Zadanie

Riešenia - deliteľnosť

Deliteľnosť
  1. Ak pre trojciferné čísla a,b platí a+b=1000 , tak sa čísla a^2,b^2 zhodujú v poslednom trojčíslí. Dokážte to.
    • počítajme a^2-b^2=a^2-(10^6-2.10^3a+a^2)=1000 \cdot (2a-10^3) , odkiaľ vyplýva 
    • rozdiel druhých mocnín je násobkom čísla 1000
      • Čísla a^2,b^2 sa zhodujú v poslednom trojčíslí.
  2. V čísle 837521584 vyškrtnite 4 číslice tak, aby ste dostali 5-ciferné číslo deliteľné číslami 9 a 5. Nájdite všetky možnosti.
    • zrejme musíme škrtnúť posledné dve cifry 8,4, aby číslo bolo deliteľné 5
    • zostávajúce cifry dávajú súčet 31, z ktorého musíme odpočítať súčet niektorých cifier, aby bol deliteľný 9
    • to je možné napríklad pre súčet 8+5=13, v tom prípade ciferný súčet ostávajúceho čísla bude 18
    • alebo pre súčet 7+5+1=13 resp. pre 3+7+2+1=13
      • Požiadavke v zadaní vyhovujú čísla 37 215, 8 325, 855.
  3. V čísle 34x2y doplňte za x,y cifry tak, aby vzniknuté číslo bolo deliteľné číslom 3 a 4. Nájdite všetky riešenia.
    • posledné dvojčísle musí byť deliteľné 4, odkiaľ dostávame y \in \lbrace{4,8}\rbrace , nulou nemôže končiť lebo by bolo len dvojciferné
    • po dosadení za y skúmame ešte požiadavku deliteľnosti 3 \mid 9+x+y , preto [x,y] \in \lbrace{[2,4],[5,4],[8,4],[1,8],[4,8],[7,8]}\rbrace
      • Požiadavke v zadaní vyhovujú čísla 34 224, ..., 34 128, ...
  4. Dokážte, že štvorec nepárneho čísla po delení číslom 8 dáva zvyšok 1.
  5. Nájdite celé číslo x a cifru y tak, aby platilo (360 + 3.x)^2= 492y04. Návod: Využite, že ľavá strana danej rovnice je deliteľná číslom 9.
    6. Výsledok: cifra y = 8 a číslo x = 114 alebo x = -354 .
  6. Nech číslo x má v desiatkovej číselnej sústave zápis x = a_2 a_1 a_0 . Ukážte, že 7 delí práve vtedy,
    • keď 7 delí 2.a_2+3.a_1 +a_0 ...
        • stačí uvažovať rozdiel (100a_2+10 a_1+ a_0)-(2.a_2+3.a_1 +a_0)=7(24a_2+ a_1) , ktorý je zrejme deliteľný 7, preto platí tvrdenie
    • keď 7 delí a_2 a_1 – 2.a_0
      • stačí ...
\( .\)