Didaktika matematiky

Nech $k$ je kolmica na rovinu $\alpha$. Priesečník $\small R$ kolmice s danou rovinou nazveme päta kolmice.

Ak $\small M \neq R$, tak na základe vlastnosti pravouhlého trojuholníka ( prepona je väčšia ako odvesna) platí
$\small \forall X$ $\in \alpha:\; \small MX > MR$.
To nám umožňuje zaviesť nasledujúcu definíciu vzdialenosti bodu od roviny.

Definícia.

1. Vzdialenosť bodu $\small M$ od roviny $\alpha$ je dĺžka úsečky $\small MR$, kde bod $\small R$ je päta kolmice z bodu $\small M$ na rovinu $\alpha$.
2. Pod vzdialenosťou dvoch geometrických útvarov $\small U_1,U_2$ sa rozumie najmenšia z úsečiek $\small XY$ (alebo dĺžka tejto úsečky) pre $\small X \in U_1, Y \in U_2$ .
3. Vzdialenosťou dvoch rovnobežných rovín nazývame vzdialenosť ľubovoľného bodu jednej z rovín od druhej roviny.

Dôsledky.

1. Všetky priamky kolmé na tú istú rovinu sú navzájom rovnobežné.
2. Vzdialenosť bodu $\small M$ od roviny a je najmenšia z úsečiek $\small MX, \;X$ $\in \alpha$.

Cvičenie.
V kocke $\small ABCDA'... D'$ určte konštrukčne i výpočtom vzdialenosť vrcholu $\small A'$ od roviny $\small AB'D'$. Dĺžka hrany kocky sa rovná nenulovému reálnemu číslu $a$.

Popis konštrukcie a výpočet
Vzdialenosť bodu $\small A'$ od roviny $\alpha =\small AB'D'$ sa rovná dĺžke úsečky $\small A'R$, kde $\small R$ je päta kolmice z bodu $\small A'$ na rovinu $\alpha$.
Keďže telesová uhlopriečka kocky je kolmá na všetky jej stenové uhlopriečky, s ktorými nie je rôznobežná (dokážte to), tak priamka prechádzajúca bodom $\small A'$ a kolmá na rovinu $\alpha$ je telesová uhlopriečka $\small A'C$.

Zrejme päta $\small R$ kolmice $\small A'C$ na rovinu $\small AB'D'$ (rovnostranný trojuholník) je ortocentrom a zároveň ťažiskom trojuholníka $\small \triangle AB'D'$. Ďalej platí $\small \mu( A'CR )$ $= - \frac{1}{2}$. Odkiaľ vyplýva: $d(\small A$ $, \alpha)=\small |A'R|=|A'C|$ $= \frac{a \sqrt[]{3} }{3}$.

______________________________________________________________
Obrázky sú prevzaté z publikácie
Klenková, P.: Stereometria – elementárna geometria trojrozmerného euklidovského priestoru, Diplomová práca, UK FMFI, Bratislava 2006