small ∢ POQ$.
   

Kružnica sa využíva aj pri euklidovskej konštrukcii osi uhla Kniha 1, Tvrdenie IX ako ukazuje nasledujúci obrázok.
V predchádzajúcich dvoch euklidovských konštrukciách sa mimovoľne predpokladalo, že pri prenášaní úsečky jej veľkosť sa nemení. V Hilbertovom axiomatickom systéme vlastnosť zachovávania "veľkosti útvaru" pri "prenášaní" sa zaručuje pomocou axióm Z1 a Z4.
Rozdiel medzi Euklidovými Základmi a Hilbertovým axiomatickým prístupom je zásadný, ktorý podrobnejšie popíšeme v nasledujúcej podkapitole.

Definícia (Susedné uhly).
Uhly $\small \alpha= \angle ABC, \beta= \angle CBD$ sa nazývajú susedné, ak ramená $\small \overrightarrow{BA},\overrightarrow{BD}$ tvoria opačné polpriamky.

Tvrdenie.
Ak sú dva uhly zhodné, potom aj ich susedné uhly sú zhodné.

Dôkaz.

Axiómy usporiadania
U1: Ak $\small B$ leží medzi $\small A$ a $\small C$ [$\small \mu (ABC)$], potom $\small A, B, C$ sú tri rôzne kolineárne body a platí tiež, že $\small B$ leží medzi $\small C$ a $\small A$.
U2: Pre ľubovoľné navzájom rôzne body $\small A, C$ existujú body $\small B, D$ tak, že $\small \mu( ABC)$ a $\small \mu( ACD)$.
U3: Pre ľubovoľné tri navzájom rôzne kolineárne body práve jeden z nich leží medzi zvyšnými dvoma.
U4: (Paschova axióma, 1882) Nech priamka $p$ neprechádza žiadnym z nekolineárnych bodov $\small A, B, C$.
Ak $p$ pretína úsečku $\small AB$, potom pretína buď úsečku $\small AC$ alebo úsečku $\small BC$.

Definície.

1. Nech $\small A , B$ sú dva rôzne body. Úsečka $\small {AB}$ je množina bodov $\small X$, ktoré ležia medzi bodmi $\small A,B$ zjednotená s dvojprvkovou množinou $\small \lbrace{A, B}\rbrace$. Body $\small A , B$ sú krajné body úsečky.
   $\small {AB} := \lbrace{X; \mu(AXB)}\rbrace \vee X \in \lbrace{A,B}\rbrace$
2. Nech $\small A , B$ sú dva rôzne body. Polpriamka $\small \overrightarrow{AB}$ je množina bodov úsečky $\small AB$ a bodov $\small X$, pre ktoré platí $\small \mu( ABX)$.
   $\small \overrightarrow{AB} :=\lbrace X\in AB \vee \mu(ABX) \rbrace$
3. Nech $\small A , B$ sú dva rôzne body. Opačná polpriamka k polpriamke $\small \overrightarrow{AB}$ je množina bodov $\small X$, pre ktoré platí, že bod $\small A$ leží medzi bodmi $\small B, X$ zjednotenú s jednobodovou množinou $\small \lbrace{A}\rbrace$.
   $\small \overleftarrow{AB} := \lbrace{ X=A \vee \mu(BAX) }\rbrace$

Znázornite všetky tri situácie v GeoGebre. Pozrite si prácu [MON].

Tvrdenie.
Pre ľubovoľné dva rôzne body $\small A , B$ platí:
$\small \overrightarrow{AB} \cap \overrightarrow{BA} = AB$ .

Dôkaz.
Z definície polpriamky dostávame
$\small AB \subset \overrightarrow{AB} \cap \overrightarrow{BA}$.
Potrebujeme ešte dokázať, že platí $\small \overrightarrow{AB} \cap \overrightarrow{BA} \subset AB$. Zvoľme si ľubovoľný bod $\small C$, pre ktorý platí
$\small C \in \overrightarrow{AB} \cap \overrightarrow{BA}$.

1. Nech $\small C = A$ alebo $\small C = B$, potom dokazovaná inklúzia platí.
2. Nech $\small C \neq A, C \neq B$. Keďže $\small C \in \overrightarrow{AB} \cap \overrightarrow{BA}$, tak musí súčasne platiť
   • $\small C \in \overrightarrow {AB}$ (horná časť appletu), v tom prípade z definície polpriamky dostávame, že
     $\small \mu (ACB)$ alebo $\small \mu (ABC)$.
   • podobne pre $\small C \in \overrightarrow {BA}$ (dolná časť appletu) je buď $\small \mu (BCA)$ alebo $\small \mu (BAC)$.
Súčasne môže nastať len prípad $\small \mu (ABC)$. Záver: z axiómy U3 dostávame: $\small \mu (ABC) \Leftrightarrow C \in AB$.

Cvičenie.
Dokážte, že platí:
$\small \overrightarrow{AB} \cup \overrightarrow{BA} = \overleftrightarrow {AB}$.

Dôkaz.
Dôkaz je nutné rozložiť do dvoch krokov (dokazujeme rovnosť množín).

1. Nech $\small C \in \overrightarrow{AB} \cup \overrightarrow{BA}$, potom treba dokázať $\small C \in \overleftrightarrow{AB} \$. Použite definíciu polriamky.
2. Nech $\small C \in \overleftrightarrow{AB}$, potom treba dokázať $\small C \in \overrightarrow{AB} \cup \overrightarrow{BA}$. Použite definíciu priamky.

Uvedomte si, že pre polohu (Pozri práca [CHAL, str. 16] bodu $\small C \in \overleftrightarrow{AB}$ vzhľadom na $\small A , B$ máme možnosti: $\small \; \mu( CAB), \;C = A,\; \mu( ACB), \;C = B,\; \mu( ABC)$. Prvé tri možnosti znamenajú, že $\small C \in \overrightarrow {BA}$

Definícia.
Daná je priamka $p$ a body $\small A , B$ neležiace na tejto priamke. Hovoríme, že body $\small A , B$
• ležia na opačných stranách od danej priamky, ak úsečka $\small AB$ túto priamku pretína, t.j. ak na tejto priamke existuje bod $\small X$ tak, že $\small \mu (AXB)$
• ležia na tej istej strane od priamky $p$, ak $\small A = B$ alebo ak $\small A \neq B$ a úsečka $\small AB$ priamku $p$ nepretína (\\small ( p \cap AB= ∅ ) \)

Príklad.
Dané sú tri nekolineárne body $\small A,B,C$. Určte množinu (šrafovaním)
$\small \lbrace{X;XC \cap \overrightarrow{AB}=∅ }\rbrace$.
Konštrukčný návod Tu. Applet, v ktorom je nástroj na vyznačenie polroviny Tu.
Riešenie Tu.

Tvrdenie (separačná vlastnosť v rovine, U4S).
Priamka $p$ delí rovinu okrem bodov priamky $p$ na dve triedy tak, že body ležia v tej istej triede práve vtedy, keď
ležia na tej istej strane od priamky $p$. (t.j. neexistuje bod $\small X \in p$ taký, že $\small \mu (AXB)$, kde $\small A$ a $\small B$ sú dané body).
Dôkaz pozri prácu [CHAL] .

Definície.

1. Nech $\small A , B, C$ sú dané nekolineárne body. Pod polrovinou $\small \overrightarrow{ABC}$ rozumieme množınu bodov $\small X$, pre ktoré platí, že prienik úsečky $\small XC$ s priamkou $\small \overleftrightarrow{AB}$ je prázdna množina, alebo jednoprvková množina, ktorej prvkom je práve bod $X$.
   $\small \overrightarrow{ABC} := \lbrace{X \in E_2;XC \cap \overleftrightarrow{AB}= ∅ \vee XC \cap \overleftrightarrow{AB}= \lbrace{X}}\rbrace$
2. Nech $\small A , B, C$ sú dané nekolineárne body. Pod trojuholníkom $\small ABC$ rozumieme prienik polrovín $\small \overrightarrow{ABC}, \overrightarrow{BCA}, \overrightarrow{CAB}$.
   $\small \triangle ABC := \overrightarrow{ABC} \cap \overrightarrow{BCA} \cap \overrightarrow{CAB}$

Pozrite si tiež definície v práci [MON] kapitola 2: "Konvexná množina".

Tvrdenie T/1 (Euklidove Základy Kniha 1, Tvrdenie I).
K danej úsečke $d$ zostrojte rovnostranný trojuholník tak, aby táto úsečka bola jednou z jeho strán.
Dôkaz.
Dôkaz má konštrukčný charakter. Euklides popisuje konštrukciu rovnostranného trojuholníka $\small ABC$ pomocou kružníc $\small k_1=(A,d), k_2=(B,d)$, ktoré sa pretínajú v dvoch rôznych bodoch.

Poznámky.

1. V Euklidových Základoch sa nenachádza axióma alebo tvrdenie, podľa ktorého je zaručená existencia spoločného bodu dvoch kružníc!
2. V e-knihe DGS sme už uviedli, že v afinnom priestore nad poľom racionálnych čísel sa kruhy nepretínajú.
3. Euklides síce nehovorí o spoločnom bode dvoch kružníc, uvádza len tvrdenie/formuláciu "... v ktorom sa kruhy navzájom pretínajú, ..."
4. Vyriešiť tento problém je možné sformulovaním axióm spojitosti.

Axiómy spojitosti.
S1: (Archimedova axióma) Nech sú dané úsečky $\small AB,CD$. Na polpriamke $\small \overrightarrow{AB}$ zostrojme postupne body $\small P_1, P_2, \cdot \cdot \cdot$ také, že
$\small AP_1 \cong P_1P_2 \cong \cdot \cdot \cdot \cong P_iP_{i+1} \cdot \cdot \cdot \cong CD$.
Potom existuje jediné prirodzené číslo $n$ také, že bod $\small P_n \in AB$ a $\small P_{n+1} \notin AB$.
S2: (Axióma úplnosti) K bodom a priamkam v rovine už nie je možné pridať ďalšie tak, aby výsledná geometria stále spĺňala všetky doteraz uvedené axiómy

Poznámky.

1. Euklidovská rovina je model všetkých uvedených axióm.
2. Euklidovská rovina je afinná rovina $\small \mathbb{R^2}$ so skalárnym súčinom definovaným na jej vektorovej zložke. Používame aj označenie $\small \mathbb{E^2}$.
3. Geometria, ktorá spĺňa všetky Hilbertove axiómy (dôležitá je pritom Archimedova axióma), môžeme v nej zaviesť meranie! Pozrite si e-knihu "Miera úsečky".

Definícia (Rovnobežnosť).
Euklides: Rovnoběžky jsou přímky, které jsou v téže rovině a prodlouženy na obě strany do nekonečna nikde se nesbíhají. (Servít)
Hilbert:   Dve priamky sú rovnobežné (rovnobežky), ak nemajú spoločný bod.

Tvrdenie (Základy, T/XXVII).
Keď priamka pretínajúca dve priamky vytvára striedavé uhly navzájom rovnaké, budú tie priamky navzájom rovnobežné.

Dôkaz.
Urobte si cvičenie. Použite dôsledok vety o vonkajšom uhle.

Dôsledok - existencia rovnobežky.
Nech bod $\small B$ neleží na priamke $p$. Potom existuje priamka $q$ taká, že $\small B \in q \; \wedge \; p \parallel q$.

Dôkaz.
Zvoľme si ľubovoľný bod $\small A$ na priamke $p$. Zostrojme priamku $\small t=AB$ (transverzála/priečka priamok $p,q$).
Následne zostrojíme priamku $\small q: B \in q$ tak, aby striedavé uhly pri priamkach $p,q$ s transverzálou $t$ boli rovnaké (axióm Z4).
Rovnobežnosť $p, q$ vyplýva z vety o vonkajšom uhle trojuholníka.

Poznámka.
Dokázaním predchádzajúceho dôsledku sme ukázali existenciu rovnobežky, pričom sme použili predchádzajúce axiómy.
Teraz stačí formulovať axiómu, ktorá zaručí jednoznačnosť - existenciu jedinej rovnobežky.

Playfairova axióma.
Pre každú priamku $p$ a pre každý bod $\small B \notin p$ existuje práve (najviac) jedna priamka $\small q: B \in q$ rovnobežná s priamkou $p$ (ozn. $p \parallel q$ ).

Piaty Euklidov postulát.
A keď priamka pretínajúca priamky dve priamky tvorí na tej istej strane vnútornej (priľahlej) uhly menšie dvoch pravých, tie dve priamky predĺžené do nekonečna sa zbiehajú na tej strane, kde sú uhly menšie dvoch pravých.

Tvrdenie(Základy, T/XXXII).
Súčet vnútorných uhlov trojuholníka je rovný dvom pravým uhlom.
Dôkaz.
Pokúste sa dokázať toto tvrdenie ako cvičenie. Tvrdenie T/XXXII je ekvivalentné axióme rovnobežnosti. Euklidov dôkaz nájdete v kapitole "Geometria trojuholníka".

Cvičenie.

1. Dokážte, že
   1. Existuje práve jedna os uhla. Kniha I, Tvrdenie IX.
   2. Každá nenulová úsečka má práve jeden stred, a ten je jej vnútorným bodom. Kniha I, Tvrdenie X. Pozrite si os úsečky Tu
   3. Riešte úlohy (napr. č. 3, 11 a 12 ) zo zbierky " Základné euklidovské konštrukcie" Tu. Pokúste sa o riešenie aj ďalších úloh.
2. Nech v rovnoramennom trojuholníku $\small ABC$ platí, že uhol pri základni trojuholníka je dvojnásobkom uhla pri vrchole $\small C$. Overte, že dĺžka ramena a dĺžka základne sú v zlatom pomere. Pozrite Euklidove Základy Kniha II, Tvrdenie XI a otvorte applet Tu.
   Pomoc pri riešení úlohy: Do trojuholníka vpíšte trojuholník $\small ADB$ s ním podobný
   otvorte applet Tu
   a aplikujte Euklidovo tvrdenie Kniha 1., T/IV a T/V.   Viac o zlatom pomere nájdete v prezentácii Tu.
3. Ukážte, že uhlopriečky obdĺžnika sú zhodné a že sa navzájom rozpoľujú. (Vytvorte applet, ktorý bude interpretovať túto vlastnosť.)
4. Pomocou tvrdenia "Uhlopriečky obdĺžnika sú ..." ukážte:
   Ak je $\small ABC$ pravouhlý s pravým uhlom pri vrchole $\small C$, potom všetky jeho vrcholy ležia na kružnici, ktorej priemerom je strana $\small AB$.
5. Ukážte, že platí:
   $\small\overrightarrow{AB} \cup \overrightarrow{BA} = \overleftrightarrow {AB}$.
   Uvedomte si, že pre polohu bodu $\small X$ vzhľadom na $\small A , B$ máme možnosti: $\small  \mu( XAB),X = A, \mu( AXB),X = B,\mu( ABX)$. 
6. Uveďte definíciu opačnej polroviny. (Pozrite si prácu: Monoszová, G.: Planimetria.)
7. Dané sú tri nekolineárne body $\small A,B,C$. Určte množinu (šrafovaním)
   1. $\small \lbrace{X;XC \cap \overrightarrow{AB}=∅ }\rbrace$
   2. $\small \lbrace{X;XC \cap \overleftarrow{AB} \neq ∅ }\rbrace$
   3. $\small \lbrace{X; \overleftrightarrow{XC} \cap \overrightarrow{AB}=∅ }\rbrace$
   4. $\small \lbrace{X; \overrightarrow{XC} \cap \overleftrightarrow{AB}=∅ }\rbrace$
      Použite applet, v ktorom je nástroj na vyznačenie polroviny. 

Poznámky.

1. Pri dokazovaní prípadov 1a, 1b najskôr ukážte existenciu daného útvaru a potom jeho jednoznačnosť.
2. Cvičenie 2. Ukážte, že základňa trojuholníka $\small ABC$ je stranou pravidelného päťuholníka vpísaného do kružnice $k$ a rameno trojuholníka je jeho uhlopriečkou.
3. Kolmé kružnice. Základ Tu. Kompletná konštrukcia Tu. GeoGebra s nástrojom "Kolmá kružnica" je Tu.
4. Chalmovianska, J.: Axiomatická výstavba Tu. Iné zdroje pre cvičenia Tu.