Euklidovský priestor
Metrické vzťahy
Medzi základné metrické pojmy zaraďujeme
- uhol - dvoch priamok, priamky a roviny a dvojice rovín.
- kolmosť - dvoch priamok, kolmosť priamky a roviny a kolmosť dvojice rovín, kritériá kolmosti
- vzdialenosť- dvoch geometrických útvarov.
Definícia
Uhol mimobežných priamok
je uhol zhodný s uhlom ľubovoľných dvoch rôznobežiek
, pričom
.
Otvorte si zadanie Tu ...
V applete posúvaním bodov
vytvorte takú polohu mimobežiek, aby boli na seba kolmé.
Uhol mimobežných priamok
![a, b a, b](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4e676f0670583528cb3211008b7fb1d4.png)
![a', b' a', b'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7d3dba98bfb63f1836049514ce781a8b.png)
![a \parallel a', b \parallel b' a \parallel a', b \parallel b'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/32ff39e2f092f6fcf3e7132940035c0e.png)
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/293118/mod_book/chapter/5663/Sn%C3%ADmka124710%20%282%29.png)
V applete posúvaním bodov
![\small R,S \small R,S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/dbde8dedbfa47b5838840dcb39442508.png)
Aby bola definícia korektná, dokážeme najprv nezávislosť takto definovaného uhla od výberu dvojice
rôznobežiek
.
![a', b' a', b'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7d3dba98bfb63f1836049514ce781a8b.png)
Tvrdenie
Nech
sú dve ľubovoľné mimobežky a nech
sú dva body
. Zostrojme priamky
a
tak,
aby
a
a zároveň
. Potom platí:
.
Nech
![a, b a, b](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4e676f0670583528cb3211008b7fb1d4.png)
![\small M',M'' \small M',M''](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a592eb28b8daf9cf6955559b38c83aee.png)
![\small E_3 \small E_3](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c28027cbf4e754833940fb34f1443a28.png)
![a', b' a', b'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7d3dba98bfb63f1836049514ce781a8b.png)
![a'', b'' a'', b''](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b8e42815b8076292d2e73108a06d29ae.png)
![\small M' \small M'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1d9884a183509679bcafde7538904f09.png)
![\in a' \cap b' \in a' \cap b'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f65c2edd8b7d804ce9004a098f1920bc.png)
![\small M'' \small M''](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b3d18c89535bbdcf1a5caf48c2cd9dd4.png)
![\in a'' \cap b'' \in a'' \cap b''](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6ba31d35ddedefb404cca0014dfbb9f5.png)
![a' \parallel a'', b' \parallel b'' a' \parallel a'', b' \parallel b''](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d22e35d044332ee57cad47aa88b6a162.png)
![\angle a'b'=\angle a''b'' \angle a'b'=\angle a''b''](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/dbca0e5714c1d291b134c90b797915b7.png)
Dôkaz
Zvoľme si dva rôzne body
incidentné s rovnomennými priamkami tak, aby
. Pozri obrázok nižšie. Ďalej zostrojme body
tak, aby útvary
boli rovnobežníky. Je zrejmé, že aj útvar
je rovnobežníkom a
trojuholníky
sú zhodné (veta sss). Preto sa zhodujú vo všetkých uhloch.
Zvoľme si dva rôzne body
![\small A',B' \small A',B'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2200894ac051c182b1d6dc7eb8cf43c1.png)
![\small A' \neq M \neq B' \small A' \neq M \neq B'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7e737510e24be6a82b7c817f42c5063b.png)
![\small A'',B'' \small A'',B''](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/92faea67a5d93c8d4f432bf0efb505d3.png)
![\small A'M'M''A'', B'M'M''B'' \small A'M'M''A'', B'M'M''B''](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0ca19b650fa1d13919947f2e546f1e69.png)
![\small A'B'B''A'' \small A'B'B''A''](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/334e97ea33a9c7924513883509f4b1e3.png)
![\small A'M'B', A''M''B'' \small A'M'B', A''M''B''](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f079e94092cef8c0b05bab143e448477.png)
Definícia
- Uhlom priamok
nazývame uhol ľubovoľných dvoch nedisjunktných priamok
, pre ktoré platí:
. Uhol dvoch rovnobežiek nazývame nulovým uhlom.
Otvorte si applet Tu
- Kolmé priamky nazývame také priamky, ktorých uhol je pravý.
- Priamka kolmá na rovinu [hovoríme aj kolmica na rovinu] je priamka kolmá na všetky priamky roviny.
Dôsledok
- Priamka kolmá na rovinu je s touto rovinou rôznobežná.
- Priamka kolmá na dve rôznobežky danej roviny je s touto rovinou rôznobežná.
________________________________________________________________
1) Euklidove Základy, Kniha 1,Tvrdenie XI a XII.
1) Euklidove Základy, Kniha 1,Tvrdenie XI a XII.
...