Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Príklad 3.
Trojciferné číslo zapísané v deviatkovej sústave je zakončené číslicou $1$. Ak ju presunieme na prvé miesto dostaneme číslo, ktoré je v deviatkovej sústave o $(574)_9$ menšie ako pôvodné. Určte pôvodné číslo.
Riešenie.

1. nech hľadané číslo má zápis v tvare $(ab1)_9$, potom má platiť $(1ab)_9+(574)_9=(ab1)_9$
2. po úprave dostávame $(81+9a+b)+472=81a+9b+1$, čo je ekvivalentné s rovnicou $552=8(9a+b)$
3. posledná rovnica má v obore $a,b \in \langle 0,9 \rangle$ práve jedno riešenie $a=7,b=6$
Riešením je číslo $761_9=622_{10}$.

Príklad 4.
Ak medzi číslice dvojciferného čísla vpíšeme číslicu $5$, tak dostaneme $3-$ciferné číslo, ktoré je o $94$ väčšie, ako $9$ násobok daného čísla. Nájdite ho.
Riešenie.

1. nech hľadané číslo má v desiatkovej číselnej sústave skrátený zápis v tvare $ab$, kde $a,b \in \langle 0,9 \rangle$
2. potom musí platiť $(100a+50+b)-94=9(10a+b)$, čo je ekvivalentné s rovnicou $10a-8b=44$; riešením je dvojica $a=6,b=2$.
Hľadané číslo je $62$.

Príklad 6.
Nájdite v desiatkovej číselnej sústave aspoň tri dvojice trojciferných čísel väčších ako $200$ a zároveň menších ako $300$, ktorých súčet v $8-$číselnej sústave má zápis $(777)_8$.Uvádzame jednu dvojicu: $283, 228$, ktorá spĺňa požiadavky, lebo $(283 + 228 = 511)_{10}$ a zároveň $511 = (777)_8$
Riešenie.

1. hľadané čísla $A, B$ v desiatkovej číselnej sústave musia mať prvú cifru rovnú $2$, teda ich skrátený zápis musí mať tvar $A=2ab$ $B=2cd$
2. vzhľadom na symetriu môžeme predpokladať, že $a \leq c; \ b \leq d$, zároveň musí platiť
• $b+d$ končí cifrou $1$ lebo $A+B=511$; to môžu byť napríklad dvojice $[b=0,d=1],[b=2,d=9],[b=3,d=8],[b=4,d=7], ...$
• pre $[b=0,d=1]$ musí byť $a+c = 11$, v tomto prípade riešením sú dvojice $[220,291];[230,281];[220,291];...$
• pre $[b=2,d=9],[b=3,d=8],[b=4,d=7], ...$ bude $a+c = 10$ (v súčte $A+B=511$ ide o prechod cez $10$); v tomto prípade riešením sú dvojice $[222,289];[243,268];...$
Riešením sú napríklad dvojice čísel $[220,291];[222,289];[253,258]$.

Príklad 7.
Určte racionálne číslo $\frac {p}{q}$ tak, aby jeho rozvoj v desiatkovej sústave mal tvar $2,12 \overline{345}$.
Riešenie.

1. nech $a=2,12 \overline{345}$, potom $100a= 212, \overline{345}$ a $100000a= 212345, \overline{345}$ 
2. odčítaním týcto rovností dostaneme $99900a= 212133$, odkiaľ dostávame 
Riešením je napríklad zlomok $\frac {212133}{99900}$.