Didaktika matematiky

Nech súradnicová os $x$ KSS je kolmá na riadiacu priamku $d$ a prechádza pevným bodom $F$. Pre hľadané body roviny $X [x; y]$ platí, že neležia na riadiacej priamke $d$, preto $|Xd| \neq 0$. Označme $p$ vzdialenosť daného bodu $F$ od danej riadiacej priamky $d$:
$p = |Fd|$.
Súradnice pevne zvoleného bodu sú $F[e;0]$, pričom $e=c+p$ a koeficient $c$ je z rovnice popisujúcu riadiacu priamku $d: x = c$. Pre numerickú výstrednosť danej kužeľosečky, ktorá je popísaná bodmi roviny $X$, pevne zvoleným bodom $F$ a riadiacou priamkou $d$ platí:
$\epsilon= \frac{|XF|}{|Xd|} \Rightarrow |XF|= \epsilon.|Xd|$
Podrobnejšie si rozoberieme dané vzdialenosti:
$\sqrt{(x-e)^2+y^2}= \epsilon. \sqrt{(x-c)^2}$
Vytvoríme kvadratickú rovnicu s neznámymi $x, y$, keďže kužeľosečky sú algebrické krivky 2. stupňa:
$(1- \epsilon^2)x^2-(e- \epsilon^2c)2x+y^2+(e^2- \epsilon^2c^2)=0$
Keďže pevný bod $F$ leží na riadiacej priamke $d$, tak platí $p=0$. Riadiaca priamka $d$ je vzdialená od počiatku KSS o konštantu $c=e$. Vytvorená kvadratická rovnica s neznámymi $x, y$ nadobudne nasledujúci tvar:
$y^2=( \epsilon^2-1)(x-c)^2$
Pomocou poslednej odvodenej rovnice sa budeme zaoberať prípadmi s veľkosťami numerickej excentricity:
$\epsilon < 1 \Rightarrow ( \epsilon^2-1) < 0 \Rightarrow ( \epsilon^2-1)(x-c)^2 < 0 \neq y^2 \Rightarrow K= \emptyset$ - dostali sme prázdnu množinu
$\epsilon = 1 \Rightarrow ( \epsilon^2-1) = 0 \Rightarrow ( \epsilon^2-1)(x-c)^2 = 0 = y^2 \Rightarrow K= \{ y^2 = 0 \}$ - dostali sme totožné rovnobežky 
$\epsilon > 1 \Rightarrow ( \epsilon^2-1) > 0 \Rightarrow ( \epsilon^2-1)(x-c)^2 > 0 \wedge y^2 > 0 \Rightarrow K= \{ y = x\sqrt{ \epsilon^2 - 1} \}$ - dostali sme zjednotenie rôznobežiek.