Didaktika matematiky

Elipsa $𝔈$ je množina všetkých bodov $M$ roviny $𝜌$,
ktorých súčet vzdialeností od dvoch pevných bodov (ohnísk) $F_1, F_2$ je stály a rovný $2a$, pričom konštanta $2𝑎 > |F_1F_2|$:
$𝔈 = \{∀M∈𝜌; |MF_1| + |MF_2| = 2𝑎\}$.

Počiatok karteziánskej sústave súradníc (KSS) stotožníme so stredom elipsy, hlavná a vedľajšia os elipsy je totožná s osami KSS
a vzdialenosť ohnísk od stredu označíme $e$ (lineárna excentricita). Potom pre súradnice týchto bodov platí:
$S[0; 0], F_1[-e; 0], F_2[e; 0]$.
Podľa definície leží bod $M[x; y$] na elipse $𝔈$ práve vtedy, keď platí:
$|MF _1| + |MF_2|$=$\sqrt{(x+e)^2 +y^2} + \sqrt{(x-e)^2 +y^2} = 2a$. 
Ďalším umocňovaním a úpravami dostaneme:
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2-e^2}=1$.
Ak stred elipsy je bod $S[m; n]$ a ohniská ležia na rovnobežke s osou $x$ prechádzajúcou bodom $S$, potom stredová rovnica elipsy:
$\frac{(x-m)^2}{a^2} + \frac{(y-n)^2}{b^2} =1$.

Hyperbola $ℌ$ je množina všetkých bodov $M$ roviny $𝜌$,
ktorých rozdiel vzdialeností od dvoch pevných bodov (ohnísk) $F_1, F_2$ je stály a rovný $2a$, pričom konštanta $2𝑎 < |F_1F_2|$:
$ℌ = \{∀M∈𝜌; ||MF_1| − |MF_2|| = 2𝑎\}$.


Počiatok karteziánskej sústave súradníc (KSS) stotožníme so stredom hyperboly, hlavná a vedľajšia os elipsy je totožná s osami KSS
a vzdialenosť ohnísk od stredu označíme $e$ (lineárna excentricita). Potom pre súradnice týchto bodov platí:
$S[0; 0], F_1[-e; 0], F_2[e; 0]$.
Podľa definície leží bod $M[x; y]$ na hyperbole $𝔈$ práve vtedy, keď platí:
$||MF_1| − |MF_2||$ =|$\sqrt{(x+e)^2 +y^2} - \sqrt{(x-e)^2 +y^2}| = 2a$. 
Ďalším umocňovaním a úpravami dostaneme:
$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{e^2-a^2}=1$.
Ak stred hyperboly je bod S[m; n] a ohniská ležia na rovnobežke s osou x prechádzajúcou bodom S, potom stredová rovnica hyperboly:
$\frac{(x-m)^2}{a^2} - \frac{(y-n)^2}{b^2} =1$.

Parabola $𝔓$ je množina všetkých bodov $M$ roviny $𝜌$,
ktoré majú rovnakú vzdialenosť od pevného bodu (ohnisko) $F$ a pevnej (riadiacej) priamky $d$:
$𝔓 = \{∀M∈𝜌; |MF| = |M𝑑|\}$.

Parabolu v KSS umiestnime tak, aby vrchol $V$ ležal na jej počiatku. Riadiacu priamku paraboly $d$ vieme popísať rovnicou
$d: x= -\frac{p}{2}$ .
Ohnisko má súradnice $F[𝑝/2; 0]$. Podľa definície leží bod $M[x; y]$ na parabole $𝔓$ práve vtedy, keď platí:
$|MF| = |M𝑑|$.
$\sqrt{(x- \frac{p}{2})^2+y^2 }=x+ \frac{p}{2}$.
Ďalším umocňovaním a úpravami dostaneme:
$𝑦^2 = 2𝑝𝑥$.
Ak vrchol paraboly je bod $V[m; n]$ a ohnisko leží na rovnobežke s osou $x$ prechádzajúcou bodom $V$, potom vrcholová rovnica paraboly:
$(𝑦 − 𝑛)^2 = 2𝑝(𝑥 − 𝑚)$.