Stereometrické vzťahy
Rovnobežnosť útvarov
Vzájomná poloha rovín
Dohovor
Ak sa medzi skúmanou trojicou rovín
vyskytne dvojica rovín navzájom rovnobežných, tak bez ujmy na obecnosti ju označíme
(lexikografický prístup).
To neznamená, že dvojicou rovnobežných rovín nemôže byť dvojica
alebo
.
Ak sa medzi skúmanou trojicou rovín
![\alpha, \beta, \gamma \alpha, \beta, \gamma](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/339fe5f8fa3d98ed8ff0791b2b1a5a24.png)
![( \alpha, \beta) ( \alpha, \beta)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9d0ba467558d5897d3fe56b4731b99ed.png)
To neznamená, že dvojicou rovnobežných rovín nemôže byť dvojica
![( \alpha, \gamma ) ( \alpha, \gamma )](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5760858bc6e9a4eddf3d73fb65dc2d7d.png)
![( \beta, \gamma ) ( \beta, \gamma )](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/58aebb327ffa168a149f760ac8486226.png)
Klasifikácia vzájomnej polohy troch rovín
-
Nech platí
. Pre rovinu
potom platí: alebo
alebo
- Uvažujme o rovinách
, pre ktoré
,
. Obrázok vľavo. Z tranzitívnosti relácie rovnobežnosti rovín vyplýva záver:
je trojica navzájom rôznych rovnobežných rovín.
- Nech platí:
∧
. Dôsledkom je rôznobežnosť rovín
(v opačnom prípade by boli všetky tri roviny navzájom rovnobežné, čo je spor s predpokladom). Je zrejmé, že priesečnice dvojíc rovín
sú navzájom rovnobežné priamky. (Odôvodnite.) Záver: Roviny
sú navzájom rovnobežné a rovina
ich pretína v dvoch navzájom rovnobežných priamkach
. Obr. vpravo.
- Nech platí:
. Skúmajme vzájomnú polohu priamky
s rovinou
. Môže nastať práve jeden z prípadov: (
alebo
alebo
.
Tvrdenie. Existuje päť vzájomných polôh troch navzájom rôznych rovín:
- všetky tri roviny sú navzájom rovnobežné
- dve rovnobežné roviny pretína tretia v navzájom rovnobežných priamkach
- všetky tri roviny majú spoločnú práve jednu priamku (os zväzku rovín)
- všetky tri roviny majú spoločný práve jeden bod
- všetky dvojice rovín sú navzájom rôznobežné roviny a ich priesečnice sú navzájom rôzne rovnobežné priamky.
______________________________________________________________
Obrázky sú prevzaté z publikácie
Klenková, P.: Stereometria – elementárna geometria trojrozmerného euklidovského priestoru, Diplomová práca, UK FMFI, Bratislava 2006
Obrázky sú prevzaté z publikácie
Klenková, P.: Stereometria – elementárna geometria trojrozmerného euklidovského priestoru, Diplomová práca, UK FMFI, Bratislava 2006
... ...