Kubovčík, M.: Kužeľosečky
Študijný materiál v elektronickej podobe bol vytvorený v rámci diplomovej práce Tvorba študijných materiálov z geometrie pre budúcich učiteľov matematiky. Čitateľ v ňom nájde problematiku kvadratických geometrických útvarov (kužeľosečiek), ktoré sú skúmané syntetickou a analytickou metódou.
4. Kužeľosečka ako rovinný rez rotačnej kužeľovej plochy
4.3. Dôkaz vety pre hyperbolu
Nech je daná rotačná kužeľová plocha
a rovinný rez
rovnobežný práve s dvomi tvoriacimi priamkami kužeľovej plochy.
Ak chceme dokázať, že prienik rovinného rezu
a rotačnej kužeľovej plochy
je hyperbola, tak nám stačí ukázať,
že body tohto prieniku majú konštantný rozdiel vzdialeností od dvoch pevných bodov
(ohniská).
Do rotačnej kužeľovej plochy
vpíšeme guľové plochy
(dotýkajúce sa kužeľovej plochy pozdĺž kružníc
) tak,
aby rovinný rez
bol ich dotyková rovina. Body dotyku označíme
.
Zvolíme si ľubovoľný bod
. Budeme viesť povrchovú priamku rotačnej kužeľovej plochy
prechádzajúcu týmto bodom.
Označme
. Platí:
,
pretože priamky
sú dotyčnice guľovej plochy
a zároveň body
na tejto guľovej ploche ležia. Obdobne platí:
.
Dostávame, že:
.
Takto sme dostali, že všetky také body
sú vzdialené od dvoch pevných bodov
o konštantný rozdiel vzdialeností.
Takúto množinu bodov danej vlastnosti nazývame hyperbola.
![K K](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188.png)
![𝜌 𝜌](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8c25a3a0388757d58b8d5f4ba1281850.png)
Ak chceme dokázať, že prienik rovinného rezu
![𝜌 𝜌](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8c25a3a0388757d58b8d5f4ba1281850.png)
![K K](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188.png)
že body tohto prieniku majú konštantný rozdiel vzdialeností od dvoch pevných bodov
![F_1, F_2 F_1, F_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6a79fe3cf32b49d14b6b0a23e93cf3f2.png)
Do rotačnej kužeľovej plochy
![K K](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188.png)
![G_1, G_2 G_1, G_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e23ef381a428f9775ceda852e64ece2e.png)
![k_1, k_2 k_1, k_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5d05619eb8780fc8dafa6cac332c1ddf.png)
aby rovinný rez
![𝜌 𝜌](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8c25a3a0388757d58b8d5f4ba1281850.png)
![F_1, F_2 F_1, F_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6a79fe3cf32b49d14b6b0a23e93cf3f2.png)
Zvolíme si ľubovoľný bod
![M ∈ 𝐾 ∩ 𝜌 M ∈ 𝐾 ∩ 𝜌](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/263a003e0448f7cf9a1fc0d2d205bb63.png)
![p p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png)
Označme
![X ∈ 𝑘_1 ∩ 𝑝, Y ∈ 𝑘_2 ∩ 𝑝 X ∈ 𝑘_1 ∩ 𝑝, Y ∈ 𝑘_2 ∩ 𝑝](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a6400884ae7a806acf058acb3361ae06.png)
![|MF_1| = |MX| |MF_1| = |MX|](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9b15603fe6881e842eab1bafac08e4e0.png)
pretože priamky
![MF_1, MX MF_1, MX](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5230642ce282d5840a0b0892399910b6.png)
![G_1 G_1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b57eb533b3d9c18d104bb0b9a5a80bbe.png)
![F_1, X F_1, X](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/481858c8a1c5f77ce2058f21338d4272.png)
![|MF_2| = |MY| |MF_2| = |MY|](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9b046d819b6ce55eac9b3ab8f77003fb.png)
Dostávame, že:
![||MF_1| − |MF_2|| = ||MX| − |MY|| = |XY| ||MF_1| − |MF_2|| = ||MX| − |MY|| = |XY|](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0f40b48cfa57bf7003f429986bb87d8c.png)
Takto sme dostali, že všetky také body
![M ∈ 𝐾 ∩ 𝜌 M ∈ 𝐾 ∩ 𝜌](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/263a003e0448f7cf9a1fc0d2d205bb63.png)
![F_1, F_2 F_1, F_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6a79fe3cf32b49d14b6b0a23e93cf3f2.png)
Takúto množinu bodov danej vlastnosti nazývame hyperbola.
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9045/hyperbola%20D-Q%20veta.png)