Didaktika matematiky

Nech súradnicová os $x$ KSS je kolmá na riadiacu priamku $d$ a prechádza bodom $F$. Pre hľadané body roviny $X[x; y]$ platí,
že neležia na riadiacej priamke $d$, preto $|Xd| ≠ 0$. Označme $p$ vzdialenosť daného bodu $F$ od danej riadiacej priamky $d$:
$p = |Fd|$.
Pre označenie ďalších potrebných vzdialeností si pomôžeme nasledujúcim obrázkom

Vidíme na obrázku, že súradnice pevne zvoleného bodu sú $F[e; 0]$, kde $e = c + p$, riadiaca priamka $d$ je popísaná rovnicou $d: x = c$.
Pre numerickú výstrednosť danej kužeľosečky, ktorá je popísaná bodmi $X$, pevne zvoleným bodom $F$ a riadiacou priamkou $d$, platí:
$\epsilon = \frac{|XF|}{|Xd|} \Rightarrow |XF|=\epsilon.|Xd|$
$\sqrt{(x-e)^2+y^2}=\epsilon. \sqrt{(x-c)^2}$
Vytvoríme kvadratickú rovnicu s neznámymi x, y, keďže kužeľosečky sú krivky 2. stupňa:
$(1 − 𝜀^2)𝑥^2− 2(𝑒 − 𝜀^2𝑐)𝑥 + 𝑦^2+ (𝑒^2− 𝜀^2𝑐^2) = 0$.
Nech počiatok KSS je zvolený tak, aby v kvadratickej rovnici vypadol absolútny člen $e^2− 𝜀^2c^2$, takže potom $e^2= 𝜀^2c^2$.
Keďže možnosť $𝑒 = 𝜀𝑐$ nevyhovuje pre ľubovoľné kladné $𝜀$, tak budeme predpokladať, že $𝑒 = − 𝜀𝑐$.
Odvodená kvadratická rovnica nadobudne tzv. vrcholový tvar všeobecnej rovnice kužeľosečky:
$𝑦^2 = 2𝑝𝜀𝑥 + (𝜀^2 − 1)𝑥^2$.
Z definície riadiacej priamky kužeľosečky vyplýva, že vzdialenosť stredu príslušnej kužeľosečky $S$ od riadiacej priamky $d$ je rovná:
$|Sd|= \frac{a}{\epsilon}$
Ďalej sme si označili vzdialenosť pevne zvoleného bodu $F$ od riadiacej priamky $p = |Fd|$.

Najprv ukážeme platnosť vety pre elipsu. Pomôžeme si nasledujúcim obrázkom:

Pomocou obrázka si vyjadríme parameter p:
$|Sd|= \frac{a}{\epsilon} =e+p \Rightarrow p=\frac{a}{\epsilon} -e$
Vyjadrený parameter p dosadíme do vrcholovej rovnice kužeľosečky:
$y^2=2( \frac{a}{\epsilon}-e)\epsilon x + (\epsilon ^2 -1)x^2$
Túto rovnicu postupne upravíme na stredový tvar elipsy, pričom dosadíme $\epsilon= \frac{e}{a}$:
$y^2 = 2( \frac{a^2}{e} -e ) \frac{e}{a}x + (( \frac{e}{a})^2-1)x^2$
$y^2 = (( \frac{e}{a} )^2-1)(x-a)^2 + (a^2 - e^2)$
$\frac{y^2}{a^2-e^2} + \frac{x^2}{a^2}=1$
Dostali sme stredovú rovnicu elipsy.

Pre parabolu predpokladáme, že $\epsilon = 1$. Potom vrcholová rovnica kužeľosečky má tvar:
$y^2 = 2px$
Zrejme ide o vrcholovú rovnicu paraboly.

Nakoniec ukážeme platnosť vety pre hyperbolu. Pomôžeme si nasledujúcim obrázkom:

Pomocou pomocného obrázka si vyjadríme parameter $p$: 
$|SF| = e = \frac{a}{\epsilon} + p \Rightarrow p= e- \frac{a}{ \epsilon}$
Vyjadrený parameter $p$ dosadíme do vrcholovej rovnice kužeľosečky:
$y^2 = 2(e- \frac{a^2}{e}) \frac{e}{a}x+(( \frac{e}{a})^2-1)x^2$
$y^2 = (( \frac{e}{a})^2-1)(x+a)^2 + (a^2 - e^2)$
$\frac{(x+a)^2}{a^2} - \frac{y^2}{e^2-a^2}=1$
Dostali sme stredovú rovnicu hyperboly.