Kubovčík, M.: Kužeľosečky
Študijný materiál v elektronickej podobe bol vytvorený v rámci diplomovej práce Tvorba študijných materiálov z geometrie pre budúcich učiteľov matematiky. Čitateľ v ňom nájde problematiku kvadratických geometrických útvarov (kužeľosečiek), ktoré sú skúmané syntetickou a analytickou metódou.
7. Riadiaca priamka kužeľosečky
7.2. Dôkaz vety pre singulárne kužeľosečky
Nech súradnicová os
KSS je kolmá na riadiacu priamku
a prechádza pevným bodom
. Pre hľadané body roviny
platí, že neležia na riadiacej priamke
, preto
. Označme
vzdialenosť daného bodu
od danej riadiacej priamky
:
.
Súradnice pevne zvoleného bodu sú
, pričom
a koeficient
je z rovnice popisujúcu riadiacu priamku
. Pre numerickú výstrednosť danej kužeľosečky, ktorá je popísaná bodmi roviny
, pevne zvoleným bodom
a riadiacou priamkou
platí:
![\epsilon= \frac{|XF|}{|Xd|} \Rightarrow |XF|= \epsilon.|Xd| \epsilon= \frac{|XF|}{|Xd|} \Rightarrow |XF|= \epsilon.|Xd|](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6a7728fbf114ad599e602856c496b95c.png)
Podrobnejšie si rozoberieme dané vzdialenosti:
![\sqrt{(x-e)^2+y^2}= \epsilon. \sqrt{(x-c)^2} \sqrt{(x-e)^2+y^2}= \epsilon. \sqrt{(x-c)^2}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/859b038ac6c7c2fb2d518d8207388165.png)
Vytvoríme kvadratickú rovnicu s neznámymi
, keďže kužeľosečky sú algebrické krivky 2. stupňa:
![(1- \epsilon^2)x^2-(e- \epsilon^2c)2x+y^2+(e^2- \epsilon^2c^2)=0 (1- \epsilon^2)x^2-(e- \epsilon^2c)2x+y^2+(e^2- \epsilon^2c^2)=0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c588654ef3591fb6238bd92775679afc.png)
Keďže pevný bod
leží na riadiacej priamke
, tak platí
. Riadiaca priamka
je vzdialená od počiatku KSS o konštantu
. Vytvorená kvadratická rovnica s neznámymi
nadobudne nasledujúci tvar:
![y^2=( \epsilon^2-1)(x-c)^2 y^2=( \epsilon^2-1)(x-c)^2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/73c57d332c3072d443d07e94130d5f18.png)
Pomocou poslednej odvodenej rovnice sa budeme zaoberať prípadmi s veľkosťami numerickej excentricity:
- dostali sme prázdnu množinu
- dostali sme totožné rovnobežky
- dostali sme zjednotenie rôznobežiek.
![x x](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png)
![d d](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8277e0910d750195b448797616e091ad.png)
![F F](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/800618943025315f869e4e1f09471012.png)
![X [x; y] X [x; y]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/77046f7175b62e08861002c3fc77c3a3.png)
![d d](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8277e0910d750195b448797616e091ad.png)
![|Xd| \neq 0 |Xd| \neq 0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/63717f98e6422236312fe21114b983da.png)
![p p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png)
![F F](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/800618943025315f869e4e1f09471012.png)
![d d](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8277e0910d750195b448797616e091ad.png)
![p = |Fd| p = |Fd|](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5f5e2245be237a7860724e9f47ea47c6.png)
Súradnice pevne zvoleného bodu sú
![F[e;0] F[e;0]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d45ce59d231cd820e6eddd0c9b0e2176.png)
![e=c+p e=c+p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/eeee1f1005abbfd2619a69ffc74d3353.png)
![c c](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png)
![d: x = c d: x = c](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f803bb9ffa91ef88d59c0d115bef21df.png)
![X X](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png)
![F F](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/800618943025315f869e4e1f09471012.png)
![d d](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8277e0910d750195b448797616e091ad.png)
![\epsilon= \frac{|XF|}{|Xd|} \Rightarrow |XF|= \epsilon.|Xd| \epsilon= \frac{|XF|}{|Xd|} \Rightarrow |XF|= \epsilon.|Xd|](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6a7728fbf114ad599e602856c496b95c.png)
Podrobnejšie si rozoberieme dané vzdialenosti:
![\sqrt{(x-e)^2+y^2}= \epsilon. \sqrt{(x-c)^2} \sqrt{(x-e)^2+y^2}= \epsilon. \sqrt{(x-c)^2}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/859b038ac6c7c2fb2d518d8207388165.png)
Vytvoríme kvadratickú rovnicu s neznámymi
![x, y x, y](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2317793a8de61ab32c0f17adff9ea8d4.png)
![(1- \epsilon^2)x^2-(e- \epsilon^2c)2x+y^2+(e^2- \epsilon^2c^2)=0 (1- \epsilon^2)x^2-(e- \epsilon^2c)2x+y^2+(e^2- \epsilon^2c^2)=0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c588654ef3591fb6238bd92775679afc.png)
Keďže pevný bod
![F F](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/800618943025315f869e4e1f09471012.png)
![d d](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8277e0910d750195b448797616e091ad.png)
![p=0 p=0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a4c895310f8869f8fd643b114d927b60.png)
![d d](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8277e0910d750195b448797616e091ad.png)
![c=e c=e](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/404827c6585b2c63e6a305324062a471.png)
![x, y x, y](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2317793a8de61ab32c0f17adff9ea8d4.png)
![y^2=( \epsilon^2-1)(x-c)^2 y^2=( \epsilon^2-1)(x-c)^2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/73c57d332c3072d443d07e94130d5f18.png)
Pomocou poslednej odvodenej rovnice sa budeme zaoberať prípadmi s veľkosťami numerickej excentricity:
![\epsilon < 1 \Rightarrow ( \epsilon^2-1) < 0 \Rightarrow ( \epsilon^2-1)(x-c)^2 < 0 \neq y^2 \Rightarrow K= \emptyset \epsilon < 1 \Rightarrow ( \epsilon^2-1) < 0 \Rightarrow ( \epsilon^2-1)(x-c)^2 < 0 \neq y^2 \Rightarrow K= \emptyset](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5f35e01e295742cbe571cdc179273b6b.png)
![\epsilon = 1 \Rightarrow ( \epsilon^2-1) = 0 \Rightarrow ( \epsilon^2-1)(x-c)^2 = 0 = y^2 \Rightarrow K= \{ y^2 = 0 \} \epsilon = 1 \Rightarrow ( \epsilon^2-1) = 0 \Rightarrow ( \epsilon^2-1)(x-c)^2 = 0 = y^2 \Rightarrow K= \{ y^2 = 0 \}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c1aecc5e0ad131f78b7e147bdad62ac3.png)
![\epsilon > 1 \Rightarrow ( \epsilon^2-1) > 0 \Rightarrow ( \epsilon^2-1)(x-c)^2 > 0 \wedge y^2 > 0 \Rightarrow K= \{ y = x\sqrt{ \epsilon^2 - 1} \} \epsilon > 1 \Rightarrow ( \epsilon^2-1) > 0 \Rightarrow ( \epsilon^2-1)(x-c)^2 > 0 \wedge y^2 > 0 \Rightarrow K= \{ y = x\sqrt{ \epsilon^2 - 1} \}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/706ac6723a21663e999231d6640cd51a.png)