Planimetria - axiomatický systém
Usporiadanie
Axiómy usporiadania
U1: Ak
leží medzi
a
[
], potom
sú tri rôzne kolineárne body a platí tiež, že
leží medzi
a
.
U2: Pre ľubovoľné navzájom rôzne body
existujú body
tak, že
a
.
U3: Pre ľubovoľné tri navzájom rôzne kolineárne body práve jeden z nich leží medzi zvyšnými dvoma.
U4: (Paschova axióma, 1882) Nech priamka
neprechádza žiadnym z nekolineárnych bodov
.
Ak
pretína úsečku
, potom pretína buď úsečku
alebo úsečku
.
U1: Ak
![\small B \small B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/57aeb704b1cab6a566f8b267b676274a.png)
![\small A \small A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/000ed475b96f0afc9079d1afcc66932d.png)
![\small C \small C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/12d338951ac52d50dbc2703c8dffbca1.png)
![\small \mu (ABC) \small \mu (ABC)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/768a6e661fd5dfa4a493066c0b2787d3.png)
![\small A, B, C \small A, B, C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c17e2419a80998338486024e15ce6653.png)
![\small B \small B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/873f96656e81b6bd4fdbcc1ac8ca8d9a.png)
![\small C \small C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/12d338951ac52d50dbc2703c8dffbca1.png)
![\small A \small A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/000ed475b96f0afc9079d1afcc66932d.png)
U2: Pre ľubovoľné navzájom rôzne body
![\small A, C \small A, C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c331dae0c7d1b049b69802669545a227.png)
![\small B, D \small B, D](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6c68989dd5f72535510b2b4d63d2ef2d.png)
![\small \mu( ABC) \small \mu( ABC)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f52855b4023f990f6213e52b233ea852.png)
![\small \mu( ACD) \small \mu( ACD)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f7f690adc3d2529919aa53430affd985.png)
U3: Pre ľubovoľné tri navzájom rôzne kolineárne body práve jeden z nich leží medzi zvyšnými dvoma.
U4: (Paschova axióma, 1882) Nech priamka
![p p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/74d37d601e20578216a4981034dde4bc.png)
![\small A, B, C \small A, B, C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c17e2419a80998338486024e15ce6653.png)
Ak
![p p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/74d37d601e20578216a4981034dde4bc.png)
![\small AB \small AB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c347f70459eca655f417c847e1fb9985.png)
![\small AC \small AC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/111705a5a13cde60aa6db2262ff3c1f6.png)
![\small BC \small BC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/44ac9505640810c514c599160208d332.png)
Definície.
- Nech
sú dva rôzne body. Úsečka
je množina bodov
, ktoré ležia medzi bodmi
zjednotená s dvojprvkovou množinou
. Body
sú krajné body úsečky.
- Nech
sú dva rôzne body. Polpriamka
je množina bodov úsečky
a bodov
, pre ktoré platí
.
- Nech
sú dva rôzne body. Opačná polpriamka k polpriamke
je množina bodov
, pre ktoré platí, že bod
leží medzi bodmi
zjednotenú s jednobodovou množinou
.
Dôkaz.
Z definície polpriamky dostávame
.
Potrebujeme ešte dokázať, že platí
. Zvoľme si ľubovoľný bod
, pre ktorý platí
.
Z definície polpriamky dostávame
![\small AB \subset \overrightarrow{AB} \cap \overrightarrow{BA} \small AB \subset \overrightarrow{AB} \cap \overrightarrow{BA}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d863038b5a7570154818c5e30c0e7abe.png)
Potrebujeme ešte dokázať, že platí
![\small \overrightarrow{AB} \cap \overrightarrow{BA} \subset AB \small \overrightarrow{AB} \cap \overrightarrow{BA} \subset AB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9a367c3ed9330599db93a2d1292ae247.png)
![\small C \small C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5f1080ea0a11a846e6f8c83e0540467d.png)
![\small C \in \overrightarrow{AB} \cap \overrightarrow{BA} \small C \in \overrightarrow{AB} \cap \overrightarrow{BA}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/882fc42bfb7f858de86ead6ccff4dfc3.png)
Dôkaz.
Dôkaz je nutné rozložiť do dvoch krokov (dokazujeme rovnosť množín).
vzhľadom na
máme možnosti:
. Prvé tri možnosti znamenajú, že
Dôkaz je nutné rozložiť do dvoch krokov (dokazujeme rovnosť množín).
- Nech
, potom treba dokázať
. Použite definíciu polriamky.
- Nech
, potom treba dokázať
. Použite definíciu priamky.
![\small C \in \overleftrightarrow{AB} \small C \in \overleftrightarrow{AB}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ee843162ba8f932fbb3d85ae7e4c77ab.png)
![\small A , B \small A , B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/63ba5e4af5c976fa90234e4e6e0704d4.png)
![\small \; \mu( CAB), \;C = A,\; \mu( ACB), \;C = B,\; \mu( ABC) \small \; \mu( CAB), \;C = A,\; \mu( ACB), \;C = B,\; \mu( ABC)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f80c787dd3df4a641ca2e9321851fbee.png)
![\small C \in \overrightarrow {BA} \small C \in \overrightarrow {BA}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7a159df1b36307d2c8b2cf9289ca91b0.png)
Definícia.
Daná je priamka
a body
neležiace na tejto priamke. Hovoríme, že body
• ležia na opačných stranách od danej priamky, ak úsečka
túto priamku pretína, t.j. ak na tejto priamke existuje bod
tak, že
• ležia na tej istej strane od priamky
, ak
alebo ak
a úsečka
priamku
nepretína
(\\small ( p \cap AB= ∅ ) \)
Daná je priamka
![p p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/74d37d601e20578216a4981034dde4bc.png)
![\small A , B \small A , B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/63ba5e4af5c976fa90234e4e6e0704d4.png)
![\small A , B \small A , B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/63ba5e4af5c976fa90234e4e6e0704d4.png)
• ležia na opačných stranách od danej priamky, ak úsečka
![\small AB \small AB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c347f70459eca655f417c847e1fb9985.png)
![\small X \small X](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c1e7fb1bb198880c03d5c789dede8fd8.png)
![\small \mu (AXB) \small \mu (AXB)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5e2e73f75117ac2cb33117d8a595295b.png)
• ležia na tej istej strane od priamky
![p p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/74d37d601e20578216a4981034dde4bc.png)
![\small A = B \small A = B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7a03384bf21884feafa8ce82167fafb0.png)
![\small A \neq B \small A \neq B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e7d49505f63f59dd1c84fac671f8ab1e.png)
![\small AB \small AB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c347f70459eca655f417c847e1fb9985.png)
![p p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/74d37d601e20578216a4981034dde4bc.png)
Príklad.
Dané sú tri nekolineárne body
. Určte množinu (šrafovaním)
.
Konštrukčný návod Tu. Applet, v ktorom je nástroj na vyznačenie polroviny Tu.
Riešenie Tu.
Dané sú tri nekolineárne body
![\small A,B,C \small A,B,C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ffe78d38856554278ac8aac59016dccf.png)
![\small \lbrace{X;XC \cap \overrightarrow{AB}=∅ }\rbrace \small \lbrace{X;XC \cap \overrightarrow{AB}=∅ }\rbrace](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f2464bbf9c5e8d460b2f80e103eb581a.png)
Konštrukčný návod Tu. Applet, v ktorom je nástroj na vyznačenie polroviny Tu.
Riešenie Tu.
Tvrdenie (separačná vlastnosť v rovine, U4S).
Priamka
delí rovinu okrem bodov priamky
na dve triedy tak, že body ležia v tej istej triede práve vtedy, keď
ležia na tej istej strane od priamky
. (t.j. neexistuje bod
taký, že
, kde
a
sú dané body).
Dôkaz pozri prácu [CHAL] .
Priamka
![p p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/74d37d601e20578216a4981034dde4bc.png)
![p p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/74d37d601e20578216a4981034dde4bc.png)
ležia na tej istej strane od priamky
![p p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/74d37d601e20578216a4981034dde4bc.png)
![\small X \in p \small X \in p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/959568d923e5761b9e346270a3bf1002.png)
![\small \mu (AXB) \small \mu (AXB)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5e2e73f75117ac2cb33117d8a595295b.png)
![\small A \small A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/000ed475b96f0afc9079d1afcc66932d.png)
![\small B \small B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/873f96656e81b6bd4fdbcc1ac8ca8d9a.png)
Dôkaz pozri prácu [CHAL] .
Definície.
Pozrite si tiež definície v práci [MON] kapitola 2: "Konvexná množina".