Planimetria - axiomatický systém
Zhodnosť
Geometria uhlov
Tvrdenie.
Ak sú dva uhly zhodné, potom aj ich susedné uhly sú zhodné.
Ak sú dva uhly zhodné, potom aj ich susedné uhly sú zhodné.
Dôkaz.
Definícia (Vonkajší uhol trojuholníka).
Vonkajší uhol trojuholníka je uhol susedný s priľahlým vnútorným uhlom trojuholníka.
Vonkajší uhol trojuholníka je uhol susedný s priľahlým vnútorným uhlom trojuholníka.
Napríklad v predchádzajúcej vete je uhol
vonkajší uhol k uhlu
. Existenciu bodu
zabezpečuje axióma Z1 a axióma U2.
![\small \angle DBC \small \angle DBC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/31f6fae1e912316c40b7792e0eb48ea6.png)
![\small \alpha= \angle ABC \small \alpha= \angle ABC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d82fe5ca51cc558d0f7a15f9345b5671.png)
![\small D \small D](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4c2560fa10c208aaee67e92169a00252.png)
Tvrdenie.
Vonkajší uhol
v trojuholníku
susedný k uhlu
je väčší ako ľubovoľný zo zvyšných dvoch vnútorných uhlov tohto trojuholníka. Symbolicky zapísané
a zároveň
.
Vonkajší uhol
![\small \angle DBC \small \angle DBC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/72e53311af6b2a1e4ba0ec0f9a544f9b.png)
![\small ABC \small ABC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/cb30b9d797eef60829faab09589e3a61.png)
![\small \angle ABC \small \angle ABC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f6463bc5fac699522e3c433a74affd6b.png)
![\small \angle DBC > \angle BCA \small \angle DBC > \angle BCA](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d5eb7962bd1f83afcb42e2453d0a5199.png)
![\small \angle DBC > \angle BAC \small \angle DBC > \angle BAC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c3a8197c7205625ec1a6d12568dab748.png)
Dôkaz.
Stačí, keď dokážeme platnosť prvého a druhého prípadu. Budeme dokazovať sporom.
Stačí, keď dokážeme platnosť prvého a druhého prípadu. Budeme dokazovať sporom.
- Nech platí
a zároveň nech
, potom
.
Odtiaľ dostávame.
Zároveň zo zhodnostia z tvrdenia o susedných uhloch dostávame
, kde
je bod na polpriamke
taký, že
.
Polpriamkyobe zvierajú s
rovnaký uhol, pričom body
ležia na tej istej strane od
(sú oba na opačnej ako
). To je spor s axiómou Z4.
- Nech platí
,
potom existuje polpriamkamedzi polpriamkami
tak, že platí
.
Teraz tento prípad prevedieme na prvý prípad, ktorého platnosť sme už dokázali. Polpriamkapretína pretína úsečku
(veta o priečke uhla, Chalmovianska, str. 19) v bode
. Potom v trojuholníku
je vonkajší uhol pri vrchole
zhodný s vnútorným uhlom pri vrchole
. To je ale predpoklad prvého prípadu. To však viedlo k sporu, preto nemôže nastať ani druhý prípad.
- V ďalších dvoch prípadoch
;
postupujeme analogicky.
Poznámky.
- Euklides tvrdenie o vonkajšom uhle (uvádza vo svojich Základoch ako tvrdenie T/XVI, pozrite Tu) dokazuje pomocou zhodnosti vrcholových uhlov. V dôkaze využíva vlastnosť (ktorú bližšie nešpecifikuje), že pri "prenášaní" úsečky sa jej veľkosť nemení.
- V Euklidovom dôkaze kľúčovým momentom je predpoklad, že polpriamka
leží medzi polpriamkami
. To Euklides pokladá za všeobecne platnú Zásadu. U Hilberta je to podložené axiómami zhodnosti a usporiadania.
- Zhodnosť vrcholových uhlov dokazuje pomocou vlastnosti, že súčet susedných uhlov sa rovná dvom pravým uhlom. Tvrdenie T/XV, dôkaz pozrite Tu.
- V stredoškolskej matematike sa táto veta uvádza ako Teoréma vonkajšieho uhla. Pozri Wikipédiu Tu