Didaktika matematiky

4. Kužeľosečka ako rovinný rez rotačnej kužeľovej plochy

4.1. Dôkaz vety pre elipsu

Ak chceme dokázať, že prienik rovinného rezu $𝜌$ a rotačnej kužeľovej plochy $K$ je elipsa, 
tak nám stačí ukázať, že body tohto prieniku majú konštantný súčet vzdialeností od dvoch pevných bodov (ohnísk).
Do rotačnej kužeľovej plochy vpíšeme dve guľové plochy $G_1, G_2$
dotýkajúce sa tejto kužeľovej plochy $K$ pozdĺž kružníc $k_1, k_2$ tak,
aby rovinný rez $𝜌$ bol ich spoločná dotyková rovina s bodmi dotyku $F_1, F_2$.
Zvoľme ľubovoľný bod $M ∈ 𝐾 ∩ 𝜌$ a ukážeme, že tento bod $M$ patrí elipse.
Ďalej nech priamka (povrchová cez kužeľovú plochu) $p$ je taká,
že prechádza obomi kružnicami $k_1, k_2$ a zároveň $X ∈ 𝑘_1 ∩ 𝑝, Y ∈ 𝑘_2 ∩ 𝑝$. Platí:
$|MF_1| = |MX|$,
pretože priamky $MF_1$, $MX$ sú dotyčnice guľovej plochy $G_1$ a zároveň body $F_1, X$ na tejto guľovej ploche ležia.
Obdobne platí:
$|MF_2| = |MY|$.
Pre vzdialenosť bodov $X, Y$ dostávame nasledujúcu rovnosť:
$|XY| = |MX| + |MY| = |MF_1| + |MF_2|$.
Takto sme dostali, že všetky také body $M ∈ 𝐾 ∩ 𝜌$ sú vzdialené od dvoch pevných bodov $F_1, F_2$ o konštantný súčet vzdialeností.
Takúto množinu bodov danej vlastnosti nazývame elipsa.

$<span class="nolink">\( .$\)