Didaktika matematiky

Nech $a_1,a_2, ... , a_n \in \mathbb{R}$ sú ľubovoľné reálne čísla. Potom platia nerovnosti:
Harmonický priemer
$H = \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n}}$
Geometrický priemer
$G = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdots a_n}$
Aritmetický priemer
$A = \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}$
Kvadratický priemer
$Q = \sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}{n}}$

Pre aritmetický a geometrický priemer platí nerovnosť:
$\sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdots a_n} \leq \large \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}$.

Dôkaz matematickou indukciou:

1. Pre $n=2$ dôkaz je prijateľný na úrovni 1. ročníka strednej škola. Použijeme najskôr algebraické úpravy, pričom nerovnosť aritmetického a geometrického priemeru
   $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt[]{ab}$, $0 < a \leq b$
   prepíšeme do ekvivalentnej formy
   $( \sqrt[]{a} -\sqrt[]{b} )^2 \geq 0$,
   ktorá je pravdivým výrokom pre ľubovoľné dve reálne čísla. Pre stredoškolákov je prijateľná aj geometrická verzia tohto dôkazu, kde sa využíva Euklidova veta o výške.
   
   Uvažujme pravouhlý trojuholník $\small ABC$ s pravým uhlom pri vrchole $\small C$. Nech Tálesova polkružnica zostrojená nad preponou $\small AB$ (obrázok) má polomer $\frac{a+b}{2}$ a nech $\small C_0$ je bod, pre ktorý platí $\small AC_0=a$ a $\small C_0B=b$. Kolmica k prepone $\small AB$ prechádzajúca bodom $\small C_0$ je zrejme výška trojuholníka $\small ABC$ pretínajúca Tálesovu polkružnicu v bode $\small C$. Trojuholníky $\small AC_0C$ a $\small C_0CB$ sú podobné, preto platí $\frac{a}{C_0C} = \frac{C_0C}{b}$. Odtiaľ následne $\small C_0C= \sqrt[]{ab}$. Jednoznačne $\sqrt[]{ab} \leq$ polomer kružnice $=(a+b)/2$. Rovnosť nastane len ak platí $a=b$ resp. $C_0=C_1$.
    Otvorte si applet Tu
2. Pre $n>2$ môžeme využiť nasledovný dôkaz:
   Geometrický priemer čísel $a_1, a_2, ... a_n$ označme $z= \sqrt[n]{a_1 a_2 ... a_n}$, ďalej označme
   $x_1= \frac{a_1}{z}$, $x_2= \frac{a_1 a_2}{z^2}$, ..., $x_n= \frac{a_1 a_2 ... a_n}{z^n} =1$
   $y_1= \frac{1}{x_1}$, $y_2= \frac{1}{x_2}$, ..., $y_n= \frac{1}{x_n} =1$
   Pretože sú n-tice opačne usporiadané, platí nasledujúca nerovnosť, do ktorej rovno čísla $x_i$, $y_i$ dosadíme a ekvivalentne upravíme:
   $x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n \leq x_1y_n + x_2y_1+x_3y_2+...+x_ny_{n-1}$,
   $1+1+...+1 \leq \frac{a_1}{z} +\frac{a_2}{z} +...+\frac{a_n}{z}$,
   $n \leq \frac{a_1+a_2+...+a_n}{z}$
   $z= \sqrt[n]{a_1a_2...a_n} \leq \frac{a_1+a_2+...a_n}{n}$
   Tým je AG-nerovnosť pre čísla $a_1, a_2, ..., a_n$ dokázaná.

Dôkaz matematickou indukciou nájdete na Wikipédii Tu.