Kubovčík, M.: Kužeľosečky
Študijný materiál v elektronickej podobe bol vytvorený v rámci diplomovej práce Tvorba študijných materiálov z geometrie pre budúcich učiteľov matematiky. Čitateľ v ňom nájde problematiku kvadratických geometrických útvarov (kužeľosečiek), ktoré sú skúmané syntetickou a analytickou metódou.
1. Elipsa
1.1. Konštrukcia elipsy
Ohnisková (bodová) konštrukcia:
najprv zostrojíme úsečku
o veľkosti \2a\) a na nej si zvolíme ľubovoľný bod
potom zostrojíme tzv. hyperoskulačné kružnice
takto získame body
patriace hľadanej elipsy ako prienik hyperoskulačných kružníc
ďalšie body elipsy získame podobným postupom ľubovoľnou voľbou bodu
na úsečke ![PQ PQ](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/08d6d8834ad9ec87b1dc7ec8148e7a1f.png)
![PQ PQ](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/08d6d8834ad9ec87b1dc7ec8148e7a1f.png)
![M M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png)
![k_1(F_1, r_1 = |PM|), k_2(F_2, r_2= |QM|) k_1(F_1, r_1 = |PM|), k_2(F_2, r_2= |QM|)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/84a752713764826434125eba0057f0d5.png)
![M_1, M_2 M_1, M_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ce38d8bbcac0481707774a9d5fea616b.png)
![M M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png)
![PQ PQ](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/08d6d8834ad9ec87b1dc7ec8148e7a1f.png)
Trojuholníková (zástavková) konštrukcia:
- využívame vtedy, ak máme zadané stred elipsy
, veľkosti hlavnej a vedľajšej polosi
, hlavnú a vedľajšiu os
- zostrojíme sústredné kružnice
- vedieme ľubovoľnú priamku p prechádzajúcu stredom elipsy
- získame priesečníky polpriamky a sústredných kružníc:
- zostrojíme takéto priamky
- získame bod elipsy
ako priesečník zostrojených priamok:
Prúžková konštrukcia:
- využívame vtedy, ak máme zadanú hlavnú os
, hlavné vrcholy
a bod
, ktorý patrí elipse, ale nie je vrcholom tejto elipsy
- nájdeme stred elipsy
ako stred úsečky
- takto poznáme veľkosť hlavnej polosi
, teraz nám stačí nájsť veľkosť vedľajšej polosi
- najprv zostrojíme vedľajšiu os
- potom zostrojíme kružnicu
so stredom v bode
a polomerom
, t. j.
- získame priesečník
- zostrojíme priamku
a získame priesečník
tejto priamky a hlavnej osi
- hľadaná veľkosť vedľajšej polosi
je
- obdobne postupujeme, keď poznáme vedľajšie vrcholy
, s rozdielom, že hľadáme veľkosť hlavnej polosi
Rytzova konštrukcia:
- využívame vtedy, keď poznáme združené priemery elipsy
- keďže združené priemery sa pretínajú v strede elipsy, tak najprv nájdeme tento stred elipsy
, a potom otočíme bod
o
okolo bodu
, t. j.
- nájdeme bod
ako stred úsečky
- zostrojíme kružnicu \(𝑘(O; r = |OS|)\)a priamku
- získame priesečníky
kružnice
a priamky
také, pre ktoré platí: