Úvodné cvičenie

Úloha 1

Pomocou matematickej indukcie dokážte, že pre všetky prirodzené čísla  n \geq1   platí:  1^3+2^3+...+n^3= \frac{1}{4} n^2 (n+1)^2
Nech n=1 , potom ľavá strana je rovná 1 a pravá je rovná \frac{1}{4} 1^3 .2^2=1 .
   Predpokladajme, že rovnosť
          1^3 + 2^3 + ... + k^3= \frac{1}{4} k^2 (k+1)^2
   platí pre \forall k < n .
   Ukážeme, že platí aj pre (k+1) \in N . Počítajme
           1^3 + 2^3 + ... + k^3+(k+1)^3= \frac{1}{4} k^2 (k+1)^2 +(k+1)^3= 
           =(k+1)^2(\frac{1}{4} k^2+ (k + 1) ] = \frac{1}{4}(k+1)^2(k^2+4k+4)=\frac{1}{4}(k+1)^2[(k+1)+1]^2
   Teda pre všetky prirodzené čísla platí rovnosť 1^3 + 2^3 + ... + k^3= \frac{1}{4} k^2 (k+1)^2.
\( .\)