Kubovčík, M.: Kužeľosečky
Študijný materiál v elektronickej podobe bol vytvorený v rámci diplomovej práce Tvorba študijných materiálov z geometrie pre budúcich učiteľov matematiky. Čitateľ v ňom nájde problematiku kvadratických geometrických útvarov (kužeľosečiek), ktoré sú skúmané syntetickou a analytickou metódou.
7. Riadiaca priamka kužeľosečky
7.1. Dôkaz vety pre regulárne kužeľosečky
Nech súradnicová os
KSS je kolmá na riadiacu priamku
a prechádza bodom
. Pre hľadané body roviny
platí,
že neležia na riadiacej priamke
, preto
. Označme
vzdialenosť daného bodu
od danej riadiacej priamky
:
.
Pre označenie ďalších potrebných vzdialeností si pomôžeme nasledujúcim obrázkom
Vidíme na obrázku, že súradnice pevne zvoleného bodu sú
, kde
, riadiaca priamka
je
popísaná rovnicou
.
Pre numerickú výstrednosť danej kužeľosečky, ktorá je popísaná bodmi
, pevne zvoleným bodom
a riadiacou priamkou
, platí:
Vytvoríme kvadratickú rovnicu s neznámymi x, y, keďže kužeľosečky sú krivky 2. stupňa:
.
Nech počiatok KSS je zvolený tak, aby v kvadratickej rovnici vypadol absolútny člen
, takže potom
.
Keďže možnosť
nevyhovuje pre ľubovoľné kladné
, tak budeme predpokladať, že
.
Odvodená kvadratická rovnica nadobudne tzv. vrcholový tvar všeobecnej rovnice kužeľosečky:
.
Z definície riadiacej priamky kužeľosečky vyplýva, že vzdialenosť stredu príslušnej kužeľosečky
od riadiacej priamky
je rovná:
Ďalej sme si označili vzdialenosť pevne zvoleného bodu
od riadiacej priamky
.
![x x](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png)
![d d](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8277e0910d750195b448797616e091ad.png)
![F F](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/800618943025315f869e4e1f09471012.png)
![X[x; y] X[x; y]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4ac2c3ad15e55af00f37154fc98bdc57.png)
že neležia na riadiacej priamke
![d d](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8277e0910d750195b448797616e091ad.png)
![|Xd| ≠ 0 |Xd| ≠ 0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/97926c5a19ea9426085a7afd9168f5f5.png)
![p p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png)
![F F](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/800618943025315f869e4e1f09471012.png)
![d d](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8277e0910d750195b448797616e091ad.png)
![p = |Fd| p = |Fd|](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5f5e2245be237a7860724e9f47ea47c6.png)
Pre označenie ďalších potrebných vzdialeností si pomôžeme nasledujúcim obrázkom
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9052/riadiaca%20priamka%20KSS.png)
Vidíme na obrázku, že súradnice pevne zvoleného bodu sú
![F[e; 0] F[e; 0]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/053dae281ef4069bc7dab12eafb2a293.png)
![e = c + p e = c + p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2c6bb9079d3584d90e1baa1337a1614c.png)
![d d](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8277e0910d750195b448797616e091ad.png)
![d: x = c d: x = c](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f31a82be4dda45c09beaef49b51e56b0.png)
Pre numerickú výstrednosť danej kužeľosečky, ktorá je popísaná bodmi
![X X](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png)
![F F](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/800618943025315f869e4e1f09471012.png)
![d d](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8277e0910d750195b448797616e091ad.png)
![\epsilon = \frac{|XF|}{|Xd|} \Rightarrow |XF|=\epsilon.|Xd| \epsilon = \frac{|XF|}{|Xd|} \Rightarrow |XF|=\epsilon.|Xd|](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c3a563264132731c57809dc9178a9c32.png)
![\sqrt{(x-e)^2+y^2}=\epsilon. \sqrt{(x-c)^2} \sqrt{(x-e)^2+y^2}=\epsilon. \sqrt{(x-c)^2}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/440f920eec64e99fe5a9b232b6d78fc6.png)
Vytvoríme kvadratickú rovnicu s neznámymi x, y, keďže kužeľosečky sú krivky 2. stupňa:
![(1 − 𝜀^2)𝑥^2− 2(𝑒 − 𝜀^2𝑐)𝑥 + 𝑦^2+ (𝑒^2− 𝜀^2𝑐^2) = 0 (1 − 𝜀^2)𝑥^2− 2(𝑒 − 𝜀^2𝑐)𝑥 + 𝑦^2+ (𝑒^2− 𝜀^2𝑐^2) = 0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2cb2e2cd6790d3cb7412175de950bb94.png)
Nech počiatok KSS je zvolený tak, aby v kvadratickej rovnici vypadol absolútny člen
![e^2− 𝜀^2c^2 e^2− 𝜀^2c^2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/68c7ca462c8af72ecda417e4576f93e1.png)
![e^2= 𝜀^2c^2 e^2= 𝜀^2c^2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c0161af88b45621cc64c3f794c83f1e5.png)
Keďže možnosť
![𝑒 = 𝜀𝑐 𝑒 = 𝜀𝑐](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a30f0ae2bc2923f9be5509aa1afcebbd.png)
![𝜀 𝜀](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a48cbdf77c33b02dad8ed1e6cb66693a.png)
![𝑒 = − 𝜀𝑐 𝑒 = − 𝜀𝑐](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/26dd7f071ae637d7890957a372730dcb.png)
Odvodená kvadratická rovnica nadobudne tzv. vrcholový tvar všeobecnej rovnice kužeľosečky:
![𝑦^2 = 2𝑝𝜀𝑥 + (𝜀^2 − 1)𝑥^2 𝑦^2 = 2𝑝𝜀𝑥 + (𝜀^2 − 1)𝑥^2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e5cdeccb260477afa356cfb3cdc61cc9.png)
Z definície riadiacej priamky kužeľosečky vyplýva, že vzdialenosť stredu príslušnej kužeľosečky
![S S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png)
![d d](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8277e0910d750195b448797616e091ad.png)
![|Sd|= \frac{a}{\epsilon} |Sd|= \frac{a}{\epsilon}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/27e61abcde4362b757d9e4df6ee5d86d.png)
Ďalej sme si označili vzdialenosť pevne zvoleného bodu
![F F](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/800618943025315f869e4e1f09471012.png)
![p = |Fd| p = |Fd|](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5f5e2245be237a7860724e9f47ea47c6.png)
Najprv ukážeme platnosť vety pre elipsu. Pomôžeme si nasledujúcim obrázkom:
Pomocou obrázka si vyjadríme parameter p:
Vyjadrený parameter p dosadíme do vrcholovej rovnice kužeľosečky:
Túto rovnicu postupne upravíme na stredový tvar elipsy, pričom dosadíme
:
![y^2 = 2( \frac{a^2}{e} -e ) \frac{e}{a}x + (( \frac{e}{a})^2-1)x^2 y^2 = 2( \frac{a^2}{e} -e ) \frac{e}{a}x + (( \frac{e}{a})^2-1)x^2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d26b5edccaca7ce2822088ae54573b00.png)
![y^2 = (( \frac{e}{a} )^2-1)(x-a)^2 + (a^2 - e^2) y^2 = (( \frac{e}{a} )^2-1)(x-a)^2 + (a^2 - e^2)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bf2bd4a0e4827b349df9b541cbdf55fc.png)
![\frac{y^2}{a^2-e^2} + \frac{x^2}{a^2}=1 \frac{y^2}{a^2-e^2} + \frac{x^2}{a^2}=1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3204b997b65fcdf2330da2cba33ba04a.png)
Dostali sme stredovú rovnicu elipsy.
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9052/elipsa%20a%20riadiaca%20priamka%20vo%20vete.png)
Pomocou obrázka si vyjadríme parameter p:
![|Sd|= \frac{a}{\epsilon} =e+p \Rightarrow p=\frac{a}{\epsilon} -e |Sd|= \frac{a}{\epsilon} =e+p \Rightarrow p=\frac{a}{\epsilon} -e](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d86a96d25be08be28fe3978c6108d97e.png)
Vyjadrený parameter p dosadíme do vrcholovej rovnice kužeľosečky:
![y^2=2( \frac{a}{\epsilon}-e)\epsilon x + (\epsilon ^2 -1)x^2 y^2=2( \frac{a}{\epsilon}-e)\epsilon x + (\epsilon ^2 -1)x^2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f6aa2bf438cb8088ba9a3e3a50ee933a.png)
Túto rovnicu postupne upravíme na stredový tvar elipsy, pričom dosadíme
![\epsilon= \frac{e}{a} \epsilon= \frac{e}{a}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b1fe7da6fb45126129f4d08484c6c13b.png)
![y^2 = 2( \frac{a^2}{e} -e ) \frac{e}{a}x + (( \frac{e}{a})^2-1)x^2 y^2 = 2( \frac{a^2}{e} -e ) \frac{e}{a}x + (( \frac{e}{a})^2-1)x^2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d26b5edccaca7ce2822088ae54573b00.png)
![y^2 = (( \frac{e}{a} )^2-1)(x-a)^2 + (a^2 - e^2) y^2 = (( \frac{e}{a} )^2-1)(x-a)^2 + (a^2 - e^2)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bf2bd4a0e4827b349df9b541cbdf55fc.png)
![\frac{y^2}{a^2-e^2} + \frac{x^2}{a^2}=1 \frac{y^2}{a^2-e^2} + \frac{x^2}{a^2}=1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3204b997b65fcdf2330da2cba33ba04a.png)
Dostali sme stredovú rovnicu elipsy.
Pre parabolu predpokladáme, že
. Potom vrcholová rovnica kužeľosečky má tvar:
![y^2 = 2px y^2 = 2px](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2d319e5541ba599c99beac70a84dea2a.png)
Zrejme ide o vrcholovú rovnicu paraboly.
![\epsilon = 1 \epsilon = 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b4eb64a9617960307250c0a0a88d010e.png)
![y^2 = 2px y^2 = 2px](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2d319e5541ba599c99beac70a84dea2a.png)
Zrejme ide o vrcholovú rovnicu paraboly.