Stereometrické vzťahy
Metrické vzťahy
Vzdialenosť útvarov
Nech
je kolmica na rovinu
.
Priesečník
kolmice s danou rovinou nazveme päta kolmice.
Ak
, tak na základe vlastnosti pravouhlého trojuholníka ( prepona je väčšia ako odvesna) platí
.
To nám umožňuje zaviesť nasledujúcu definíciu vzdialenosti bodu od roviny.
![k k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/365c0b3ff8a6fa58b7ae709949b55608.png)
![\alpha \alpha](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a86a9f423465d727dd59fa89ba9cb8a5.png)
![\small R \small R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/47ed1de59ac22c0f2140731e19b5db1b.png)
Ak
![\small M \neq R \small M \neq R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/960f700d187409764c5dfbfc25fcb871.png)
![\small \forall X \small \forall X](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/61a246693cbe29ae25dbab239379a681.png)
![\in \alpha:\; \small MX > MR \in \alpha:\; \small MX > MR](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d224219733fdf3503a7d62b5a73ff0d1.png)
To nám umožňuje zaviesť nasledujúcu definíciu vzdialenosti bodu od roviny.
Definícia.
-
Vzdialenosť bodu
od roviny
je dĺžka úsečky
, kde bod
je päta kolmice z bodu
na rovinu
.
-
Pod vzdialenosťou dvoch geometrických útvarov
sa rozumie najmenšia z úsečiek
(alebo dĺžka tejto úsečky) pre
.
- Vzdialenosťou dvoch rovnobežných rovín nazývame vzdialenosť ľubovoľného bodu jednej z rovín od druhej roviny.
Dôsledky.
Cvičenie.
V kocke
určte konštrukčne i výpočtom vzdialenosť vrcholu
od roviny
.
Dĺžka hrany kocky sa rovná nenulovému reálnemu číslu
.
V kocke
![\small ABCDA'... D' \small ABCDA'... D'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/178a48b6278d983c0195bde074677f6a.png)
![\small A' \small A'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/049677c3690889adff8ece879546ec4b.png)
![\small AB'D' \small AB'D'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e6523c5e9714747b6640e866d1ae2491.png)
![a a](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e49736f09a17efd3daec360132426f43.png)
Popis konštrukcie a výpočet
Vzdialenosť bodu
od roviny
sa rovná dĺžke úsečky
, kde
je
päta kolmice z bodu
na rovinu
.
Keďže telesová uhlopriečka kocky je kolmá na všetky jej stenové uhlopriečky, s ktorými nie je rôznobežná (dokážte to), tak priamka prechádzajúca bodom
a kolmá na rovinu
je telesová uhlopriečka
.
Zrejme päta
kolmice
na rovinu
(rovnostranný trojuholník) je ortocentrom a zároveň ťažiskom trojuholníka
.
Ďalej platí
. Odkiaľ vyplýva:
.
Vzdialenosť bodu
![\small A' \small A'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/049677c3690889adff8ece879546ec4b.png)
![\alpha =\small AB'D' \alpha =\small AB'D'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e38a6ef5f3ce7ea1d9e8dd604b22c558.png)
![\small A'R \small A'R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2ac06ea304555543a292eda0e8013613.png)
![\small R \small R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/47ed1de59ac22c0f2140731e19b5db1b.png)
![\small A' \small A'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/049677c3690889adff8ece879546ec4b.png)
![\alpha \alpha](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a86a9f423465d727dd59fa89ba9cb8a5.png)
Keďže telesová uhlopriečka kocky je kolmá na všetky jej stenové uhlopriečky, s ktorými nie je rôznobežná (dokážte to), tak priamka prechádzajúca bodom
![\small A' \small A'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/049677c3690889adff8ece879546ec4b.png)
![\alpha \alpha](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a86a9f423465d727dd59fa89ba9cb8a5.png)
![\small A'C \small A'C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8b2b917bc2a3409cc2b8c27692c0e363.png)
Zrejme päta
![\small R \small R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/47ed1de59ac22c0f2140731e19b5db1b.png)
![\small A'C \small A'C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8b2b917bc2a3409cc2b8c27692c0e363.png)
![\small AB'D' \small AB'D'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e6523c5e9714747b6640e866d1ae2491.png)
![\small \triangle AB'D' \small \triangle AB'D'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ca4aa203a77cde823d997f02692b8e28.png)
![\small \mu( A'CR ) \small \mu( A'CR )](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/567080a69905804c21cfe7c6290fb66c.png)
![= - \frac{1}{2} = - \frac{1}{2}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8c6f8b674d265f541d15a9e1e6b9f4a1.png)
![d(\small A d(\small A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/14fd8d0da86371c5d47592eca793b7ab.png)
![, \alpha)=\small |A'R|=|A'C| , \alpha)=\small |A'R|=|A'C|](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e24ce4a9041afe7a8cb434378abc92ae.png)
![= \frac{a \sqrt[]{3} }{3} = \frac{a \sqrt[]{3} }{3}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/fd40495dba0c8fdd2d829e858680c03b.png)