Kubovčík, M.: Kužeľosečky
Študijný materiál v elektronickej podobe bol vytvorený v rámci diplomovej práce Tvorba študijných materiálov z geometrie pre budúcich učiteľov matematiky. Čitateľ v ňom nájde problematiku kvadratických geometrických útvarov (kužeľosečiek), ktoré sú skúmané syntetickou a analytickou metódou.
6. Analytické vyjadrenie kužeľosečiek
6.1. Stredová a vrcholová rovnica kužeľosečky
Elipsa
je množina všetkých bodov
roviny
,
ktorých súčet vzdialeností od dvoch pevných bodov (ohnísk)
je stály a rovný
, pričom konštanta
:
.
Počiatok karteziánskej sústave súradníc (KSS) stotožníme so stredom elipsy, hlavná a vedľajšia os elipsy je totožná s osami KSS
a vzdialenosť ohnísk od stredu označíme
(lineárna excentricita). Potom pre súradnice týchto bodov platí:
.
Podľa definície leží bod
] na elipse
práve vtedy, keď platí:
=
.
Ďalším umocňovaním a úpravami dostaneme:
.
Ak stred elipsy je bod
a ohniská ležia na rovnobežke s osou
prechádzajúcou bodom
, potom stredová rovnica elipsy:
.
![𝔈 𝔈](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2f82e55087465d60e85667a891a75d83.png)
![M M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png)
![𝜌 𝜌](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8c25a3a0388757d58b8d5f4ba1281850.png)
ktorých súčet vzdialeností od dvoch pevných bodov (ohnísk)
![F_1, F_2 F_1, F_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6a79fe3cf32b49d14b6b0a23e93cf3f2.png)
![2a 2a](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e36314e624d2b2ca257e1f1ecb381f93.png)
![2𝑎 > |F_1F_2| 2𝑎 > |F_1F_2|](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4b13a541182ba108a55e271de8a85a44.png)
![𝔈 = \{∀M∈𝜌; |MF_1| + |MF_2| = 2𝑎\} 𝔈 = \{∀M∈𝜌; |MF_1| + |MF_2| = 2𝑎\}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/91956a60b7cb2aca4a6e954b8e046dcb.png)
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9049/stredova%20rovnica%20elipsy.png)
Počiatok karteziánskej sústave súradníc (KSS) stotožníme so stredom elipsy, hlavná a vedľajšia os elipsy je totožná s osami KSS
a vzdialenosť ohnísk od stredu označíme
![e e](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e1671797c52e15f763380b45e841ec32.png)
![S[0; 0], F_1[-e; 0], F_2[e; 0] S[0; 0], F_1[-e; 0], F_2[e; 0]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3fbd2bcfb1655c7db06945c1db05722e.png)
Podľa definície leží bod
![M[x; y M[x; y](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d531ecb0eda2e1c6f8136af113f6bf81.png)
![𝔈 𝔈](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2f82e55087465d60e85667a891a75d83.png)
![|MF _1| + |MF_2| |MF _1| + |MF_2|](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/665780dec49df52e157ed985b10efc2e.png)
![\sqrt{(x+e)^2 +y^2} + \sqrt{(x-e)^2 +y^2} = 2a \sqrt{(x+e)^2 +y^2} + \sqrt{(x-e)^2 +y^2} = 2a](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e53e362423107f522bf1ddc49a88922f.png)
Ďalším umocňovaním a úpravami dostaneme:
![\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2-e^2}=1 \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2-e^2}=1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f8246aa479d2ebb92ddbd789ebf074c6.png)
Ak stred elipsy je bod
![S[m; n] S[m; n]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5052e1eedc1daed03437c681e8aa3d8e.png)
![x x](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png)
![S S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png)
![\frac{(x-m)^2}{a^2} + \frac{(y-n)^2}{b^2} =1 \frac{(x-m)^2}{a^2} + \frac{(y-n)^2}{b^2} =1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/de6036cc5a72864a5aeaa3c6607b4d45.png)
Hyperbola
je množina všetkých bodov
roviny
,
ktorých rozdiel vzdialeností od dvoch pevných bodov (ohnísk)
je stály a rovný
, pričom konštanta
:
.
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9049/stredova%20rovnica%20hyperboly.png)
Počiatok karteziánskej sústave súradníc (KSS) stotožníme so stredom hyperboly, hlavná a vedľajšia os elipsy je totožná s osami KSS
a vzdialenosť ohnísk od stredu označíme
(lineárna excentricita). Potom pre súradnice týchto bodov platí:
.
Podľa definície leží bod
na hyperbole
práve vtedy, keď platí:
=|
.
Ďalším umocňovaním a úpravami dostaneme:
.
Ak stred hyperboly je bod S[m; n] a ohniská ležia na rovnobežke s osou x prechádzajúcou bodom S, potom stredová rovnica hyperboly:
.
![ℌ ℌ](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/38785c2088c86e8b38a33208378dea43.png)
![M M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png)
![𝜌 𝜌](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8c25a3a0388757d58b8d5f4ba1281850.png)
ktorých rozdiel vzdialeností od dvoch pevných bodov (ohnísk)
![F_1, F_2 F_1, F_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6a79fe3cf32b49d14b6b0a23e93cf3f2.png)
![2a 2a](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e36314e624d2b2ca257e1f1ecb381f93.png)
![2𝑎 < |F_1F_2| 2𝑎 < |F_1F_2|](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3c0ccf3b2e000038b3187c6aa51a6d4b.png)
![ℌ = \{∀M∈𝜌; ||MF_1| − |MF_2|| = 2𝑎\} ℌ = \{∀M∈𝜌; ||MF_1| − |MF_2|| = 2𝑎\}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/63d5d7d25455e9318806aed8ff806818.png)
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9049/stredova%20rovnica%20hyperboly.png)
Počiatok karteziánskej sústave súradníc (KSS) stotožníme so stredom hyperboly, hlavná a vedľajšia os elipsy je totožná s osami KSS
a vzdialenosť ohnísk od stredu označíme
![e e](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e1671797c52e15f763380b45e841ec32.png)
![S[0; 0], F_1[-e; 0], F_2[e; 0] S[0; 0], F_1[-e; 0], F_2[e; 0]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3fbd2bcfb1655c7db06945c1db05722e.png)
Podľa definície leží bod
![M[x; y] M[x; y]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/05b89453b51c3ac375aeacbc6a7f181d.png)
![𝔈 𝔈](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2f82e55087465d60e85667a891a75d83.png)
![||MF_1| − |MF_2|| ||MF_1| − |MF_2||](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8e194ffd6e96abc12b3534100c48e069.png)
![\sqrt{(x+e)^2 +y^2} - \sqrt{(x-e)^2 +y^2}| = 2a \sqrt{(x+e)^2 +y^2} - \sqrt{(x-e)^2 +y^2}| = 2a](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e02884e05f78dc6756a6e7ed50153203.png)
Ďalším umocňovaním a úpravami dostaneme:
![\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{e^2-a^2}=1 \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{e^2-a^2}=1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d4f28f35de26491336a32fad3d9ef763.png)
Ak stred hyperboly je bod S[m; n] a ohniská ležia na rovnobežke s osou x prechádzajúcou bodom S, potom stredová rovnica hyperboly:
![\frac{(x-m)^2}{a^2} - \frac{(y-n)^2}{b^2} =1 \frac{(x-m)^2}{a^2} - \frac{(y-n)^2}{b^2} =1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/590d4e5f374a744890a35dbf49231fa1.png)
Parabola
je množina všetkých bodov
roviny
,
ktoré majú rovnakú vzdialenosť od pevného bodu (ohnisko)
a pevnej (riadiacej) priamky
:
.
Parabolu v KSS umiestnime tak, aby vrchol
ležal na jej počiatku. Riadiacu priamku paraboly
vieme popísať rovnicou
.
Ohnisko má súradnice
. Podľa definície leží bod
na parabole
práve vtedy, keď platí:
.
.
Ďalším umocňovaním a úpravami dostaneme:
.
Ak vrchol paraboly je bod
a ohnisko leží na rovnobežke s osou
prechádzajúcou bodom
, potom vrcholová rovnica paraboly:
.
![𝔓 𝔓](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2997d4238e3143a4a97c135f7a89809f.png)
![M M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png)
![𝜌 𝜌](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8c25a3a0388757d58b8d5f4ba1281850.png)
ktoré majú rovnakú vzdialenosť od pevného bodu (ohnisko)
![F F](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/800618943025315f869e4e1f09471012.png)
![d d](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8277e0910d750195b448797616e091ad.png)
![𝔓 = \{∀M∈𝜌; |MF| = |M𝑑|\} 𝔓 = \{∀M∈𝜌; |MF| = |M𝑑|\}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/dce79d770acf95de1390e8b517dd1301.png)
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9049/vrcholov%C3%A1%20rovnica%20paraboly.png)
Parabolu v KSS umiestnime tak, aby vrchol
![V V](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5206560a306a2e085a437fd258eb57ce.png)
![d d](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8277e0910d750195b448797616e091ad.png)
![d: x= -\frac{p}{2} d: x= -\frac{p}{2}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8ebd153f03f9f8d2fa4679d5bcaafcbb.png)
Ohnisko má súradnice
![F[𝑝/2; 0] F[𝑝/2; 0]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a71f3cee78cfc5827342208f2a3b5e07.png)
![M[x; y] M[x; y]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/cf2a1516111d0aba727db8b6611dc143.png)
![𝔓 𝔓](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2997d4238e3143a4a97c135f7a89809f.png)
![|MF| = |M𝑑| |MF| = |M𝑑|](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0d31d2d9a38363298e473a984149b3b7.png)
![\sqrt{(x- \frac{p}{2})^2+y^2 }=x+ \frac{p}{2} \sqrt{(x- \frac{p}{2})^2+y^2 }=x+ \frac{p}{2}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/528d9c5996369bb5288c0dc217812e6b.png)
Ďalším umocňovaním a úpravami dostaneme:
![𝑦^2 = 2𝑝𝑥 𝑦^2 = 2𝑝𝑥](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c873a27cfa7cb483e3e54008e3e4910d.png)
Ak vrchol paraboly je bod
![V[m; n] V[m; n]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5088170b081e7fea2f4e42bface36dc0.png)
![x x](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png)
![V V](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5206560a306a2e085a437fd258eb57ce.png)
![(𝑦 − 𝑛)^2 = 2𝑝(𝑥 − 𝑚) (𝑦 − 𝑛)^2 = 2𝑝(𝑥 − 𝑚)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b26e4a30218eb5da8b79d063f283a495.png)