Neeuklidovská geometria euklidovsky
Poincaré model
- model vznikne ako stredový priemet dvojdielneho hyperboloidu
- stred premietanie je vrchol
(spodná časť) hyperboloidu
- premietame do roviny kolmej na os hyperboloidu, ktorá prechádza stredom hyperboloidu
- priemetom hyperboloidu
je zrejme otvorený kruh
- tento otvorený kruh so stredom
sa nazýva Poincaré Disc
- dvojdielny hyperboloid a rovina kolmá na os hyperboloidu prechádzajúca jeho stredom Tu.
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/350338/mod_book/chapter/6515/Sn%C3%ADmka%20%281%29.png)
Tvrdenie
Dôkaz
- Dôkaz prvej časti tohto tvrdenia vyplýva z vlastností stredového premietania, v ktorom sa kužeľová plocha obaľujúca hyperboloid zobrazí do kružnice
. To znamená, že ľubovoľný bod hyperboloidu sa zobrazí do vnútra kruhu
. Otvorte si obrázok Tu
- Dôkaz druhej časti o priemete h-priamky (reálne stredovej hyperboly) rozdelíme na dve etapy i. a ii.
Pohybujte bodmi, applet si stiahnete Tu.
- Nech
je dvojica združených bodov hyperboloidu a nech
sú ich stredové priemety. Pre súčin vzdialeností
bodov
od stredu
hyperboloidu platí:
.
Dôkaz toho, že súčin vzdialenostíje konštantný je prezentovaný v nižšie priloženom applete. Pozrite si obrázok a otvorte si applet.
Obrázok, applet si otvoríte programom GeoGebra Tu. - Musíme ešte dokázať, že ľubovoľná dvojica združených bodov
leží na kružnici kolmej na kružnicu
. V tejto etape dôkazu budeme potrebovať tvrdenie o mocnosti bodu ku kružnici. Viac o mocnosti bodu ku kružnice nájdete v kurze Planimetria a stereometria Tu.
- Nech
Mocnosť bodu ku kružnici
Je daná kružnica
a bod
, ležiaci zvonka kružnice. Nech
je sečnica kružnice
vedená bodom
a
nech
sú priesečníky sečnice
s kružnicou
.
Pod mocnosťou bodu
ku kružnici
rozumieme číslo
, pre ktoré platí:
.
Je daná kružnica
![\small k (S_k, r_k) \small k (S_k, r_k)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b5ba2576a87f271ed2ed708c58b4863f.png)
![\small O \small O](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/776f7fdcc973a68ed004a5b078975489.png)
![p p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/74d37d601e20578216a4981034dde4bc.png)
![k k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/365c0b3ff8a6fa58b7ae709949b55608.png)
![\small O \small O](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/776f7fdcc973a68ed004a5b078975489.png)
![\small A_1, A'_1 \small A_1, A'_1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/cb1b94e689bb5791b51f3c41713e54a5.png)
![p p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/74d37d601e20578216a4981034dde4bc.png)
![\small k (S_k, r_k) \small k (S_k, r_k)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b5ba2576a87f271ed2ed708c58b4863f.png)
![\small O \small O](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/776f7fdcc973a68ed004a5b078975489.png)
![\small k (S_k, r_k) \small k (S_k, r_k)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b5ba2576a87f271ed2ed708c58b4863f.png)
![m m](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9b201df56bca8cf871c68453376127fc.png)
![\small m = |OA_1| . |OA'_1| \small m = |OA_1| . |OA'_1|](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/744a1124ef2db04567f5f1fe0ff3c038.png)
Vlastnosť mocnosť stačí vhodne aplikovať na náš prípad. Ilustráciu tvrdenia o priemete h-priamky prezentuje nasledujúci applete. Podrobný dôkaz (časti ii.) nájde čitateľ v ďalšej podkapitole s názvom "Hyperbolická priamka". Pozrite si tiež kapitolu "The Poincaré Disk Model" v práci [HIT].