Kubovčík, M.: Kužeľosečky
Študijný materiál v elektronickej podobe bol vytvorený v rámci diplomovej práce Tvorba študijných materiálov z geometrie pre budúcich učiteľov matematiky. Čitateľ v ňom nájde problematiku kvadratických geometrických útvarov (kužeľosečiek), ktoré sú skúmané syntetickou a analytickou metódou.
4. Kužeľosečka ako rovinný rez rotačnej kužeľovej plochy
Quételetova – Dandelinova veta:
Rezom rotačnou kužeľovou plochou neprechádzajúcou jej vrcholom, je:
• elipsa práve vtedy, keď rovinný rez pretína všetky tvoriace priamky kužeľovej plochy;
• parabola práve vtedy, keď rovinný rez je rovnobežný práve s jednou tvoriacou priamkou kužeľovej plochy;
• hyperbola práve vtedy, keď rovinný rez je rovnobežný práve s dvomi tvoriacimi priamkami kužeľovej plochy.
Tieto kužeľosečky majú ohniská v dotykových bodoch guľových plôch vpísaných rotačnej kužeľovej ploche a dotýkajúcich sa rovinných rezov.
Rezom rotačnou kužeľovou plochou neprechádzajúcou jej vrcholom, je:
• elipsa práve vtedy, keď rovinný rez pretína všetky tvoriace priamky kužeľovej plochy;
• parabola práve vtedy, keď rovinný rez je rovnobežný práve s jednou tvoriacou priamkou kužeľovej plochy;
• hyperbola práve vtedy, keď rovinný rez je rovnobežný práve s dvomi tvoriacimi priamkami kužeľovej plochy.
Tieto kužeľosečky majú ohniská v dotykových bodoch guľových plôch vpísaných rotačnej kužeľovej ploche a dotýkajúcich sa rovinných rezov.
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9040/Qu%C3%A9teletova%20Dandelinova%20veta.png)
Nech
je rovinný rez neprechádzajúci vrcholom rotačnej kužeľovej plochy
.
Nech
je uhol, ktorý zvierajú tvoriace priamky rotačnej kužeľovej plochy s rovinou kolmou na os kužeľovej plochy.
Nech
je uhol, ktorý zviera rovinný rez s rovinou kolmou na os kužeľovej plochy. Rezom
je:
• elipsa práve vtedy, keď
;
• parabola práve vtedy, keď
;
• hyperbola práve vtedy, keď
.
![𝜌 𝜌](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8c25a3a0388757d58b8d5f4ba1281850.png)
![K K](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188.png)
Nech
![𝛽 𝛽](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0e7f3b46f4d0f9934ad7c461a514723e.png)
Nech
![𝛼 𝛼](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/09ca3dd2241640373623a025abf03cb3.png)
![𝜌 ∩ 𝐾 𝜌 ∩ 𝐾](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/84dc857142ac82bf8f7e6194a24f8fdc.png)
• elipsa práve vtedy, keď
![𝛼 < 𝛽 𝛼 < 𝛽](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/db3d9bba09d3c5236a7dc97d06889b66.png)
• parabola práve vtedy, keď
![𝛼 = 𝛽 𝛼 = 𝛽](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b89c457103b00161ad0c4c70389cbf87.png)
• hyperbola práve vtedy, keď
![𝛼 > 𝛽 𝛼 > 𝛽](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0358357bfdd6dc4cc3548985149f6bf0.png)
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9040/kuzelosecka%20a%20rovinny%20rez%20kuzelovou%20plochou.png)